设求函数的单调区间y=f（x）在区间（-无穷，+无...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-08-02 11:25 标签：
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设函数f（x）=xekx（k≠0）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）在区间（-1，1）内单调递增，求k的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：北京
（Ⅰ）f′（x）=（1+kx）ekx，f′（0）=1，f（0）=0，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x；（Ⅱ）由f′（x）=（1+kx）ekx=0，得x=-1k（k≠0），若k＞0，则当x∈（-∞，-1k）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（-1k，+∞，）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，若k＜0，则当x∈（-∞，-1k）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（-1k，+∞，）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k＞0，则当且仅当-1k≤-1，即k≤1时，函数f（x）（-1，1）内单调递增，若k＜0，则当且仅当-1k≥1，即k≥-1时，函数f（x）（-1，1）内单调递增，综上可知，函数f（x）（-1，1）内单调递增时，k的取值范围是[-1，0）∪（0，1]．
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据魔方格专家权威分析，试题“设函数f（x）=xekx（k≠0）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，函数的极值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性与导数的关系函数的极值与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&
发现相似题
与“设函数f（x）=xekx（k≠0）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程..”考查相似的试题有：
428376807068812393619178494866406423Y=x+1/x 判断函数f(x)=x-x分之一在区间(0，正无穷)上的单调性，并证明你的结论为什么他在（0,1]为增函数，而在[ 1，正无穷]为减函数
Y=x+1/x 判断函数f(x)=x-x分之一在区间(0，正无穷)上的单调性，并证明你的结论为什么他在（0,1]为增函数，而在[ 1，正无穷]为减函数
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若函数f(x)=x+2分之ax+1在区间（-2，+无穷）上y随x增大而增大，那么实数a的取值范围是？
您的举报已经提交成功，我们将尽快处理，谢谢！设函数f(x)=xe^kx(k≠0).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程_百度知道
设函数f(x)=xe^kx(k≠0).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程
(2)求函数f(x)的单调区间。(3)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增，求k的取值范围
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f'(x)=e^(kx)+kxe^(kx)=(1+kx)e^(kx)。(1)f(0)=0，f'(0)=1，所求切线方程为：y=x。(2)若k&0，则x&-1/k，f'(x)&0，f(x)递增；x&-1/k，f'(x)&0，f(x)递减。
此时，f(x)的单调递增区间是(-无穷,-1/k)，单调递减区间是(-1/k,+无穷)。
若k&0，则x&-1/k，f'(x)&0，f(x)递减；x&-1/k，f'(x)&0，f(x)递增。
此时，f(x)的单调递减区间是(-无穷,-1/k)，单调递增区间是(-1/k,+无穷)。(3)若k&0，f(x)的增区间是(-无穷,-1/k)，所以-1/k&=1，则-1&=k&0。
若k&0，f(x)的增区间是(-1/k,无穷)，所以-1/k&=-1，则0&k&=1。
所以，k的取值范围是[-1,0)U(0,1]。
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1.f'（x）=e^kx+kxe^kx=e^kx（1+kx）
f'（0）=1
所以切线的k=1
又因为f（0）=0 所以切线过（0,0）点
即切线方程是y=x2.∵f'（x）=e^kx（1+kx）
其中e^kx必定大于零 所以只要看1+kx的取值范围了
①当k＞0时
f（x）在（-∞，-1/k）上单调减
（-1/k，﹢∞）上单调增
f（x）在（-∞，-1/k）上单调增
（-1/k，﹢∞）上单调减3.2中求到的信息可利用到第三题
①当k&0时，-1/k≤-1
②当k＜0时 -1/k≥1
-1≤k≤1 且k≠0
(1)f'(x)=e^(kx)+kxe^(kx)f'(0)=1;f(0)=0;y-f(0)=f'(0)(x-0)y=x(2)f'(x)=e^(kx)(kx+1)i当k&0时f'(x)&0即x&-1/kf'(x)=0即x=-1/kf'(x)&0即x&-1/kii当k&0时f'(x)&0即x&-1/kf'(x)=0即x=-1/kf'(x)&0即x&-1/k综上所述(3)当k&0时-1&=-1/k即0&k&=1当k&0时1&=-1/k即-1&=k&0综上-1&=k&0或0&k&=1
切线方程的相关知识
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出门在外也不愁函数y=x分之2单调递减区间为多少，函数f(x)=-x的平方+2x在(负无穷大，0】上是单调什么函数_百度知道
函数y=x分之2单调递减区间为多少，函数f(x)=-x的平方+2x在(负无穷大，0】上是单调什么函数
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y=2/x是反比例函数且2&0,所以递减区间为：(-∞，0）∪（0，+∞）；y=-x^2+2x.开口向下，对称轴x=1，所给区间在对称轴的左方，所以是单调增函数。
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