三角形的一条中线把其面积等分，试用这条规律完成下面问题。（1）把
练习题及答案
三角形的一条中线把其面积等分，试用这条规律完成下面问题。
（1）把一个三角形分成面积相等的4块（至少给出两种方法）；（2）在一块均匀的三角形草地上，恰好可放养84只羊，如图，现被两条中线分成4块，则四边形的一块（阴影部分）恰好可放养几只羊？
题型：解答题难度：中档来源：同步题
所属题型：解答题
试题难度系数：中档
答案（找答案上）
解：（1）如下图：（2）连结OC，利用方程组得阴影部分有28只羊。
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初中三年级数学试题“三角形的一条中线把其面积等分，试用这条规律完成下面问题。（1）把”旨在考查同学们对
三角形的中线，角平分线，高线，垂直平分线、
二元一次方程组的应用、
……等知识点的掌握情况，关于数学的核心考点解析如下：
此练习题为精华试题，现在没时间做？，以后再看。
根据试题考点，只列出了部分最相关的知识点，更多知识点请访问。
考点名称：
三角形的中线：
三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。
任何三角形都有三条中线，而且这三条中线都在三角形的内部，并交于一点
由定义可知，三角形的中线是一条线段。
由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。
且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。
每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。
三角形中线的性质：
设⊿ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c．
1、三角形的三条中线都在三角形内。
2、三角形的三条中线长：
................_______
ma=(1/2)&2b^2+2c^2-a^2 ；
................_______
mb=(1/2)&2c^2+2a^2-b^2 ；
................_______
mc=(1/2)&2a^2+2b^2-c^2 。
(ma,mb,mc分别为角A,B,C所对的中线长）
3、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。
4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
5.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.
三角形中线定理介绍
中线定理（pappus定理），又称阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。
定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。
即，对任意三角形△ABC，设I是线段BC的中点，AI为中线，则有如下关系：
AB^2+AC^2=2BI^2+2AI^2
或作AB^2+AC^2=1/2BC^2+2AI^2
三角形中线的应用
如图1，连接三角形ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫△ABC的边BC上的中线。∴BD=CD=BC . AE&BC于E，即AE是△ABC的边BC上的高。同时AE也是△ABD、△ACD的高。 根据三角形的面积公式，三角形ABC的面积为，即.
△ABD、△ACD的面积可表示为：
所以△ABD、△ACD的面积相等，都等于△ABC面积的一半。
结论一：三角形的一边的中线把这个三角形分成面积相等的两部分。
角平分线线定理：
定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。
逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线
段与这个角的两邻边对应成比例，
如：在△ABC中，BD平分&ABC，则AD：DC=AB：BC 注：定理2的逆命题也成立。
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。
角平线长公式：
在数学中，角平分线长公式是已知三角形三条边的长度时计算内角平分线长度的公式。在三角形\triangle {ABC}中, 若将角A的角平分线记为t_{a}, 角B的角平分线记为t_{b}, 角C的角平分线记为t_{c}, 那么它们长度可用如下公式计算：
其中的s 是半周长。
角平分线的性质:
角平分线是一条特殊的射线，它具有以下重要性质：
角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。
即如图所示：
性质的证明：
利用三角形全等，可以很容易推得此结论。 下面作一下简单推导。
垂直平分线的尺规作法：
1、取线段的中点。
2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到一个交点。
3、连接这两个交点。
原理：等腰三角形的高垂直等分底边。
1、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线，得到两个交点。原理：圆的半径处处相等。
2、连接这两个交点。原理：两点成一线。
垂直平分线的概念：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）
高线定义：
在数学中，三角形的高线（或称高、垂线）是指过它的一个顶点并垂直于对边的直线，或这条直线上从顶点到与对边所在直线的交点之间的线段。高线与对边的交点称为垂足。过一个顶点的高线的长度被称为三角形在这个顶点上的高，而对应的对边称为底边，其长度称为底。
三角形的三条高线交于一点，称为三角形的垂心，一般记作H。
高线的性质：
三角形的高可以用来计算其面积：三角形的面积S 等于过一个顶点的高乘以对边的长度再除以2：
其中a 为某一条边的边长，ha 为所对的顶点的高。
如果三角形ABC是等腰三角形，AB=AC，那么过A点的高线与过A点的中线和角平分线重合。
直角三角形的垂心是斜边所对的顶点。如果三角形ABC是直角三角形，其中角ACB是直角，那么过A点的高线是AC，过B点的高线是BC。三角形的垂心就是点C。
锐角三角形的垂心在三角形内部；钝角三角形的垂心在三角形外部。
欧拉定理断言，三角形的重心G、外心O 和垂心H 共线（称为欧拉线），并且重心是连接外心和垂心的线段的一个三等分点：HG =2GO
考点名称：
二元一次方程组的应用：
1． 行程问题（匀速运动）
基本关系：s=vt
⑴相遇问题（同时出发）：
⑵追及问题（同时出发）：
若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则
⑶水中航行：；
2． 配料问题：溶质=溶液&浓度
溶液=溶质+溶剂
3．增长率问题
4．工程问题
基本关系：工作量=工作效率&工作时间（常把工作量看成单位&1&）。
5．几何问题
常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。
三注意语言与解析式的互化
如，&多&、&少&、&增加了&、&增加为（到）&、&同时&、&扩大为（到）&、&扩大了&、&&
又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc。
四注意从语言叙述中写出相等关系。
如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x与y的差为3，则x-y=3。五注意单位换算
如，&小时&&分钟&的换算；s、v、t单位的一致等。
列方程（组）解应用题的步骤
列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：
⑴审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。
⑸解方程及检验。
综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。
利用二元一次方程组解简单的应用题&
1、李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税后可得利息43.92元。已知这两种储蓄的年利率的和为3.24％，问这两种储蓄的年利率各是多少？（注：公民应交利息所得税＝利息金额?20％） &
2、某班学生参加义务劳动，男生全部挑土，女生全部抬土，这样安排恰需筐68个，扁担40根，问这个班男生、女生各有多少人？ &
3、甲、乙两人做加法，甲将其中一个加数后面多写了一个0，所以得和是2342，乙将同一个加数后面少写了一个0，所得和是65，求原来的两个加数。
4、甲、乙2个工人同时接受一批任务，上午工作的4小时中，甲用了2.5小时改装机器以提高工效，因此，上午工作结束时，甲比乙少做40个零件；下午2人继续工作4小时后，全天总计甲反而比乙多做420个零件，问这一天甲、乙各做多少个零件？&
5、&去年甲、乙两车间计划共完成税利150万元，由于技术革新，生产效率大幅度提高，结果甲车间超额完成税利110％，乙车间超额完成税利120％，两车间一共上缴税利323万元，问甲、乙车间实际上缴税利多少万元？ & & &
6一列快车长168米，一列慢车长184米，如果两车相向而行，那么两车错车需4秒，如果同向而行，两车错车需16秒钟，求两车的速度。&
7、甲、乙两人分别以均匀的速度在周长为600米的圆形轨道上运动，甲的速度较快，当两人反向运动时，每15秒钟相遇一次；当两人同向运动时，每1分钟相遇一次，求各人的速度。
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CopyRight & 沪江网2015作交于点,利用三角形的中位线定理可得的长;作,利用相似可得的长;为两直角边长为,的直角三角形的斜边,为两直角边长为,的两直角三角形的斜边;以所给网格的对角线作为原三角形中最长的边,可得每条对角线处可作个三角形与原三角形相似,那么共有个.
解:,为中点,,,,;,,,,,;如图所示:每条对角线处可作个三角形与原三角形相似,那么共有个.
主要考查相似作图和全等作图;注意相似作图及解答有多种情况.
3998@@3@@@@作图—相似变换@@@@@@266@@Math@@Junior@@$266@@2@@@@图形的相似@@@@@@53@@Math@@Junior@@$53@@1@@@@图形的变化@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
第三大题，第8小题
求解答 学习搜索引擎 | 已知\Delta ABC中,AB=2\sqrt{5},AC=4\sqrt{5},BC=6(1)如图1,点M为AB的中点,在线段AC上取点N,使\Delta AMN与\Delta ABC相似,求线段MN的长;(2)如图2,是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格,设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形.\textcircled{1}请你在所给的网格中画出格点\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}与\Delta ABC全等(画出一个即可,不需证明)\textcircled{2}试直接写出所给的网格中与\Delta ABC相似且面积最大的格点三角形的个数,并画出其中一个(不需证明).如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=5，AD=4．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2），请你求出△ABF的面积；（2）在（1）的条件下，小明先将三角形的边EG和矩形边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式，并求当重叠部分面积为10时，平移距离x的值（如图3）；（3）在（2）的操作中，小明发现在平移过程中，虽然有时平移的距离不等，但两纸片重叠的面积却是相等的；而有时候平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．请探索这两种情况下重叠部分面积y的范围（直接写出结果）．-乐乐题库
& 中心对称图形知识点 & “如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开...”习题详情
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如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=5，AD=4．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2），请你求出△ABF的面积；（2）在（1）的条件下，小明先将三角形的边EG和矩形边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式，并求当重叠部分面积为10时，平移距离x的值（如图3）；（3）在（2）的操作中，小明发现在平移过程中，虽然有时平移的距离不等，但两纸片重叠的面积却是相等的；而有时候平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．请探索这两种情况下重叠部分面积y的范围（直接写出结果）．　
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2011-如东县模拟
分析与解答
习题“如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=5，AD=4．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针...”的分析与解答如下所示：
（1）由题意易得CE=3，DE=2，AD=4，然后经过证明△EFG∽△AED，求得FB的值，代入S△ABF=S△BEF-S△ABE=12BFoBE-12ABoAD即可；（2）分两种情况：一是x平移距离小于4时，二是x平移距离大于4时，分别求得解析式，把y=10分别代入两式，求得x的值，注意验证是否符合题意；（3）当4≤y＜16时，平移的距离不等，两纸片重叠的面积可能相等；0≤y＜4时，平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．
解：（1）∵AB=EG=DC=5，AD=BC=4，∴CE=BE2-BC2=52-42=3，DE=CD-CE=5-3=2，∵AB=EG，∴∠BAE=∠BEA，又∵∠BAE+∠EAD=90°，∠AED+∠EAD=90°，∴∠BAE=∠AED在△EFG和△AED中，∠BAE=∠AED，∠FBE=∠ADE=90°，∴△EFG∽△AED，那么，FBEB=ADDE，∴FB（或FG）=ADoEBDE=4×52=10，∴S△ABF=S△BEF-S△ABE=12BFoBE-12ABoAD=12×10×5-12×4×5=15；（2）分两种情况：一是x平移距离小于4时，EF与AB相交于P，过P作PQ⊥EG于Q点，∵△EFG的直角边FG=10，EG=5，∴tanα=EGFG=510=12，∵∠FGE=90°，∴PQ∥FC，四边形PQGB是矩形，∴∠EPQ=∠F，根据这个正切值，可求出相应的线段的数值，得出，FB=FG-BG=10-x，BP=FB2=10-x2，PQ=x，EQ=x2，∴重叠部分y=PBoBG+12BGoEQ=(10-x)x2+12x×x2=-14x2+5x，二是x平移距离大于4时，EF与AB相交于P，与CD相交于R，∴y=PBoBC+12PQoRQ=4(10-x)2+12×4×2=24-2x，当重叠部分面积为10时，即y=10分别代入两等式，-14x2+5x=10，解得：x=10+2√15（不合题意舍去）或10-2√15，y=24-2x=10得出，x=7，∴当0≤x≤4时，y=-14x2+5x，当4＜x≤10时，y=-2x+24，∴当y=10时，x=7或x=10-2√15；（3）解：当4≤y＜16时，平移的距离不等，两纸片重叠的面积可能相等，当0≤y＜4时，平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．
本题以动态（平移和旋转）的形式考查了分类讨论的思想、函数的知识和直角三角形，具有很强的综合性．
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如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=5，AD=4．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕...
错误类型：
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错误详情：
我的名号（最多30个字）：
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还有不懂的地方？快去向名师提问吧！
经过分析，习题“如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=5，AD=4．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针...”主要考察你对“中心对称图形”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
中心对称图形
（1）定义 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．（2）常见的中心对称图形平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
与“如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=5，AD=4．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针...”相似的题目：
下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是&&&&
在“正三角形、正方形、正五边形、正六边形、等腰梯形”中，任取其中一个图形，恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为&&&&．
下图所示是几种名车的标志，请你指出，在这几个图案中成轴对称和中心对称的图形各有&&&&2个，2个3个，3个2个，3个3个，2个
“如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开...”的最新评论
该知识点好题
1下列四个图中，既是轴对称又是中心对称图形的是&&&&
2下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有&&&&
3下列图形中．既是轴对称图形又是中心对称图形的是&&&&
该知识点易错题
1下列几何图形中，①一条线段；②平面上的两条直线；③等边三角形；④平行四边形；⑤等腰三角形，其中一定是中心对称图形的有&&&&
2一次魔术表演时，桌面上摆放着四张扑克牌．一位观众应邀登台将摩术师的眼睛蒙上黑布并把其中一张扑克牌旋转180°后放回原处，取下黑布后，魔术师立即就指出了哪张牌被旋转过．下面给出了四组牌，假如你是魔术师，你应该选择哪一组才能达到上述效果&&&&
3第二十九届奥运会2008年将在我国北京举行，如图是国际奥林匹克运动会旗的标志图案，它由五个半径相同的圆组成，象征着五大洲体育健儿，为发扬奥林匹克精神而团结起来，携手拼搏，这个图案是&&&&
欢迎来到乐乐题库，查看习题“如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=5，AD=4．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2），请你求出△ABF的面积；（2）在（1）的条件下，小明先将三角形的边EG和矩形边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式，并求当重叠部分面积为10时，平移距离x的值（如图3）；（3）在（2）的操作中，小明发现在平移过程中，虽然有时平移的距离不等，但两纸片重叠的面积却是相等的；而有时候平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．请探索这两种情况下重叠部分面积y的范围（直接写出结果）．”的答案、考点梳理，并查找与习题“如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=5，AD=4．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2），请你求出△ABF的面积；（2）在（1）的条件下，小明先将三角形的边EG和矩形边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式，并求当重叠部分面积为10时，平移距离x的值（如图3）；（3）在（2）的操作中，小明发现在平移过程中，虽然有时平移的距离不等，但两纸片重叠的面积却是相等的；而有时候平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．请探索这两种情况下重叠部分面积y的范围（直接写出结果）．”相似的习题。当前位置：
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一个直角三角形的三边长分别为3米、4米和5米，则它的面积是（　　）平方米．
题型：单选题难度：中档来源：不详
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据魔方格专家权威分析，试题“一个直角三角形的三边长分别为3米、4米和5米，则它的面积是（）平方..”主要考查你对&&三角形的周长，三角形的面积&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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三角形的周长三角形的面积
学习目标：1、体会理解三角形周长的概念。& 2、学习三角形周长的计算方法。三角形周长：三角形的周长等于三角形三边之和。周长l=a+b+c学习目标：1、理解三角形面积公式2、会根据公式进行面积计算图形拼组:1、两个完全一样的锐角三角形，可以拼成一个平行四边形。&2、两个完全一样的钝角三角形，可以拼成一个平行四边形。 面积公式：三角形面积=底×高÷2，用字母表示：S=ah÷2。
发现相似题
与“一个直角三角形的三边长分别为3米、4米和5米，则它的面积是（）平方..”考查相似的试题有：
9946321094779104644210224441057110949905如图①所示，已知直线m∥n，A，B为直线n上的两点，C，D为直线m上的两点．
（1）写出图中面积相等的各对三角形；
（2）如果A，B，C为三个定点，点D在m上移动，那么无论D点移动到任何位置，总有与△ABC的面积相等，理由是；
解决以下问题：如图②所示，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图③所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（即图中的折线CDE）还保留着．张大爷想过E点修一条直路，使直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦荒地面积一样多．请你用相关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案．（不计分界小路与直路的占地面积）
（3）写出设计方案，并在图③中画出相应的图形；
（4）说明方案设计的理由．
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