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& 2014高考数学必考热点大调查：热点20以椭圆和抛物线为背景的解析几何大题【教师版】
2014高考数学必考热点大调查：热点20以椭圆和抛物线为背景的解析几何大题【教师版】
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资料概述与简介
【最新考纲解读】
1．圆锥曲线
(1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质．
(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质．
(4)了解圆锥曲线的简单应用．
(5)理解数形结合的思想．
2．曲线与方程
结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想．
【回归课本整合】
1.椭圆的第一定义：平面内到两个定点的距离之和等于定长（）的点的轨迹.
注意：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹。
2．直线和椭圆的位置关系
（1）的形式（这里的系数A一定不为0），设其判别式为，
（1）相交：直线与椭圆相交；
（2）相切：直线与椭圆相切；
（3）相离：直线与椭圆相离；
(2弦长公式：
（1）若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝，若弦AB所在直线方程设为，则＝。
（2）焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。椭圆左焦点弦,右焦点弦.其中最短的为通径：,最长为；
（3）椭圆的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率.
3.与焦点三角形相关的结论
椭圆上的一点与两焦点所构成的三角，通常叫做焦点三角形.一般与焦点三角形的相关问题常利用椭圆的第一定义和正弦、余弦定理求解.设椭圆上的一点到两焦点的距离分别为，焦点的面积为，设,则在椭圆中，有以下结论：
(1)＝，且当即为短轴端点时，最大为＝；
（2）；焦点三角形的周长为；
(3)，当即为短轴端点时，的最大值为；
4.直线和抛物线的位置关系
（1）位置关系判断：直线与双曲线方程联立方程组，消掉y，得到
的形式，当，直线和抛物线相交，且与抛物线的对称轴并行，此时与抛物线只有一个交点，当设其判别式为，
①相交：直线与抛物线有两个交点；②相切：直线与抛物线有一个交点；
③相离：直线与抛物线没有交点.
注意：过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.
（2）焦点弦：若抛物线的焦点弦为AB,，则有,.
（3） 在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率.
（4）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点,反之亦成立.
5.求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：
1、“建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标. 建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标. 所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点.
没有给出坐标系，首先要选取适当的坐标系.
2、现(限)：由限制条件，列出几何等式. 写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)} 这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析题意，使写出的条件简明正确.
3、“代”：代换 用坐标法表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0 常常用到一些公式.
4、“化”：化简 化方程f(x,y)=0为最简形式. 要注意同解变形.
5、证明 证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 化简的过程若是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中产生不增根或失根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围).
注意：这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化.
【方法技巧提炼】
1.直线与椭圆的位置关系
在直线与椭圆的位置关系问题中，一类是直线和椭圆关系的判断，利用判别式法.另一类常与“弦”相关：“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度（弦长）”问题关键是长度（弦长）公式.在求解弦长问题中，要注意直线是否过焦点，如果过焦点，一般可采用焦半径公式求解；如果不过，就用一般方法求解.要注意利用椭圆自身的范围来确定自变量的范围，涉及二次方程时一定要注意判别式的限制条件.
2.如何利用抛物线的定义解题
（1）求轨迹问题：主要抓住到定点的距离和到定直线距离的几何特征，并验证其满足抛物线的定义，然后直接利用定义便可确定抛物线的方程；
（2）求最值问题：主要把握两个转化：一是把抛物线上的点到焦点的距离可以转化为到准线的距离；二是把点到抛物线的距离转化为到焦点的距离.在解题时要准确把握题设的条件，进行有效的转化，探求最值问题.
3.求曲线方程的常见方法：
(1)直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程
(2)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求
(3)相关点法：即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程
(4)参数法：若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程.如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程.
注意：(1)求曲线的轨迹与求曲线的轨迹方程的区别：求曲线的轨迹是在求出曲线轨迹方程后，再进一步说明轨迹是什么样的曲线.(2)求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.
4.解析几何解题的基本方法
解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.综合题中常常离不开直线与圆锥曲线的位置，因此，要树立将直线与圆锥曲线方程联立，应用判别式、韦达定理的意识.解析几何应用问题的解题关键是建立适当的坐标系，合理建立曲线模型，然后转化为相应的代数问题作出定量或定性的分析与判断.常用的方法：数形结合法，以形助数，用数定形. 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.
5.避免繁复运算的基本方法
可以概括为：回避，选择，寻求.所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算.所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的坐标系等，一般以直接性和间接性为基本原则.因为对普通方程运算复杂的问题，用参数方程可能会简单；在某一直角坐标系下运算复杂的问题，通过移轴可能会简单；在直角坐标系下运算复杂的问题，在极坐标系下可能会简单“所谓寻求”.
6. 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1）给出直线的方向向量或；
（2）给出与相交,等于已知过的中点;
（3）给出,等于已知是的中点;
（4）给出,等于已知与的中点三点共线;
（5） 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线；
（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即；
（7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角；
（8）给出,等于已知是的平分线；
（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;
（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;
（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
（14）在中，给出等于已知通过的内心；
（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
（16）在中，给出,等于已知是中边的中线。
7.定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
．解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理1．判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小，若x2的分母比y2的分母大，则焦点在x轴上，若x2的分母比y2的分母小，则焦点在y轴上．
4．直线和抛物线若有一个公共点，并不能说明直线和抛物线相切，还有可能直线与抛物线的对称轴平行．
5．在求得轨迹方程之后，要深入地思考一下：(1)是否还遗漏了一些点？是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在？(2)在所求得的轨迹方程中，x，y的取值范围是否有什么限制？确保轨迹上的点“不多不少”．
6.作为解答题的倒数第二个，试题的难度较大，也体现在计算量上尤为明显，同学们解题时往往会思路，但是算不对，对此，建议如下：（1）第一问保证其准确性，如求轨迹方程，曲线方程，或者几何性质等，因为第二问往往以第一问为基础，故第一问要舍得花时间去验证一下；（2）对于第二问，往往就是曲线与直线联立，建立方程组，得到判别式，韦达定理，等这些都已成立模式，故根据题意能够顺利得到这些关系，即使思路无法进行，也要准确的放在卷面上，一般它们都要占到部分分数；（3）如果涉及到直线方程的探索，特别注意斜率不存在的情况，有时一些定值定点问题，可以通过这种特殊情况直接得到.
【新题预测演练】
1.【江西师大附中、鹰潭一中高三数学已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设不过原点的直线与椭圆交于两点、，且直线、、的斜率依次成等比数列，求△面积的取值范围.
2. 【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】（本小题满分12分）
已知点E(m,0)为抛物线内的一个定点，过E作斜率分别为k1、k2的两条直线交抛物线于点A、B、C、D，且M、N分别是AB、CD的中点
（1）若m = 1，k1k2 = -1，求三角形EMN面积的最小值；
（2）若k1 + k2 = 1，求证：直线MN过定点。
3.【南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试】（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，且过点.
求椭圆的方程；
若点，分别是椭圆的左、右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点
（ⅰ）设直线的斜率为直线的斜率为，求证：为定值；
（ⅱ）设过点垂直于的直线为.
求证：直线过定点，并求出定点的坐标.
4．【山东省潍坊市2013届高三3月第一次模拟考试】（本小题满分12分）
如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴正
半轴相交于两点M，N(点M必在点N的右侧），且
已知椭圆D：的焦距等于，且过点
( I ) 求圆C和椭圆D的方程；
(Ⅱ) 若过点M斜率不为零的直线与椭圆D交于A、B两点，求证：直线NA与直线NB的倾角互补．
5.【陕西省宝鸡市2013届高三3月份第二次模拟考试】（本小题满分14分）
如图，设椭圆的上顶点为，左右焦点分别为，线段的中点分别为,△是面积为的等边三角形。
求该椭圆的离心率和标准方程；
设圆心在原点，半径为的圆是
椭圆的“准圆”。点是椭圆的“准圆”上的
一个动点，过动点做存在斜率的直线，使得与椭圆都只有一个交点，试判断是
否垂直？并说明理由。
6.【河北省唐山市学年度高三年级第一次模拟考试】已知椭圆C1：和动圆，直线l:y=kx+m与C1和C2分别有唯一的公共点A和B.]
(I)求r的取值范围；
(II )|AB|的最大值， C2的方程.
7.【2013年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测（二）】
已知直线l1：4x:－3y＋6=0和直线l2：x＝－，.若拋物线C:y2=2px上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2.
(I )求抛物线C的方程；
(II)直线l过抛物线C的焦点F与抛物线交于A，B两点，且AA1，BB1都垂直于直线l2，垂足为A1，B1，直线l2与y轴的交点为Q，求证：为定值。
8.【2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）3月】
已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为, 且与交于点.
求椭圆的方程；
是否存在满足的点? 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由.
9.【北京市顺义区2013届高三第一次统练】已知椭圆的上顶点为,左焦点为,直线与圆相切.过点的直线与椭圆交于两点.
(I)求椭圆的方程;
(II)当的面积达到最大时,求直线的方程.
10.【2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考】(本题满分1分的左、右焦点分别为，
上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）是过三点的圆上的点，到直线的最大距离等于
椭圆长轴的长，求椭圆的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点作斜率为的直线
与椭圆交于两点，线段的中垂线
与轴相交于点，求实数的取值范围．
11.【湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三三月联合考试】（本小题满分13分）
已知斜率为的直线与椭圆交于两点，且线段的中点为．直线与y轴交于点，与椭圆C交于相异两点，O为坐标原点，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求的值；
（3）求m的取值范围．
12.【北京市房山区2013届高三上学期期末考试】（本小题满分的左、右焦点分别为，线段（为坐标原点）的中点分别为，上顶点为，且为等腰直角三角形.
(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；
(Ⅱ) 过点作直线交椭圆于两点，使，求直线的方程.
13.【宁夏回族自治区石嘴山市2013届高三第一次模拟】
已知椭圆C的焦点为F1（－1，0），F2（1，0），点P（－1，）在椭圆C上。
（1）求椭圆C的方程；（2）若抛物线（）与椭圆C相交于点M、N，
当△OMN（O是坐标原点）的面积取得最大值时，求的值。
(注：的面积的最值也可用二次函数法求解)
14.【广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟】（本小题满分14分）
如图（6），设点、分别是椭圆
的左、右焦点，为椭圆上任意一点，且最小值为．
（1）求椭圆的方程均与椭圆，试探究在轴上是
否存在定点，点到的距离之积恒为1？若存在，请求出点坐标；
若不存在，请说明理由．
15.【山东省淄博市2013届高三3月第一次模拟考试】(理科) (本小题满分13分)
已知椭圆：的右焦点在圆上，直线交椭圆于、两点.
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 若(为坐标原点)，求的值；
(Ⅲ) 设点关于轴的对称点为（与不重合），且直线与轴交于点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
………………………11分
当且仅当时，此时
故的面积存在最大值，其最大值为.
………………………13分
16.【山东省淄博市2013届高三3月第一次模拟考试】(文科)（本小题满分13分）
已知椭圆：的右焦点在圆上，直线交椭圆于、两点.
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 若(为坐标原点)，求的值；
(Ⅲ) 若点的坐标是，试问的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
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All rights reserved.专题20 以椭圆和抛物线为背景的解析几何大题（新课标版）-2014年高考数学三轮复习精品资料（解析版）
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【新课标版】
【三年真题重温】
【2011新课标全国】在平面直角坐标系中，已知点，点在直线
上，点满足，··，点的轨迹为
(Ⅰ) 求的方程；
为上的动点，为在点处的切线，求点到距离的最
【2012新课标全国】设抛物线的焦点为，准线为，，
已知以为圆心，
为半径的圆交于两点；
（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；
（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一
个公共点，
求坐标原点到距离的比值。
解析：（1）由对称性知：是等腰直角，斜边
点到准线的距离
坐标原点到距离的比值为。
【2013新课标全国】已知圆M：(＋1)2＋y2=1，圆N：(－1)2＋y2=9，动圆P与圆
M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，
有l与圆M相切得，解得；当时，直线，联立直线与椭圆的方
程解得；同理，当时，.
【命题意图猜想】
1.圆锥曲线的解答题新课标的要求理一般以椭圆或抛物线为背景，而文一般以
椭圆为背景进行综合考查，由于双曲线的弱化，故以双曲线为背景的解析几何解答题不
在考虑.在2011年理高考试题以向量为载体考查求曲线方程的方法，考查了抛物线的切
线、点到直线的距离公式、利用基本不等式求最值等．而在2012年高考文理同一道题，
以抛物线与圆结合进行考查，主要考查抛物线、圆的标准方程的求法以及直线与抛物线
、圆的位置关系，突出解析几何的基本思想和方法的考查：如数形结合思想、坐标化方
2013年高考文理同一道题，以椭圆与圆结合进行考查，主要考查椭圆的定义、弦长公式
、直线的方程，考查生的运算能力、化简能力以及数形结合的能力.从近几年高考来看
，连续两年高考文理同一道题，且计算量都不是太大，说明文理难度都在降低，特别是
计算量不大，但要求的逻辑思维能力，数形结合的能力与往年差不多，体现高考重
能力，轻运算．由于连续几年没考查定点，定值及探索性命题，预测2014年高考很有可
能以椭圆，抛物线为背景，考查定点，定值及探索性命题．
2.圆锥曲线的解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲
线的位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想
等数思想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一．由于圆锥曲线与方程是传统的
高中数主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经
较为稳定，预计2014年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化．
3.从近几年高考来看，求曲线的轨迹方程是高考的常考题型，主要以解答题的形式
出现，考查轨迹方程的求法以及利用曲线的轨迹方程研究曲线的几何性质，一般用直接
法、待定系数法、相关点代入法等求曲线的轨迹方程，其关键是找到与任意点有关的等
量关系．轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相融合，着重考查
分析问题、解决问题的能力，对逻辑思维能力、运算能力也有一定的要求．预测2014年
高考仍将以求曲线的方程为主要考点，考查生的运算能力与逻辑推理能力．
【高考信息速递】
【最新考纲解读】
1．圆锥曲线
(1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质．
(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质．
(4)了解圆锥曲线的简单应用．
(5)理解数形结合的思想．
2．曲线与方程
结合已过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合
的基本思想．
【方法技巧提炼】
1.直线与椭圆的位置关系
在直线与椭圆的位置关系问题中，一类是直线和椭圆关系的判断，利用判别式法.另一类
常与“弦”相关：“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小
直角三角形”或“点差法”、“长度（弦长）”问题关键是长度（弦长）公式.在求解弦
长问题中，要注意直线是否过焦点，如果过焦点，一般可采用焦半径公式求解；如果不
过，就用一般方法求解.要注意利用椭圆自身的范围来确定自变量的范围，涉及二次方程
时一定要注意判别式的限制条件.
2.如何利用抛物线的定义解题
（1）求轨迹问题：主要抓住到定点的距离和到定直线距离的几何特征，并验证其满足抛
物线的定义，然后直接利用定义便可确定抛物线的方程；
（2）求最值问题：主要把握两个转化：一是把抛物线上的点到焦点的距离可以转化为到
准线的距离；二是把点到抛物线的距离转化为到焦点的距离.在解题时要准确把握题设的
条件，进行有效的转化，探求最值问题.
3.求曲线方程的常见方法：
(1)直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简
即得动点轨迹方程
(2)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆
等)，可用定义直接探求
(3)相关点法：即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它
们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解根据相关点所满足的方程，通过转
换而求动点的轨迹方程
(4)参数法：若动点的坐标()中的分别随另一变量的变化而变化，我们可以以
这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动
点的坐标，间接地把坐标联系起来，得到用参数表示的方程.如果消去参数，就可
以得到轨迹的普通方程.
注意：(1)求曲线的轨迹与求曲线的轨迹方程的区别：求曲线的轨迹是在求出曲线
轨迹方程后，再进一步说明轨迹是什么样的曲线.(2)求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯
粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.
4.解析几何解题的基本方法
解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何
性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、
提高能力的目的.综合题中常常离不开直线与圆锥曲线的位置，因此，要树立将直线与圆
锥曲线方程联立，应用判别式、韦达定理的意识.解析几何应用问题的解题关键是建立适
当的坐标系，合理建立曲线模型，然后转化为相应的代数问题作出定量或定性的分析与
判断.常用的方法：数形结合法，以形助数，用数定形.
在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身
份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨
论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.
5.避免繁复运算的基本方法
可以概括为：回避，选择，寻求.所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的
有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算.所谓选择，就是
选择合适的公式，合适的参变量，合适的坐标系等，一般以直接性和间接性为基本原则
.因为对普通方程运算复杂的问题，用参数方程可能会简单；在某一直角坐标系下运算复
杂的问题，通过移轴可能会简单；在直角坐标系下运算复杂的问题，在极坐标系下可能
会简单“所谓寻求”.
6. 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1）给出直线的方向向量或；
（2）给出与相交,等于已知过的中点;
（3）给出,等于已知是的中点;
（4）给出,等于已知与的中点三点共线;
给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点
（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即；
（7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角,
给出,等于已知是锐角；
（8）给出,等于已知是的平分线；
（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;
（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;
（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形
三条中线的交点）；
（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形
三条高的交点）；
（14）在中，给出等于已知通过的内心；
（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三
角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
（16）在中，给出,等于已知是中边的中线。
7.定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示
问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的
量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引
进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找
不受参数影响的量．
8．解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目
标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关
系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达
要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的
实际情况灵活处理。
【考场经验分享】
１．判断两种标准方程的方法为比较标准形式中与的分母大小，若的分
母比的分母大，则焦点在轴上，若的分母比的分母小，则焦点在y轴上
２．注意椭圆的范围，在设椭圆上点的坐标时，则，这往往在求与点
有关的最值问题中特别有用，也是容易忽略导致求最值错误的原因．
３．注意椭圆上点的坐标范围，特别是把椭圆上某一点坐标视为某一函数问题求解，求
函数的单调区间，最值有重要意义．
4．直线和抛物线若有一个公共点，并不能说明直线和抛物线相切，还有可能直线与抛物
线的对称轴平行．
5．在求得轨迹方程之后，要深入地思考一下：(1)是否还遗漏了一些点？是否还有另一
个满足条件的轨迹方程存在？(2)在所求得的轨迹方程中，，y的取值范围是否有什么限
制？确保轨迹上的点“不多不少”．
6.作为解答题的倒数第二个，试题的难度较大，也体现在计算量上尤为明显，同们解
题时往往会思路，但是算不对，对此，建议如下：（1）第一问保证其准确性，如求轨迹
方程，曲线方程，或者几何性质等，因为第二问往往以第一问为基础，故第一问要舍得
花时间去验证一下；（2）对于第二问，往往就是曲线与直线联立，建立方程组，得到判
别式，韦达定理，等这些都已成立模式，故根据题意能够顺利得到这些关系，即使思路
无法进行，也要准确的放在卷面上，一般它们都要占到部分分数；（3）如果涉及到直线
方程的探索，特别注意斜率不存在的情况，有时一些定值定点问题，可以通过这种
特殊情况直接得到.
【猜题押题演练】[来源:++]
1. 【唐山市2013-
2014年度高三年级第一期期末考试】已知抛物线，直线与E交于A、B两点
，且，其中O为原点.
（1）求抛物线E的方程；
（2）点C坐标为，记直线CA、CB的斜率分别为，证明：为定值.
【解析】（Ⅰ）将代入，得．
2. 【山西省忻州一中、康杰中、临汾一中、长治二中四校2014届高三第二次联考】
已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，焦距为2，离心率为
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线经过点（0,1），且与椭圆C交于两点，若，求直线
【解析】 (1)设椭圆方程为，
所以直线的方程为，即或．
3. 【河北省唐山市一中2014届高三12月月考】如图,已知椭圆的长轴为AB,过点B的
直线与轴垂直,椭圆的离心率,F为椭圆的左焦点,且
1) 求此椭圆的标准方程;
设P是此椭圆上异于A,B的任意一点, 轴,H为垂足,延长HP到点Q,使得HP=PQ,连接A
Q并延长交直线于点,为的中点，判定直线与以为直
径的圆O位置关系。
【解析】（1）可知，，，，，,得，椭圆方程为
4. 【河北省衡水中2014届高三上期四调考试】如图，已知抛物线：和⊙
：，过抛物线上一点作两条直线与⊙相切于、两
点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点到抛物线准线的距离为．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）当的角平分线垂直轴时，求直线的斜率；
（Ⅲ）若直线在轴上的截距为，求的最小值．
【解析】 (1)∵点到抛物线的距离为，
∴，即抛物线的方程为.
（2）法一：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，
∴直线的方程为，
联立方程组，得，
∵关于的函数在单调递增，
法二：设点，，．
以为圆心，为半径的圆方程为，
⊙方程：． ②
直线的方程为．
当时，直线在轴上的截距，
∵关于的函数在单调递增，
5. 【河南省郑州市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】已知的两顶点坐标
，，圆是的内切圆，在边，，上的切点分别为
，（从圆外一点到圆的两条切线段长相等），动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设直线与曲线的另一交点为，当点在以线段为直径的
圆上时，求直线的方程.
【解析】⑴解：由题知所以曲线
消得，所以，
6. 【山西省曲沃中2014届高三上期期中考试】已知椭圆的离心率为，以
原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P（4，0）且不垂直于轴
直线与椭圆C相交于A、B两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求的取值范围；
（3）若B点关于轴的对称点是E，证明：直线AE与轴相交于定点.
【解析】 (1)解：由题意知，∴，即，
∵，∴，∴，
∴的取值范围是.
（3）∵两点关于轴对称，∴，
直线的方程为，令得：
又，，∴，
由将①代入得：，∴直线与轴交于定点.
7. 【辽宁抚顺二中2014届高三
上期期中考试数】已知点F是抛物线C：的焦点，是抛物线C在第一象限内的点
（Ⅰ）求点的坐标；
（Ⅱ）以为圆心的动圆与轴分别交于两点A、B，延长A、B
分别交抛物线C于M、N两点；
①判断直线MN的斜率是否为定值，并说明理由；
②延长NM交轴于点E，若|EM|=|NE|，求co∠MN的值.
②设E(,0)，∵|EM|=|NE|，∴，
∴ ，则∴ ∴直线A的方程为，则，同理
8．【2014届云南部分名校12份联考】已知两点及，点在以、
为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点是直线上的两点
． 求四边形面积的最大值．
（1）依题意，设椭圆的方程为．
构成等差数列，
，[来源:||.Com]
，当时，，，．当时，四边
9. 【北京市西城区2014届高三上期期末考试数试题】已知是抛物线上的
两个点，点的坐标为，直线的斜率为， 为坐标原点.
（Ⅰ）若抛物线的焦点在直线的下方，求的取值范围；
（Ⅱ）设C为W上一点，且，过两点分别作W的切线，记两切线的交点为，
求的最小值.
【解析】（Ⅰ）解：抛物线的焦点为.
由题意，得直线的方程为，
，得，即直线与y轴相交于点.
因为抛物线的焦点在直线的下方，
所以 ，解得 .
（Ⅱ）解：由题意，设，，，
联立方程 消去，得， 由韦达定理，得，所以 .
10. 【广东省佛山市2014届高三教质量检测一】如图所示,已知椭圆的两个焦点
分别为、,且到直线的距离等于椭圆的短轴长.
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
若圆的圆心为(),且经过、,是椭圆上的动点且在
圆外,过作圆的切线,切点为,当的最大值为时,求
【解析】 (Ⅰ)设椭圆的方程为(),依题意,,所以
，又,所以,所以椭圆的方程为.
11. 【黑龙江省佳木斯市第一中2014届高三第三次调研】已知圆，若椭圆
的右顶点为圆的圆心，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若存在直线，使得直线与椭圆分别交于两点，与圆分
别交于两点，点在线段上，且，求圆的半径的取值范
又显然，所以。
综上，圆的半径的取值范围是.
12．【江西师大附中、临川一中2014届高三上期期末联考】已知椭圆C：的
一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于轴的
对称点为A1．求证：直线A1B过轴上一定点，并求出此定点坐标．
【解析】（Ⅰ）椭圆C：的一个焦点是（1，0），所以半焦距，又因为椭
即定点（1，0）.
．【2014年咸阳市高考模拟考试试题（一）】在平面直角坐标系中，已知椭
圆：过点P（2,1），且离心率．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线的l的斜率为，直线l与椭圆C交于A、B两点．求△PAB面积的最大值.
【解析】（I）∵ ∴
又椭圆： 过点P(2，1) ，∴ ，∴ ，
故所求椭圆　
当且仅当即时取得最大值．
14．【西安市第一中2013-
2014年度高三第二期第二次模拟考试】已知椭圆的离心率为,短轴一个端
点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设不与坐标轴平行的直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线
的距离为，求面积的最大值.
【解析】（1）依题意，可得：
15. 【西省长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中五校2014届高三第二
次联合模拟考试】椭圆以双曲线的实轴为短轴、虚轴为长轴，且与抛物线
求椭圆的方程及线段的长；
（Ⅱ）在与图像的公共区域内，是否存在一点，使得的弦与
的弦相互垂直平分于点？若存在，求点坐标，若不存在，说明理
【解析】（1）椭圆：；联立方程组解得，所以.
（2）假设存在，由题意将坐标带入做差得，将坐标带入得
，，故满足条件的点在抛物线外，所以不存在这样的点.
16. 【江西省重点中盟校2014届高三第一次联考】已知是椭圆的两
个焦点，为坐标原点，点在椭圆上，且，⊙是以为直径的圆
，直线：与⊙相切，并且与椭圆交于不同的两点
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当，且满足时，求弦长的取值范围．[来源:,,.Com]
【解析】（1）依题意，可知，∴，解得
17．【江西景德镇市2014届高三第二次质检试题数】已知A，B两点分别在直线与
上，且，又点P为AB的中点．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程．
（Ⅱ）若不同三点D（-2,0），,
均在点的轨迹上，且，
求点横坐标的取值范围．
【解析】（Ⅰ）P的轨迹的　
（Ⅱ）设直线D为②
（ 因为三点不同，易知）
所以的取值范围为
18. 【赣州市六校2013-
2014年度第一期期末联考】已知动圆与直线相切且与圆：外
（1）求圆心的轨迹方程；
（2）过定点作直线交轨迹于两点，是点关于坐标原点
的对称点，求证：；
【新课标版】
【三年真题重温】
1.【2011新课标全国】复数的共轭复数是()
A．B．C．D．2
【新课标版】
【三年真题重温】[来源:。。。。。]
1.【2011新课标全国】复数的共轭复数是(
【新课标版】
【三年真题重温】
【2011新课标全国】已知与均为单位向量，其夹角为，有下列四
【新课标版】
【三年真题重温】
【2011新课标全国】已知与均为单位向量，其夹角为，有下列四
【新课标版】
【三年真题重温】
1.【2011新课标全国】下列函数中，既是偶函数又在单调递增A
【新课标版】
【三年真题重温】
1.【2011新课标全国】下列函数中，既是偶函数又在单调递增A
【新课标版】
【三年真题重温】
1.【2011新课标全国】执行右面的程序框图，如果输入的是6，
【新课标版】
【三年真题重温】
1.【2011新课标全国】执行右面的程序框图，如果输入的是6，
【新课标版】
【三年真题重温】
1.【2011新课标全国】有3个兴趣小组，甲、乙两位同各自参加
【新课标版】
【三年真题重温】
1.【2011新课标全国】有3个兴趣小组，甲、乙两位同各自参加
【新课标版】
【三年真题重温】
1.【2011新课标全国】有3个兴趣小组，甲、乙两位同各自参加
【新课标版】
【三年真题重温】
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【三年真题重温】
1.【2011新课标全国】已知角的顶点与原点重合，始边与轴的A
【新课标版】
【三年真题重温】
1.【2011新课标全国】已知角的顶点与原点重合，始边与轴的A
【新课标版】
【三年真题重温】
【2011新课标全国】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图
【新课标版】
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【三年真题重温】
【2011新课标全国】设为等差数列的前项和，若，公
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【2011新课标全国】设为等差数列的前项和，若，公
【新课标版】
【三年真题重温】
【2011新课标全国】由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为(
【新课标版】
【三年真题重温】
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