已知在长方形abcd中-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，若棱AB上存在点...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-07-31 04:27 标签： 在长方形abcd中
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如图所示，已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC1上的点，且BE⊥B1C.（1）求CE的长；（2）求证：A1C⊥平面BED；（3）求A1B与平面BDE所成角的正弦值.
题型：解答题难度：中档来源：不详
(1) CE="1" (2)证明略（3）A1B与平面BDE所成角的正弦值为（1）&如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D—xyz. ∴D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）.设E点坐标为（0，2，t），则=（-2，0，t），=（-2，0，-4）.∵BE⊥B1C，∴·=4+0-4t=0.∴t=1，故CE=1.（2）由（1）得，E（0，2，1），=（-2，0，1），又=（-2，2，-4），=（2，2，0），∴·=4+0-4=0，且·=-4+4+0=0.∴⊥且⊥，即A1C⊥DB，A1C⊥BE，又∵DB∩BE=B，∴A1C⊥平面BDE.即A1C⊥平面BED.（3）&由（2）知=（-2，2，-4）是平面BDE的一个法向量.又=（0，2，-4）,∴cos〈,〉==.∴A1B与平面BDE所成角的正弦值为.
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据魔方格专家权威分析，试题“如图所示，已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC..”主要考查你对&&平面的法向量，直线的方向向量&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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平面的法向量直线的方向向量
平面的法向量：
如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量。& &法向量的特点：
1.法向量一定是非零向量； 2.一个平面的所有法向量都互相平行； 3.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有。4.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量，一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．
一般地，由直线、平面的位置关系以及直线的方向向量和平面的法向量，可归纳出如下结论：
求平面法向量的方法与步骤：
& 点P的位置向量：
在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP老表示，我们把向量OP成为点P的位置向量。
直线的方向向量的定义：
（1）空间中任意一条直线l的位置可由l上一个定点A以及一个定方向确定。直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量。对于直线l上的任意一点P，存在实数t使得（如图所示）。&（2）由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。
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长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.AE等于何值时,二面角D1-EC-D的大小为45°画个图 谢谢
因为D1D⊥平面ECD,所以,当D到EC直线距离等于D1D时,二面角D1-EC-D的大小为45°,如图,建立直角坐标系,设EC直线方程为y=k（x-2）,D到它距离为1,则有|k（0-2）-0|／√（1+k²）=1,解得k=1／√3,有个负根舍去,因为E在AB上,则EC直线方程为y=（x-2）／√3,则EC直线与AB（y=&-1）交点E（2-√3,-1）,则AE=2-√3时,二面角D1-EC-D的大小为45°.高中数学 COOCO.因你而专业 ！
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如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．
(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；
(2)证明：平面ABM⊥平面A1B1M.
方法1：(1)如图，因为C1D1∥B1A1，所以∠MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角．
因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A1B1M＝90°，
而A1B1＝1，B1M＝＝，故
tan∠MA1B1＝＝.
即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为.
(2)证明：由A1B1⊥平面BCC1B1，BM⊂平面平面BCC1B1，得A1B1⊥BM①
由(1)知，B1M＝，
又BM＝＝，B1B＝2，
所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M②
又A1B1∩B1M＝B1，∴BM⊥平面A1B1M，而BM⊂平面ABM，因此平面ABM⊥平面A1B1M.
方法2：以A为原点，，，的方向分别作为x、y、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，A1(0,0,2)，B1(1,0,2)，C1(1,1,2)，D1(0,1,2)，M(1,1,1)．
设异面直线A1M与C1D1所成角为α，则cosα＝，
∴tanα＝.
即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值是.
又B1M∩A1B1＝B1，
∴BM⊥平面A1B1M，而BM⊂平面ABM，
因此ABM⊥平面A1B1M.
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在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=4,AA1=3,E,F在棱AA1上,且AE=EF=FA1,G是B1C1的中点.1）求FG与A1C1所成角.2）求FG与EC1所成角.
1、在平面AA1C1C上,过F点作FM//A1C1,交CC1于M,连结GM,则〈GFM就是FG和A1C1所成角,根据勾股定理,A1C1=√（A1B1^2+B1C1^2)=2√5,四边形A1C1MF是矩形,FM=A1C1=2√5,从G作GN//B1C1,MN=C1B-C1M=3/2-1=1/2,FG=√[(B1G-A1F)^2+A1B1^2]=√[2^2+(3/2-1)^2]=√17/2,同理,GM=√[4^2+(3/2-1)^2]=√65/2,在△FGM中根据余弦定理,cos&MFG=(FM^2+FG^2-GM^2)/(2*FM*FG)=(20+17/4-65/4）/[2*（√17/2）*2√5]=4√85/85,FG与A1C1所成角为arccos(4√85/85),2、同理,过E作EP//FG,交BB1于P,连结C1P,则〈C1EP就是FG和EC1所成角,PE=FG=√17/2,C1E=√（A1E^2+A1C1^2)=√（2^2+20)=2√6,C1P=√(B1C1^2+B1P^2)=√[（3/2+1）^2+4^2]=√89/2,cos&C1EP=(EC1^2+PE^2-C1P^2)/(2*PE*EC1)=√102/34,∴FG与EC1所成角为arccos(√102/34).

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