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高三数学套题
2010年江苏省高考数学模拟试卷（压题卷）
1.已知函数$y=\sqrt{1-x}+\sqrt{x+3}$的最大值为M，最小值为m，则$\frac{M}{m}$=__________． (2分)
2.已知函数y=loga（ax2-x）在区间[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是__________． (2分)
3.已知点O为△ABC的外心，且$|{\overrightarrow{AC}}|=4，|{\overrightarrow{AB}}|=2$，则$\overrightarrow{AO}o\overrightarrow{BC}$=__________． (2分)
4.已知$\overrightarrow{a}\;，\overrightarrow{b}$是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量$\overrightarrow{c}$满足$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）o（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）=0$，则$|\overrightarrow{c}|$最大值是__________． (2分)
5.设函数f（x）=x2-3x-4，x∈[-3，6]，则对任意x0∈[-3，6]，使f（x0）≤0的概率为
__________ (2分)
6.已知$x≠\frac{nπ}{2}$，函数$\frac{1}{{{{sin}^2}x}}+\frac{4}{{{{cos}^2}x}}$的最小值是__________． (2分)
7.当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是__________． (2分)
8.已知F1，F2分别是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦点，以原点O为圆心、OF1为半径的圆与椭圆在y轴左侧交于A、B两点，若△F2AB为等边三角形，则椭圆的离心率为__________． (2分)
问答及计算题
1.已知在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，向量$\overrightarrow m=（cosA，sinA）$，$\overrightarrow n=（cosB，sinB）$，$\overrightarrow mo\overrightarrow n=\sqrt{3}sinB-cosC$．（1）求角A的大小；（2）若a=3，求△ABC面积的最大值． (5分)
2.如图所示，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．求证：MN∥平面DAE；（2）求证：AE⊥BE． (5分)
3.从一副扑克牌的红桃花色中取5张牌，点数分别为1，2，3，4，5．甲、乙两人玩一种游戏：甲先取一张牌，记下点数，放回后乙再取一张牌，记下点数．如果两个点数的和为偶数就算甲胜，否则算乙胜．（1）求甲胜且点数的和为6的事件发生的概率；（2）这种游戏规则公平吗？说明理由． (5分)
4.已知过点A（-1，0）的动直线l与圆C：x2+（y-3）2=4相交于P，Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N．（1）求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；（2）当$PQ=2\sqrt{3}$时，求直线l的方程；（3）探索$\overrightarrow{AM}o\overrightarrow{AN}$是否与直线l的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由． (5分)
5.已知如图，A、B是椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$的左、右顶点，直线x=t（-2＜t＜2）交椭圆于M、N两点，经过A、M、N的圆的圆心为C1，经过B、M、N的圆的圆心为C2．（1）求证|C1C2|为定值；（2）求圆C1与圆C2的面积之和的取值范围． (5分)
6.已知圆F1：（x+1）2+y2=16，定点F2（1，0），动圆过点F2，且与圆F1相内切．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）若过原点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，且△ABF1的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求直线l的方程． (5分)
7.已知圆C的圆心在抛物线x2=2py（p＞0）上运动，且圆C过A（0，p）点，若MN为圆C在x轴上截得的弦．（1）求弦长MN；（2）设AM=l1，AN=l2，求$\frac{l_1}{l_2}+\frac{l_2}{l_1}$的取值范围． (5分)
8.汶川大地震后，为了消除某堰塞湖可能造成的危险，救授指挥部商定，给该堰塞湖挖一个横截面为等腰梯形的简易引水槽（如图所示）进行引流，已知等腰梯形的下底与腰的长度都为a，且水槽的单位时间内的最大流量与横载面的面积为正比，比例系数k＞0．（1）试将水槽的最大流量表示成关于θ的函数f（θ）；（2）为确保人民的生命财产安全，请你设计一个方案，使单位时间内水槽的流量最大（即当θ为多大时，单位时间内水槽的流量最大）． (5分)
9.某直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m．（1）过点p的一条直线与走廊的外侧两边交于A，B两点，且与走廊的一边的夹角为$θ（0＜θ＜\frac{π}{2}）$，将线段AB的长度l表示为θ的函数；（2）一根长度为5m的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？请说明理由（铁棒的粗细忽略不计）． (5分)
10.已知函数f（x）=x2-4x+（2-a）lnx，（a∈R，a≠0）．（1）当a=8时，求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间[e，e2]上的最小值． (5分)
11.函数f（x）=x3-3x．（1）求函数f（x）的极值；（2）已知f（x）在[t，t+2]上是增函数，求t的取值范围；（3）f（x）在[t，t+2]上最大值M与最小值m之差M-m为g（t），求g（t）的最小值． (5分)
12.已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，等比数列{bn}的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a1＜b1，b2＜a3．（1）求a的值；（2）若对于任意的n∈N+，总存在m∈N+，使得am+3=bn成立，求b的值；（3）令Cn=an+1+bn，问数列{Cn}中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由． (5分)
13.已知数列{an}的前n项和为Sn，数列$\{\sqrt{{S_n}+1}\}$是公比为2的等比数列．（1）证明：数列{an}成等比数列的充要条件是a1=3；（2）设bn=5n-（-1）nan（n∈N*）．若bn＜bn+1对n∈N*恒成立，求a1的取值范围． (5分)
14.已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，等比数列{bn}的首项为b，公比为a（其中a，b均为正整数）．（Ⅰ）若a1=b1，a2=b2，求数列{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若${a_1}，{a_3}，{a_{n_1}}，{a_{n_2}}，…，{a_{n_k}}，…$（3＜n1＜n2＜…＜nk＜…）成等比数列，求数列{nk}的通项公式；（Ⅲ）若a1＜b1＜a2＜b2＜a3，且至少存在三个不同的b值使得等式am+t=bn（t∈N）成立，试求a、b的值． (5分)
15.设数列S1，S2，…是一个严格递增的正整数数列．（1）若${S_{{S_k}+1}}，{S_{{S_{k+1}}}}$是该数列的其中两项，求证：${S_{{S_k}+1}}≤{S_{{S_{k+1}}}}$；（2）若该数列的两个子数列${S_{S_1}}，{S_{S_2}}…$和${S_{{S_1}+1}}，{S_{{S_2}+1}}，…$都是等差数列，求证：这两个子数列的公差相等；（3）若（2）中的公差为1，求证：${S_{{S_k}+1}}≥{S_{{S_{k+1}}}}$，并证明数列{Sn}也是等差数列． (5分)
16.如图，海岸线MAN，∠A=2θ，现用长为l的拦网围成一养殖场，其中B∈MA，C∈NA．（1）若BC=l，求养殖场面积最大值；（2）若B、C为定点，BC＜l，在折线MBCN内选点D，使BD+DC=l，求四边形养殖场DBAC的最大面积． (5分)
17.如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB的长为4.5km，且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为60度（海岸线可以看作是直线），跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离$BC=4\sqrt{3}km$．&D为海湾一侧海岸线CT上的一点，设CD=x（km），点D对跑道AB的视角为θ．（Ⅰ）将tanθ表示为x的函数；（Ⅱ）求点D的位置，使θ取得最大值． (5分)
18.已知函数$f（x）={a^{|x|}}+\frac{2}{a^x}（x∈$R，a＞1），（1）求函数f（x）的值域；（2）记函数g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞]，若g（x）的最小值与a无关，求a的取值范围；（3）若$m＞2\sqrt{2}$，直接写出（不需给出演算步骤）关于x的方程f（x）=m的解集． (5分)
19.已知函数f（x）=ax-3，g（x）=bx-1+cx-2（a，b∈R）且$g（-\frac{1}{2}）-g（1）=f（0）$．（1）试求b，c所满足的关系式；（2）若b=0，方程f（x）=g（x）在（0，+∞）有唯一解，求a的取值范围；（3）若b=1，集合A={x|f（x）＞g（x），g（x）＜0}，试求集合A； (5分)
20.已知$f（x）=A\sqrt{x}+B\sqrt{1-x}（A＞0，B＞0）$．（1）求f（x）的定义域；（2）求f（x）的最大值和最小值；（3）若$g（x）=\sqrt{mx-1}+\sqrt{1-nx}（m＞n＞0）$，如何由（2）的结论求g（x）的最大值和最小值． (5分)
21.已知f（x）=log2x，当点M（x，y）在y=f（x）的图象上运动时，点N（x，ny）在函数y=gn（x）的图象上运动（n∈N）．（1）求y=gn（x）的解析式；（2）求集合A={a|关于x的方程g1（x+2）=g2（x+a）有实根，a∈R}；（3）设${H_n}（x）={（\frac{1}{2}）^{{g_n}（x）}}$，函数F（x）=H1（x）-g1（x），（0＜a≤x≤b）的值域为$[{-\frac{1}{2}，3}]$，求证：$a=\frac{1}{2}，b=2$． (5分)
22.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD=AD=1，AB=2，点E是AB上一点，AE等于何值时，二面角P-EC-D的平面角为$\frac{π}{4}$． (5分)
23.若随机事件A在1次试验中发生的概率为p（0＜p＜1），用随机变量ξ表示A在1次试验中发生的次数．（1）求方差Dξ的最大值；（2）求$\frac{2Dξ-1}{Eξ}$的最大值． (5分)
24.设函数$f（x）={x^2}{e^{x-1}}-\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}（x∈R）$．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）求y=f（x）在[-1，2]上的最小值；（3）当x∈（1，+∞）时，用数学归纳法证明：?n∈N*，${e^{x-1}}＞\frac{x^n}{n!}$． (5分)
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