在棱长为a的正方体的棱长ABCD-A1B1C...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-08-03 10:54 标签： 正方体的棱长
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在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，EF与BD交于点G。 （1）求二面角B1-EF-B的正切值；（2）M为棱BB1上的一点，当的值为多少时能使D1M⊥平面EFB1？试给出证明。
题型：解答题难度：中档来源：0103
解：（1）在底面ABCD中，，∴连结，又，∴，∴，∴。（2）证明：，，，即，连结AC，因为E、F为中点，所以AC//EF，又因为BD⊥EF，所以。又因为，∴，此时有。
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据魔方格专家权威分析，试题“在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，..”主要考查你对&&直线与平面垂直的判定与性质，二面角&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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直线与平面垂直的判定与性质二面角
线面垂直的定义：
如果一条直线l和一个平面α内的任何一条直线垂直，就说这条直线l和这个平面α互相垂直，记作直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。
线面垂直的画法：
画线面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示：
&线面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。（线线垂直线面垂直）
符号表示：
& 如图所示，
&线面垂直的性质定理：
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 （线面垂直线线平行） 线面垂直的判定定理的理解：
(1)判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性语句，一定要记准．(2)如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面，这个结论是错误的．(3)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面，这个结论也错误，因为这无数条直线可能平行.
证明线面垂直的方法：
(1)线面垂直的定义拓展了线线垂直的范围，线垂直于面，线就垂直于面内所有直线，这也是线面垂直的必备条件，利用这个条件可将线线垂直与线面垂直互相转化，这样就完成了空间问题与平面问题的转化．(2)证线面垂直的方法①利用定义：若一直线垂直于平面内任一直线，则这条直线垂直于该平面．②利用线面垂直的判定定理：证一直线与一平面内的两条相交直线都垂直，③利用线面垂直的性质：两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面，④用面面垂直的性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．⑤用面面平行的性质定理：一直线垂直于两平行平面中的一个，那么它必定垂直于另一个平面．⑥用面面垂直的性质：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面的交线垂直于第三个平面．⑦利用向量证明．半平面的定义：
一条直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面．
二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
二面角的平面角：
以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 一个平面角的大小可用它的平面的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。二面角大小的取值范围是［0，180°］。
&直二面角：
平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角。 二面角的平面角具有下列性质：
a．二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即l⊥平面AOB．b．从二面角的平面角的一边上任意一点（异于角的顶点）作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边（或其反向延长线）上．c．二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面AOB⊥α，平面AOB⊥α.求二面角的方法：
(1)定义法：通过二面角的平面角来求；找出或作出二面角的平面角；证明其符合定义；通过解三角形，计算出二面角的平面角．上述过程可概括为一作（找）、二证、三计算”．(2)三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角．(3)垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直．(4)射影法：利用面积射影定理求二面角的大小；其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小．(5)向量法：设二面角的平面角为θ．①如果那么②设向量m、n分别为平面α和平面β的法向量是相等还是互补，根据具体图形判断。
对二面角定义的理解：
根据这个定义，两个平面相交成4个二面角，其中相对的两个二面角的大小相等，如果这4个二面角中有1个是直二面角，则这4个二面角都是直二面角，这时两个平面互相垂直．按照定义，欲证两个平面互相垂直，或者欲证某个二面角是直二面角，只需证明它的平面角是直角，两个平面相交，如果交成的二面角不是直二面角，那么必有一对锐二面角和一对钝二面角，今后，两个平面所成的角是指其中的一对锐二面角．并注意两个平面所成的角与二面角的区别．&
发现相似题
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252154283835267293264908393293258000当前位置：
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正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a．（1）求A1B与B1C所成的角（2）求点D到B1C的距离．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）连结A1D、BD∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，四边形A1B1CD为平行四边形∴A1D∥B1C，∠BA1C是异面直线A1B和B1C所成的角又∵A1D、BD、A1B都是正方体的面对角线∴A1D=BD=A1B，可得△A1BD是等边三角形，得∠BA1C=60°∴异面直线A1B和B1C所成的角为60°；（2）∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，DC⊥平面BB1C1C∴结合BC1?平面BB1C1C，可得DC⊥BC1因此，线段DC的长是D点到B1C的距离结合正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，可得D点到B1C的距离为a．
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据魔方格专家权威分析，试题“正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a．（1）求A1B与B1C所成的角（2）求点D到..”主要考查你对&&异面直线所成的角&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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异面直线所成的角
异面直线所成角的定义：
直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，则把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角，如下图。 两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。
&求异面直线所成角的步骤：
A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角； C、利用三角形来求角。特别提醒:(1)两异面直线所成的角与点O(两直线平移后的交点）的选取无关．(2)两异面直线所成角θ的取值范围是00&θ≤900．(3)判定空间两条直线是异面直线的方法①判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不过点B的直线是异面直线;②反证法：证明两直线共面不可能．&
线线角的求法：
(1)定义法：用“平移转化”，使之成为两相交直线所成的角，当异面直线垂直时，应用线面垂直定义或三垂线定理及逆定理判定所成的角为900．(2)向量法：设两条直线所成的角为θ（锐角），直线l1和l2的方向向量分别为
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