二重积分视频与定积分有哪些相同和不同之处？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-08-06 06:15 标签： 二重积分视频
为什么要引入“线积分”,“面积分”的概念以及一系列的概念定理啊?我觉得那些问题中定积分和重积分完全都可以理解和解决,线面积分最后不也是全部化为定积分和重积分么?定义这些有什么意义呢?_百度作业帮
为什么要引入“线积分”,“面积分”的概念以及一系列的概念定理啊?我觉得那些问题中定积分和重积分完全都可以理解和解决,线面积分最后不也是全部化为定积分和重积分么?定义这些有什么意义呢?打错了，“中”→“用”
我说一下我的观点：其实引入线积分,实质上是对定积分的推广和一般化.因为定积分的积分范围是一条直线,但这条直线是位于坐标轴上的.那么假如这条直线不在坐标轴上呢?更近一步,假如是条曲线,而不是直线呢?这个定积分就解决不了了.故要引入曲线积分,把积分范围一般化.至于求曲线积分时化为定积分,是因为在所有的线积分中,求定积分最简单,我们当然是要把一个难求解的问题转化成容易求解的问题.但是这种转化只是为了求值,它不能解释曲线积分的几何或物理意义.同样：曲面积分是对二重积分在积分范围上的推广,你可以自己想想为什么?
定积分和重积分是计算方法，线积分和面积分是根据积分区域的不同进行具体分析，就好像物理问题最终都用到数学的加减乘除一样二重积分和三重积分的区别 都可以算体积吗?_百度作业帮
二重积分和三重积分的区别 都可以算体积吗?
二重积分：有两个自变量z = f(x,y)当被积函数为1时,就是面积(自由度较大)∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = A(平面面积)当被积函数不为1时,就是图形的体积(规则)、和旋转体体积∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = V(旋转体体积)计算方法有直角坐标法、极坐标法、雅可比换元法等极坐标变换：{ x = rcosθ{ y = rsinθ{ α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π∫(α→β) ∫(h→k) f(rcosθ,rsinθ) r drdθ三重积分：有三个自变量u = f(x,y,z)被积函数为1时,就是体积、旋转体体积(自由度最大)∫(a→b) ∫(c→d) ∫(e→f) dxdydz = V(旋转体体积)当被积函数不为1时,就没有几何意义了,有物理意义等计算方法有直角坐标法、柱坐标切片法、柱坐标投影法、球面坐标法、雅可比换元法等极坐标变化(柱坐标)：{ x = rcosθ{ y = rsinθ{ z = z{ h ≤ r ≤ k{ α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π∫(α→β) ∫(h→k) ∫(z₁→z₂) f(rcosθ,rsinθ,z) r dzdrdθ极坐标变化(球坐标)：{ x = rsinφcosθ{ y = rsinφsinθ{ z = rcosφ{ h ≤ r ≤ k{ a ≤ φ ≤ b、最大范围：0 ≤ φ ≤ π{ α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π∫(α→β) ∫(a→b) ∫(h→k) f(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ) r²sin²φ drdφdθ所以越上一级,能求得的空间范围也越自由,越广泛,但也越复杂,越棘手,而且限制比上面两个都少,对空间想象力提高了.重积分能化为几次定积分,每个定积分能控制不同的伸展方向.又比如说,在a ≤ x ≤ b里由f(x)和g(x)围成的面积,其中f(x) > g(x)用定积分求的面积公式是∫(a→b) [f(x) - g(x)] dx但是升级的二重积分,面积公式就是∫(a→b) dx ∫(g(x)→f(x)) dx、被积函数变为1了用不同积分层次计算由z = x² + y²、z = a²围成的体积?一重积分(定积分)：向zox面投影,得z = x²、令z = a² --> x = ± a、采用圆壳法V = 2πrh = 2π∫(0→a) xz dx = 2π∫(0→a) x³ dx = 2π • (1/4)[ x⁴ ] |(0→a) = πa⁴/2二重积分：高为a、将z = x² + y²向xoy面投影得x² + y² = a²所以就是求∫∫(D) (x² + y²) dxdy、其中D是x² + y² = a²V = ∫∫(D) (x² + y²) dxdy = ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r³ dr、这步你会发觉步骤跟一重定积分一样的= 2π • (1/4)[ r⁴ ] |(0→a) = πa⁴/2三重积分：旋转体体积,被积函数是1,直接求可以了柱坐标切片法：Dz：x² + y² = zV = ∫∫∫(Ω) dxdydz= ∫(0→a²) dz ∫∫Dz dxdy= ∫(0→a²) πz dz= π • [ z²/2 ] |(0→a²)= πa⁴/2柱坐标投影法：Dxy：x² + y² = a²V = ∫∫∫(Ω) dxdydz= ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r dr ∫(r²→a²) dz= 2π • ∫(0→a) r • (a² - r²) dr= 2π • [ a²r²/2 - (1/4)r⁴ ] |(0→a)= 2π • [ a⁴/2 - (1/4)a⁴ ]= πa⁴/2三重积分求体积时能用的方法较多,就是所说的高自由度.既然都说了这麼多,再说一点吧：如果再学下去的话,你会发现求(平面)面积、体积 比 求(曲面)面积的公式容易学完求体积的公式,就会有求曲面的公式就是「曲线积分」和「曲面积分」,又分「第一类」和「第二类」当被积函数为1时,第一类曲线积分就是求弧线的长度,对比定积分只能求直线长度∫(C) ds = L(曲线长度)被积函数不为1时,就是求以弧线为底线的曲面的面积∫(C) f(x,y) ds = A(曲面面积)当被积函数为1时,第一类曲面积分就是求曲面的面积,对比二重积分只能求平面面积∫∫(Σ) dS = A(曲面面积)、自由度比第一类曲线积分大∫∫(Σ) f(x,y,z) dS,物理应用、例如曲面的质量、重心、转动惯量、流速场流过曲面的流量等而第二类曲线积分/第二类曲面积分以物理应用为主要,而且是有"方向性"的,涉及向量范围了.这两个比较复杂,概念又深了一层,慢慢体会,多做题由,的对称性有 所求立体的体积为二,利用极坐标计算二重积分1,变换公式按照二重&#4..
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二重积分的概念与性质
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官方公共微信神呐!告告我第一类和第二类曲面积分有什么区别啊?他们什么关系啊?_百度作业帮
神呐!告告我第一类和第二类曲面积分有什么区别啊?他们什么关系啊?
首先要告诉你一个题目外的：曲线积分与定积分,曲面积分与二重积分的区别：曲面积分、曲线积分都是给定了特定的曲线或者曲面的方程形式,意思是在曲线上或曲面上进行积分的,而不是像普通的二重积分和定积分那样直接在xyz坐标上进行积分,所以要将第一类曲线积分,第一类曲面积分通过给定的方程形式变换成在xyz坐标进行积分,另外既然给定了曲线或曲面方程,就可以根据方程把一个量表示成其他的两个量的关系,因为是在给定的曲线或曲面方程上进行积分的,所以要满足给定的曲线或曲面的方程,所以各个量之间可以代换的,这个普通的定积分和二重积分不能这么做的……第一类曲线积分：对线段的曲线积分,有积分顺序,下限永远小于上限……求解时米有第二类曲线积分简单,需要运用公式将线段微元ds通过给定的曲线方程形式表示成x与y的形式,进行积分,这个公式书里面有的,就是对参数求导,然后再表示成平分和的根式……第二类曲线积分：对坐标的曲线积分,没有积分顺序,意思是积分上下限可以颠倒了……第一类曲线积分和第二类曲线积分的关系：可以用余弦进行代换,余弦值指的是线段的切向量,这个书本里面的,我就不写了第一类曲面积分：对面积的曲面积分,求解时要通过给定的曲面方程形式,转化成x与y的形式,这个公式书里面也有的,就是求偏导吧?然后表示成平方和根式的形式第二类曲面积分：对坐标的曲线积分,这个简单一些,好好看看就可以了两类曲面积分的联系：可以用余弦代换,但是这个余弦是曲面的法向量下面给出第一类曲线积分和第一类曲面积分的联系,方便你记忆：都是要转化成在xyz坐标面上的积分,都是平方和的根式形式,但是第一类曲线积分是对参数求导,第一类曲面积分是求偏导,为何都是平方和的根式形式?原因是在微段或微面上用直线代替曲线,相当于正方体求对角线,你想想是不是,肯定要出现平方和的根式,你好好看看推导过程……第二类曲线积分与第二类曲面积分的关系：第二类曲线积分如果封闭的话,可以用格林公式或斯托克斯公式化简第二类曲面积分如果封闭的话,可以用高斯公式进行化简这些东西很有趣的,你要学会对应的记忆啊……

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