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常熟理工学院2012年概率论与数理统计题库及答案第三四大题答案.doc39页
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三、解答题
1、设两两相互独立的三事件满足条件:,且已知,求.
则,其中舍去,因为2、设事件与相互独立,两事件中只有发生及只有发生的概率都是,试求及.
解:由已知条件知:则
3、一口袋中有6个红球及4个白球。每次从这袋中任取一球,取后放回,设每次取球时各个球被取到的概率相同。
求:(1)前两次均取得红球的概率;(2)取了次后,第次才取得红球的概率。
解:(1)记A前两次均取得红球,(2)记B取了次后,第次才取得红球,
4、甲、乙、丙3位同学同时独立参加《概率论与数理统计》考试,不及格的概率分别为.(1)求恰有两位同学不及格的概率;
(2)如果已经知道这3位同学中有2位不及格,求其中一位是同学乙的概率.
解:(1)设,,,.则 (2)
5、甲、乙、丙三门炮向同一架飞机射击,设甲、乙、丙炮射中飞机的概率依次为0.4,0.5,0.7,又设若只有一门炮射中,飞机坠毁的概率为0.2,若有两门炮射中,飞机坠毁的概率为0.6,若三门炮同时射中,飞机必坠毁.试求飞机坠毁的概率?
解:设甲炮射中飞机,乙炮射中飞机,丙炮射中飞机,一门炮射中飞机,两门炮射中飞机,三门炮射中飞机,飞机坠毁,则由题意可知事件相互独立,故 故由全概率公式可得:
6、已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时,一合格品被误认为是次品的概率是0.02;一次品被误认为是合格品的概率是0.05 求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率.
解:设为被查后认为是合格品的事件,为抽查的产品为合格品的事件 ,
7、某厂用卡车运送防“非典”用品下乡,顶层装10个纸箱,其中5箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花。到目的地时发现丢失1箱,不知丢失哪一箱。现从剩下9箱中任意打开2箱,结果都是民用口罩,求丢失的一箱也是民用口罩的概率。
解:考虑成从10个纸箱中取3箱
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2.3连续型随机变量及分布.ppt
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3秒自动关闭窗口----> 第三章几种重要的概率分布密度函数的验证
第三章几种重要的概率分布密度函数的验证
&&&&&&&&&&&&
&&&&第三章几种重要的概率分布§3.1二项分布§3.2泊松分布§3.3均匀分布§3.4指数分布§3.5正态分布&&&&返回总目录&&&&&&&&§3.1二项分布&&&&&&&&一贝努里概型和二项公式二二项分布三二项分布数学期望与方差&&&&&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&一、贝努里概型和二项公式&&&&在相同条件下进行的n次重复试验，如果每次试验只有两个相互对立的基本事件，而且它们在各次试验中发生的概率不变，那末称这样的试验为n重贝努里试验或贝努里概型。例如，掷n次硬币，投n次篮，检查n个产品，做n道单项选择题等&&&&设两个相互对立的基本事件为A,A,且P(A)=p,P(A)=q,p+q=1,&&&&__&&&&__&&&&&&&&p0,q0,求事件A在n重贝努里试验中恰好发生m次（m=0,1,2…,n）&&&&的概率。记这一概率为b(m;n,p)&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&定理3.1.1：设事件A在每次试验中发生的概率为p,(0p1),则它在贝努里概型下恰好发生m次的概率为&&&&mb(m;n,p)=Cnpmqn?m,其中m=0,1,2,L,n;q=1?p证明由多个事件相互独立的概念知,事件A在n次试验中指定的m次发生而其余的n?m次不发生的概率为pmqn?m，&&&&&&&&又由于事件A可以在n次试验中的任何m次发生，从n次试mm验中选取m次共有Cn种方式，且这Cn个事件两两互不相容，&&&&&&&&由概率加法公式得：&&&&n&&&&&&&&mb(m;n,p)=Cnpmqn?m,其中m=0,1,2,L,n;q=1?p&&&&m且∑b(m;n,p)=∑Cnpmqn?m=(p+q)n=1n&&&&&&&&概率b(m;n,p)实际上是二项式(p+q)n的展开式中的通项公式。&&&&mb(m;n,p)=Cnpmqn?m,其中m=0,1,2,L,n;q=1?p&&&&&&&&m=0&&&&&&&&m=0&&&&&&&&称为概率计算的二项公式。二项公式。二项公式&&&&&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&二、二项分布&&&&定义如果随机变量X的概率分布为&&&&iP{X=i}=Cnpiqn?i&&&&&&&&(0p1,p+q=1)&&&&&&&&(i=0,1,2,L,n)&&&&&&&&则称离散型随机变量X服从参数为n,p的二项分布，记作X～B(n,p)&&&&&&&&常见的二项分布实际问题：①有放回或总量大的无放回抽样；②打枪、投篮问题（试验n次发生k次）；③设备使用、设备故障问题。&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&三、二项分布的数学期望与方差&&&&定理3.1.2如果离散型随机变量X服从参数为n,p的二项分布，即X～B(n,p),则其数学期望与方差分别为&&&&&&&&E(X)=npD(X)=npq&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布例1据调查,市场上假冒的某名牌香烟有0.15,某人每年买20条这个品牌的香烟,求他至少买到1条假烟的概率.&&&&解:设随机变量X表示某人每年买20条某名牌烟中假烟的条数,由题意:X服从二项分布B(20,0.15)所以&&&&&&&&P{X≥1}=1?P{X=0}=1?C0.15(1?0.15)&&&&020020&&&&&&&&≈1?0.039=0.961&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布例2某人定点投篮的命中率是0.6,在10次投篮中,求(1)恰有4次命中的概率;(2)最多命中8次的概率.&&&&解:设随机变量X表示10次投篮中命中的次数,由题意:X服从二项分布B(10,0.6)&&&&4(1)P{X=4}=C10(0.6)4(1?0.6)10?4≈0.115&&&&&&&&(2)最多命中8次的概率&&&&&&&&=1?P{X8}&&&&&&&&P{0≤X≤8}&&&&&&&&=1?P{X=9}?P{X=10}&&&&910=1?C10(0.6)9(1?0.6)?C10(0.6)10(1?0.6)0&&&&&&&&≈0.9536&&&&&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布例3已知一批产品共10件,其中正品7件,次品3件,今从中抽取若干次,每次抽出1件,求在放回抽样下的4次抽取中,抽得次品数的分布列.解:在放回抽样下,每次抽取只有两个相互对立的基本事件&&&&&&&&A={抽到正品},A={抽到次品},且A,A在各次抽取中&&&&____&&&&__73发生的概率不变,即P(A)=,P(A)=,1010所以,在放回抽样下的4次抽取是4重贝努里试验.&&&&&&&&设随机变量X表示4次抽取中取到的次品件数,由题意,X服从二项分布B(4,0.3),即X的概率分布为&&&&iP{X=i}=C4(0.3)i(0.7)4?i,i=0,1,2,3,4&&&&&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布例4投掷一枚均匀硬币6次，求：（1）恰好出现2次正面的概率；（2）至少出现5次正面的概率；（3）出现正面次数的均值；（4）出现正面次数的方差。解：设随机变量X表示6次投掷一枚均匀硬币出现正面的次数，&&&&由题意,X服从二项分布B(6,)&&&&(1)事件X=2表示恰好出现2次正面，其发生的概率为&&&&&&&&12&&&&&&&&1115P{X=2}=C62()2(1?)6?2=2264(2)事件X≥5表示至少出现5次正面，在X≥5范围内，离散型随机&&&&变量X的可能取值只有两个，即X=5,X=6，有概率&&&&&&&&P{X≥5}=P{X=5}+P{X=6}16=C()(1?)+C6()(1?)=222264&&&&56&&&&&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&1(3)均值即数学期望E(X)=np=6×=32113(4)方差D(X)=npq=6××=222&&&&&&&&例6若离散型随机变量X～B(100,0.1)，求随机变量函数&&&&&&&&Y=?3X的数学期望、方差。&&&&&&&&解：从已知条件得到数学期望E(X)=np=100×0.1=10&&&&方差D(X)=npq=100×0.1×0.9=9&&&&&&&&根据随机变量数学期望、方差的性质，随机变量函数Y=?3X的数学期望、方差分别为&&&&&&&&E(Y)=E(?3X)=?3E(X)=?3×10=?30&&&&D(Y)=D(?3X)=(?3)2D(X)=(?3)2×9=81&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布小结与提问：小结与提问：本次课，我们介绍了贝努里概型与二项公式、二项分布。二项分布是离散型随机变量的概率分布中的重要分布，我们应掌握二项分布及其概率计算，能够将实际问题归结为贝努里概型，然后用二项分布计算有关事件的概率、数学期望与方差。。课外作业：课外作业：P150习题三3.01,3.02,3.03,3.04,3.05&&&&&&&&返回主目录&&&&&&&&§3.2泊松分布&&&&&&&&一泊松分布的定义二二项分布与泊松分布三泊松分布的数学期望与方差&&&&&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布一、泊松分布的定义&&&&&&&&设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…,且概率分布为：&&&&&&&&P{X=i}=&&&&&&&&λ&&&&&&&&i&&&&&&&&i!&&&&&&&&e,(i=0,1,2,L;λ0)&&&&?λ&&&&&&&&其中λ0是常数,则称X服从参数为&&&&&&&&λ的泊松分布,记作X～P(λ)&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布二、二项分布与泊松分布定理3.2.1（泊松定理）设随机变X服从二项分布B(n,p)，当&&&&i泊松分布P(λ)即，n&&&&&&&&Cp(1?p)&&&&i&&&&&&&&n?i&&&&&&&&≈&&&&&&&&λ&&&&&&&&时，X近似地服从&&&&i&&&&&&&&定理指出n当充分大时，泊松分布是二项分布的近似分布，但要注意仅当P的值很小(一般来说当p0.1)时，用泊松分布取代二项分布所产生的误差才比较小．常见的泊松分布的例子：（1）飞机被击中的子弹数；（2）一个集团公司中生日在元旦的人数；（3）三胞胎出生的次数；（4）一年中死亡的百岁老人数；&&&&返回主目录&&&&&&&&i!&&&&&&&&e&&&&&&&&?λ其中λ&&&&&&&&=np&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&例1某一无线寻呼台,每分钟收到寻呼的次数X服从参数λ=3的泊松分布.求:(1)一分钟内恰好收到3次寻呼的概率.(2)一分钟内收到2至5次寻呼的概率.&&&&&&&&解::&&&&&&&&(1)P{X=3}=p(3)=(3/3!)e&&&&&&&&3&&&&&&&&?3&&&&&&&&≈0.2240&&&&&&&&(2)P{2≤X≤5}=P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}&&&&=[(3/2!)+(3/3!)+(3/4!)+(3/5!)]e&&&&2345?3&&&&&&&&≈0.7169&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布例2某一城市每天发生火灾的次数X服从参数为0.8的泊松分布.求:该城市一天内发生3次以上火灾的概率.P{X≥3}=1-P{X3}=1-[P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}]解：&&&&=1-[(0.8+(0.8&&&&20&&&&&&&&/0!)+(0.8&&&&?0.8&&&&&&&&1&&&&&&&&/1!)&&&&&&&&/2!)]e&&&&&&&&≈0.0474&&&&&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布例3某出租汽车公司共有出租车400辆,设每天每辆出租车出现故障的概率为0.02,求:一天内没有出租车出现故障的概率.解：将观察一辆车一天内是否出现故障看成一次试验E.因为每辆车是否出现故障与其它车无关,于是观察400辆出租车是否出现故障就是做400次伯努利试验,设X表示一天内出现故障的出租车数,则:X～B(400,0.02).&&&&&&&&令λ=np=400×0.02=8&&&&于是:P{一天内没有出租车出现故障}=P{X=0}=b(0;400,0.02)&&&&&&&&80?8e=0.!&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&三、泊松分布的数学期望与方差&&&&定理3.2.2如果离散型随机变量X服从参数为λ&&&&（λ0)的泊松分布，即X～P(λ),则其数学期望与&&&&&&&&方差分别为&&&&&&&&E(X)=λD(X)=λ&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&例4一页书上印刷错误的个数X是一个离散型随机变量，它服从参数为λ的泊松分布，一本书共有300页，有21个印刷错误，求任取1页书上没有印刷错误的概率。217解：由于300页中有21个印刷错误，从而平均每页有=个印刷&&&&&&&&3001007错误，即离散型随机变量X的数学期望E(X)=，100又由于离散型随机变量X服从参数为λ的泊松分布，因此数学期望&&&&7E(X)=λ，于是参数λ=100事件X=0表示任取1页书上没有印刷错误，有概率&&&&&&&&70?100()e7?P{X=0}=100=e100≈0.93240!&&&&&&&&7&&&&&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&例5某种花布一匹布上疵点的个数X是一个离散型随机变量，它服从参数为λ（λ0)的泊松分布，已知一匹布上有8个疵点与有7个疵点的可能性相同，问一匹布上平均有多少个疵点？&&&&&&&&解：由于已知一匹布上有8个疵点与有7个疵点的可能性相同，即概率&&&&&&&&P{X=8}=P{X=7}又由于离散型随机变量X服从参数为λ（λ0)&&&&的泊松分布，从而有关系式&&&&即有&&&&&&&&λ8e?λ&&&&8!&&&&&&&&=&&&&&&&&λ7e?λ&&&&7!&&&&&&&&λ8&&&&8&&&&&&&&=λ7&&&&&&&&注意到λ0,因此得到参数&&&&&&&&λ=8&&&&返回主目录&&&&&&&&于是数学期望即均值E(X)=λ=8&&&&&&&&所以一匹布上平均有8个疵点。&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&例6设离散型随机变量X服从参数为λ（λ0)的泊松分布，且已知概率P{X=1}=P{X=2}，求：&&&&(1)参数λ的值；(2)概率P{2X6}；(3)数学期望E(X)；(4)方差D(X)。&&&&&&&&解：（1）由于已知概率P{X=1}=P{X=2}&&&&又由于离散型随机变量X服从参数为λ（λ&&&&&&&&0)&&&&&&&&的泊松分布，从而有关系式&&&&&&&&λe?λ&&&&1!&&&&&&&&=&&&&&&&&λ2e?λ&&&&2!&&&&&&&&即有&&&&&&&&λ=&&&&&&&&λ2&&&&2&&&&&&&&注意到λ0,因此得到参数λ=2&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&（2）注意到在2X6范围内，离散型随机变量X的可能取值只有三个，即X=3,X=4,X=5,所以概率&&&&&&&&=P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}3?24?25?22e2e2e=34≈0.3067=++215e3!4!5!&&&&（3）数学期望（4）方差&&&&&&&&P{2X6}&&&&&&&&E(X)=λ=2&&&&&&&&D(X)=λ=2&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&小结与提问：小结与提问：本次课，我们介绍了泊松分布的概念、二项分布与泊松分布的关系及泊松分布的数学期望与方差。泊松分布是离散型随机变量的概率分布中的重要分布，我们应掌握泊松分布及其概率计算，能够将实际问题归结为泊松分布，然后用泊松分布计算有关事件的概率、数学期望与方差。VII课外作业：P150习题三3.06,3.07,3.08,3.09课外作业：课外作业&&&&&&&&返回主目录&&&&&&&&§3.3均匀分布&&&&&&&&一均匀分布(Uniform)的定义&&&&&&&&二均匀分布的数学期望与方差&&&&&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&一均匀分布(Uniform)的定义若随机变量X的密度函数为&&&&&&&&?1?a≤x≤bf(x)=?b?a?0其它?&&&&&&&&则称随机变量X服从区间[a，b]上的均匀分布．上的均匀分布．&&&&记作X~U[a,b]&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&密度函数的验证&&&&&&&&是其密度函数，则有：设X~U[a，b]，f(x)是其密度函数，则有：&&&&&&&&⑴对任意的x，有f(x)≥0；&&&&+∞&&&&&&&&⑵&&&&&&&&?∞&&&&&&&&∫f(x)dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx+∫f(x)dx&&&&1dx=1．=∫b?aa&&&&a≤x≤b其它确是密度函数．确是密度函数．&&&&返回主目录&&&&b&&&&?∞ab&&&&&&&&a&&&&&&&&b&&&&&&&&+∞&&&&&&&&?1由此可知，由此可知，f(x)=?b?a0?&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&均匀分布的概率背景&&&&上的均匀分布，如果随机变量X服从区间[a，b]上的均匀分布，则随机变量X在区间[a，b]上的任意一个子区间上取值的概率与该子区&&&&&&&&间的长度成正比，该子区间的位置无关．间的长度成正比，而与该子区间的位置无关．&&&&&&&&这时，可以认为随机变量X在区间[a，b]上取值是等可能的．上取值是等可能的．这时，&&&&&&&&P{cX≤c+l}=∫&&&&=∫&&&&c+l&&&&&&&&c+l&&&&&&&&c&&&&&&&&f(x)dx&&&&XX0lbx&&&&返回主目录&&&&&&&&c&&&&&&&&1ldx=.b?ab?a&&&&&&&&a&&&&&&&&l&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&均匀分布的分布函数&&&&&&&&若随机变量X服从区间[a，b]上的均匀分布，上的均匀分布，&&&&&&&&则X的分布函数为&&&&?0?x?aF(x)=b?a?1xaa≤x≤bbx&&&&aF(x)1&&&&&&&&0&&&&&&&&b&&&&&&&&x&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&例1设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量．试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率．解：设该乘客于7时X分到达此站．&&&&&&&&上的均匀分布．则X服从区间[0，30]上的均匀分布．&&&&其密度函数为&&&&?1?0≤x≤30f(x)=?30?0其它?&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&例1（续）令：B={候车时间不超过5分钟}&&&&&&&&则&&&&&&&&P(B)=P{10≤X≤15}+P{25≤X≤30}&&&&&&&&111=∫dx+∫dx=&&&&&&&&15&&&&&&&&30&&&&&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&例2&&&&&&&&上的均匀分布，设随机变量Y服从区间[?1，3]上的均匀分布，试求方程4x2+4Yx+(Y+2)=0&&&&&&&&有实根的概率．有实根的概率．解：随机变量Y随机变量的密度函数为&&&&?1?f(y)=?4?01≤y≤3其它&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&例2（续）&&&&&&&&设：A=方程4x2+4Yx+(Y+2)=0有实根&&&&&&&&则&&&&&&&&P(A)=P(4Y)?4×4×(Y+2)≥0&&&&2&&&&&&&&{&&&&&&&&=P{(Y+1)(Y?2)≥0}&&&&&&&&{&&&&&&&&}&&&&&&&&}&&&&&&&&=P{Y≤?1或Y≥2}&&&&?13&&&&&&&&1=∫0dx+∫dx42?∞?11≤y≤3f(y)=?41=?0其它?4&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&二、均匀分布的数学期望与方差&&&&&&&&定理3.3.1如果连续型随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布，即X～U[a,b]，则其数学期望与方差分别为&&&&&&&&1Ex=(b+a)212Dx=(b?a)12&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&例3设连续型随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布，&&&&&&&&1若数学期望E(X)=2，方差D(X)=，求均匀分布3&&&&中常数a,b的值。&&&&&&&&解：从已知条件得到关系式&&&&&&&&解此方程组，并注意到ba，有&&&&&&&&1?E(X)=(a+b)=2?2?11?D(X)=(b?a)2=123?&&&&&&&&?b+a=4b?a=2&&&&解出常数a=1,b=3&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&例4设连续型随机变量X服从区间[?a,a](a0)上的均匀&&&&&&&&1分布，且已知概率P{X1}=，求：3?1?（1）常数a的值；（2）概率P?X?；3（3）数学期望E(X)；（4）方差D(X)。解：（1）由于连续型随机变量X服从区间[?a,a](a0)上的&&&&均匀分布，因而它的概率密度为?1?,?a≤x≤af(x)=?2a?0,其它?&&&&&&&&1注意到已知概率P{X1}=≠0，说明点x=1在区间(?a,a)内，3即a1。因此概率返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&11a111P{X1=}=∫f(x)dx=∫dx=x=(a?1)=?112a2a12a22a1111?=它应等于所给概率值，有关系式22a33&&&&+∞a&&&&&&&&所以得到常数a=3&&&&&&&&（2）连续型随机变量X的概率密度为&&&&?1?,?3≤x≤3f(x)=?6?0,其它?&&&&&&&&根据计算概率公式，所以概率&&&&&&&&1?1115?3f(x)dx=3dx=P?X?=∫∫?366×[3?(?3)]=93∞?返回主目录&&&&&&&&1&&&&&&&&1&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&（3）数学期望&&&&&&&&1E(X)=×[3+(?3)]=02&&&&（4）方差&&&&&&&&12D(X)=×[3?(?3)]=312&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&小结与提问：小结与提问：本次课，我们介绍了均匀分布的概念及泊松分布的数学期望与方差。均匀分布是是最简单、常用的连续型随机变量的概率分布。应当熟记均匀分布的概率密度函数的表达式、数学期望及方差，掌握有关均匀分布的概率、数学期望及方差的计算，并了解均匀分布在实际问题中的应用。课外作业：课外作业：P150习题三3.10,3.11&&&&&&&&返回主目录&&&&&&&&§3.4指数分布&&&&&&&&一指数分布的定义&&&&&&&&二指数分布的数学期望与方差&&&&&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布一指数分布的定义如果随机变量X的密度函数为&&&&&&&&?λe?λxf(x)=0&&&&&&&&x0x≤0&&&&&&&&其中λ0为常数，则称随机变量服从参数为λ的指数分布．&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布密度函数的验证&&&&设X~参数为λ的指数分布，f(x)是其密度函数，则有：&&&&&&&&⑴．对任意的x，有f(x)≥0；&&&&&&&&⑵．∫f(x)dx=&&&&?∞&&&&&&&&+∞&&&&&&&&?∞+∞&&&&&&&&∫f(x)dx+∫f(x)dx&&&&0&&&&&&&&0&&&&&&&&+∞&&&&&&&&=&&&&&&&&∫λe&&&&0&&&&&&&&?λx&&&&&&&&dx=?λe&&&&&&&&?λx&&&&&&&&+∞0&&&&&&&&=1．&&&&&&&&由此可知，&&&&&&&&?λe?λxf(x)=0&&&&&&&&x0确是一密度函数．x≤0&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&指数分布的分布函数&&&&若随机变量X服从参数λ指数分布，则X的分布函数为&&&&&&&&?0F(x)=?1?e?λx?&&&&&&&&x≤0x0&&&&&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布例1&&&&设打一次电话所用的时间X（单位：分钟）是1以λ=为参数的指数随机变量．如果某人刚10好在你前面走进公用电话间，求你需等待10分钟到20分钟之间的概率．&&&&&&&&解：X的密度函数为&&&&&&&&x?1?10?ef(x)=?10?0?&&&&&&&&x0x≤0&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布例1（续）（令：B={等待时间为10~20分钟}&&&&&&&&则&&&&&&&&P(B)=P{10≤X≤20}&&&&1=∫e1010&&&&20x?10&&&&&&&&1dx=?e10&&&&=0.2325&&&&&&&&x20?1010&&&&&&&&=e?1?e?2&&&&&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布二、指数分布的数学期望与方差&&&&定理3.4.1如果连续型随机变量X服从参数为λ&&&&&&&&(λ0)的指数分布,即X～E(λ),则数学期望与方差&&&&分别为&&&&&&&&Ex=&&&&Dx=&&&&&&&&1&&&&&&&&λ&&&&λ&&&&&&&&1&&&&2&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&例1、假设某种热水器首次发生故障的时间X（单位：小时）服从指数分布E(0.002)，求：&&&&&&&&（1）该热水器在100小时内需要维修的概率是多少？（2）该热水器平均能正常使用多少小时？&&&&&&&&解：X的密度函数为?0.002e?0.002x，x≥0f(x)=?，x0?0&&&&（1）100小时内需要维修的概率&&&&&&&&p(X≤100}=∫=&&&&&&&&100?∞&&&&&&&&f(x)dx&&&&返回主目录&&&&&&&&∫&&&&&&&&1000&&&&&&&&0.002e?0.002xdx=1?e?0.2=0.1813&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&1（2）λ=0.002,EX===500(小时)λ0.0021&&&&&&&&该热水器平均能正常使用500小时.&&&&&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&例2、某种型号电子元件的使用寿命X小时是一个连续型&&&&&&&&1随机变量，它服从参数为λ=1000&&&&&&&&的指数分布，求：&&&&&&&&（1）任取1只电子元件使用寿命超过1000小时的概率；（2）任取2只电子元件使用寿命超过1000小时的概率。&&&&解：（1）X的密度函数为&&&&x?1?1000?,x0f(x)=?1000e?0,其它?&&&&&&&&任取1只电子元件使用寿命超过1000小时的概率&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&P{X1000}=∫&&&&+∞1000&&&&+∞&&&&&&&&1f(x)dx=∫e&&&&e&&&&?x1000&&&&&&&&+∞&&&&&&&&1?x1000&&&&&&&&dx&&&&&&&&＝?∫&&&&&&&&1000&&&&&&&&xd(?)1000&&&&&&&&＝?e&&&&&&&&?&&&&&&&&x1000&&&&&&&&1=≈0.e&&&&返回主目录&&&&&&&&+∞&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&（2）任取2只电子元件使用寿命超过1000小时的电子元件只数Y是一个离散型随机变量，它服从参数&&&&&&&&11n=2,p=的二项分布，即Y～B(2,)ee事件Y=2表示任取2只电子元件使用&&&&寿命超过1000小时，其发生的概率为&&&&&&&&12P{Y=2}=Cpq=()≈0.1353e&&&&2220&&&&&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&的指数分布，且已知概率P{X100}=e，求&&&&?2&&&&&&&&例5、连续型随机变量X服从参数为λ(λ0)&&&&（1）参数λ的值；（2）概率P{50X150}；&&&&&&&&（3）数学期望E(2X+1)；（4）方差D(2X+1)。&&&&解：（1）由于连续型随机变量X服从参数为λ(λ0)的指数分布，因而它的概率密度为&&&&&&&&计算概率&&&&&&&&P{X100}=∫&&&&&&&&?λe?λx,x0f(x)=0,其它&&&&+∞100&&&&&&&&f(x)dx&&&&&&&&＝∫λe&&&&100&&&&&&&&+∞&&&&&&&&?λx&&&&&&&&dx&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&=?&&&&&&&&∫&&&&&&&&+∞&&&&&&&&100&&&&&&&&e&&&&&&&&?λx&&&&&&&&d(?λx)=?e&&&&&&&&?λx&&&&&&&&+∞100&&&&&&&&=?(0?e&&&&&&&&?100λ&&&&&&&&)=e&&&&&&&&?100λ&&&&&&&&它应等于所给概率值e?2，有关系式&&&&&&&&e&&&&&&&&?100λ&&&&&&&&=e&&&&&&&&?2&&&&&&&&所以得到参数&&&&&&&&1λ=50&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&（2）连续型随机变量X概率密度为x?1?50?e,x0f(x)=?50?0,其它?&&&&所以概率&&&&&&&&P{50X150}=∫&&&&＝∫&&&&15050&&&&&&&&150&&&&&&&&50&&&&&&&&f(x)dx&&&&&&&&1e50&&&&&&&&x?50&&&&&&&&dx＝?&&&&&&&&∫&&&&&&&&e&&&&&&&&?&&&&&&&&x50&&&&&&&&＝?e&&&&&&&&x?50&&&&&&&&15050&&&&&&&&xd(?)50&&&&&&&&＝?(e?3?e?1)&&&&返回主目录&&&&&&&&11＝?3≈0.3181ee&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&1=50(3)由于数学期望1λ50根据随机变量数学期望的性质，所以数学期望E(X)==1&&&&&&&&E(2X+1)=2E(X)+1=2×50+1=101&&&&（4）由于方差&&&&1D(X)=2==250012λ()501&&&&&&&&根据随机变量方差的性质，所以方差&&&&&&&&D(2X+1)=2D(X)=4×&&&&2&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&小结与提问：小结与提问：本次课，我们介绍了指数分布的概念及指数分布的数学期望与方差。指数分布是常用的连续型随机变量的概率分布之一。应当熟记指数分布的概率密度函数的表达式、数学期望及方差，掌握有关指数分布的概率、数学期望及方差的计算，并了解指数分布在实际问题中的应用。&&&&&&&&课外作业：课外作业：P150习题三&&&&&&&&3.12,3.13&&&&&&&&返回主目录&&&&&&&&§3.5正态分布&&&&&&&&一正态分布的定义二标准正态分布三正态分布密度函数的图形性质四正态分布的期望与方差&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&一正态分布的定义&&&&&&&&如果连续型随机变量X的密度函数为&&&&&&&&f(x)=&&&&&&&&1e2πσ&&&&&&&&(x)2?&&&&2σ2&&&&&&&&(?∞x+∞)&&&&f(x)&&&&&&&&(其中?∞?+∞，σ0为参数)，&&&&&&&&则称随机变量X服从参数为的正态分布．(?，σ)的正态分布．记作&&&&2&&&&&&&&X~N?，σ&&&&&&&&(&&&&&&&&2&&&&&&&&)&&&&0&&&&&&&&?&&&&&&&&x&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&二、标准正态分布&&&&为标准正态分布．若?=0，σ=1，我们称N(0，1)为标准正态分布．&&&&&&&&标准正态分布的密度函数为&&&&&&&&?(x)=&&&&&&&&12π&&&&&&&&e&&&&&&&&x2?2&&&&&&&&(?∞x+∞)&&&&&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布三、正态分布密度函数的图形性质&&&&对于正态分布的密度函数2πσ由高等数学中的知识，我们有：由高等数学中的知识，我们有：f(x)=1&&&&(x)2?&&&&&&&&e&&&&&&&&2σ2&&&&&&&&(?∞x+∞)&&&&f(x)&&&&&&&&对称，⑴曲线关于直线x=?对称，这表明：这表明：对于任意的h0，有P{hX≤?}=P{?X≤?+h}&&&&0h+hx&&&&&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&⑵当x=?时，f(x)取到最大值1f(?)=2πσx离?越远，f(x)的值就越小．这表明，对于越远，的值就越小．这表明，同样长度的区间，越远时，同样长度的区间，当区间离?越远时，随机越小．变量X落在该区间中的概率就越小．&&&&f(x)&&&&&&&&0h+h&&&&&&&&x&&&&&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&处有拐点；⑶曲线y=f(x)在x=?±σ处有拐点；轴为渐近线．曲线y=f(x)以Ox轴为渐近线．固定，的值，⑷若σ固定，而改变?的值，则f(x)的轴平行移动，其形状．图形沿x轴平行移动，但不改变其形状．因此y=f(x)图形的位置完全由参数?所确定．确定．f(x)&&&&&&&&0h+h&&&&&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&⑸若?固定，而改变σ的值，由于f(x)的最大值为固定，的值，1f(?)=2πσ可知，越小时，图形越陡，可知，当σ越小时，y=f(x)图形越陡，因而X落在?附近的概率越大；反之，当σ越大时，y=f(x)的图附近的概率越大；越大时，形越平坦，的取值越分散．形越平坦，这表明X的取值越分散．&&&&&&&&f(x)&&&&&&&&0?&&&&&&&&x&&&&&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布，正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：情形加以说明：⑴正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布可以证明，的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布．该随机指标一定服从或近似服从正态分布．正态分布有许多良好的性质，⑵正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的．多分布所不具备的．正态分布可以作为许多分布的近似分布．⑶正态分布可以作为许多分布的近似分布．&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&标准正态分布的计算：&&&&&&&&如果随机变量X~N(0，1)，则其密度函数为&&&&&&&&?(x)=&&&&其分布函数为&&&&x&&&&&&&&12π&&&&&&&&e&&&&&&&&x2?2&&&&&&&&(?∞,&&&&∫e&&&&xt2?2&&&&&&&&+∞)&&&&&&&&Φ(x)=∫?(t)dt=&&&&?∞&&&&&&&&12π&&&&&&&&dt&&&&&&&&(?∞x+∞)&&&&&&&&?∞&&&&&&&&教科书上都附有标准正态分布表,由此可得Φ(x)值.&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&标准正态分布的计算（续）&&&&&&&&如果x≥0，我们可由公式Φ(x)=P{X≤x}直接计算如果x0，我们可由公式&&&&Φ(?x)=∫?(t)dt=&&&&?∞?x&&&&&&&&作变换t=?u，dt=?du，得xu?1e2duΦ(?x)=?2π+∫∞&&&&2&&&&&&&&12π&&&&&&&&?x&&&&&&&&?∞&&&&&&&&∫e&&&&&&&&?&&&&&&&&t2&&&&&&&&2&&&&&&&&?(x)&&&&dt&&&&&&&&0-x&&&&u2?2&&&&&&&&xx&&&&&&&&=&&&&&&&&12π&&&&&&&&+∞&&&&&&&&∫e&&&&x&&&&&&&&u2?2&&&&&&&&1du=1?2π&&&&&&&&?∞&&&&&&&&∫e&&&&&&&&x&&&&&&&&du=1?Φ(x)&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&一般正态分布的计算&&&&&&&&设X~N?，σ，则Y=&&&&2&&&&&&&&FY(y)=P{≤y}=P{Y&&&&&&&&(&&&&&&&&)&&&&&&&&X&&&&&&&&σX&&&&&&&&~N(0,1)&&&&(t)2?&&&&2σ2&&&&&&&&=P{X≤?+σy}=&&&&作变换u=t&&&&&&&&σ&&&&12πσ&&&&dt&&&&&&&&≤y}&&&&?+σy&&&&?∞&&&&&&&&∫&&&&&&&&e&&&&&&&&dt&&&&&&&&FY(y)=&&&&&&&&1&&&&&&&&σ&&&&&&&&，则du=&&&&u2?2&&&&&&&&y&&&&&&&&∴FX(x)=P{X≤x}=P{&&&&&&&&2π&&&&&&&&?∞&&&&&&&&∫e&&&&&&&&σdu=Φ(y)&&&&&&&&，代入上式，得代入上式，&&&&&&&&X&&&&&&&&σ&&&&&&&&≤&&&&&&&&x&&&&&&&&σ&&&&&&&&}=Φ(&&&&&&&&x&&&&&&&&返回主目录&&&&&&&&σ&&&&&&&&)&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&一般正态分布的计算（续）该公式给出了一般正态分其中，函数．其中，Φ(x)是标准正态分布的分布函数．布分布函数值的求法&&&&&&&&∴FX(x)=Φ(&&&&&&&&x&&&&&&&&σ&&&&&&&&)&&&&&&&&故对任意的ab,有b-?aP{aXb}=Φ()?Φ().&&&&&&&&σ&&&&&&&&σ&&&&&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&例1&&&&&&&&试求：设随机变量X~N(0，1)，试求：⑴P{1≤X2}⑵P{?1X2}；．&&&&&&&&解：&&&&&&&&⑴&&&&&&&&P{≤X2}=Φ(2)?Φ(1)1=0.34=0.13591&&&&=Φ(2)?[1?Φ(1)]&&&&&&&&⑵&&&&&&&&P{?1≤X2}=Φ(2)?Φ(?1)&&&&=0..59&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&例2&&&&&&&&试求：设随机变量X~N(2，9)，试求：⑴⑵P{X?26}⑶P{X0}；．&&&&&&&&P{1≤X5}；&&&&&&&&解：&&&&&&&&⑴P{1≤X5}=F(5)?F(1)&&&&5?21?2=Φ(1)?Φ1?=Φ()?Φ()?3?33&&&&=0.47064&&&&?1?=Φ(1)+Φ?1=0.30?1?3?&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&⑵P{X?26}=1?P{X?2≤6}&&&&&&&&=1?P{?6≤X?2≤6}&&&&&&&&=1?P{?4≤X≤8}&&&&&&&&8?2?4?2=1Φ?Φ33?=1?[Φ(2)?Φ(?2)]&&&&&&&&=2×[1?Φ(2)]=2×(1?0.95&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&⑶P{X0}=1?P{X≤0}&&&&&&&&?0?2?=1?Φ?3?&&&&&&&&2=11?Φ3?&&&&?2?=Φ=0.7486?3?&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&设X~N(0,1),若zα满足条件&&&&&&&&P{Xzα}=α,0α1,&&&&&&&&分位点。则称点zα为标准正态分布的上α分位点。&&&&&&&&查表可知z0.05=1.645&&&&&&&&z0.005=2.575&&&&&&&&?(x)&&&&&&&&注：&&&&&&&&z1-α=?zα,&&&&α&&&&&&&&z0.95=-1.645&&&&&&&&z0.995=-2.575&&&&&&&&z1?α&&&&&&&&0&&&&&&&&返回主目录&&&&&&&&zαx&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&四正态分布的期望与方差1、一般正态分布&&&&&&&&Ex=?&&&&2、标准正态分布&&&&&&&&Dx=σ&&&&&&&&2&&&&&&&&Ex=0&&&&&&&&Dx=1&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&例3、某批零件长度Xcm是一个连续型随机变量，它服从数学期望为50cm、方差为0.752cm2的正态分布，规定长度在&&&&&&&&50±1.2cm之间的零件为合格品，从中随机抽取1个零件，&&&&求这个零件为合格品的概率。（函数值Φ(1.6)=0.9452）&&&&&&&&解：由题意得到参数&&&&&&&&?=E(X)=50σ2=D(X)=0.752&&&&&&&&因而连续型随机变量X～N(500.75)，根据一般正态,分布概率的计算公式，有概率&&&&返回主目录&&&&&&&&2&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&P{50?1.2≤X≤50+1.2}&&&&50+1.2??50=Φ()?Φ()0.750.75=Φ(1.6)?Φ(?1.6)&&&&&&&&=2Φ(1.6)?1&&&&=2×0..8904&&&&&&&&所以该零件为合格品的概率为0.8904&&&&返回主目录&&&&&&&&第三章几种重要的概率分布&&&&&&&&小结与提问：小结与提问：本次课，我们介绍了正态分布的概念及指数分布的数学期望与方差。正态分布是应用最广泛的一种连续型随机变量的概率分布。应当熟记正态分布的概率密度函数的表达式、数学期望及方差，掌握有关正态分布的概率、数学期望及方差的计算，并掌握正态分布在实际问题中的应用。课外作业：课外作业：P150习题三3.14,3.15，3.16，3.17，3.18&&&&&&&&返回主目录&&&&&&&&分享给好友:
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