已知一元二次不等式关x于的不等式[(a+1)x-3]...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-08-22 14:33 标签： 已知一元二次不等式
已知m，t∈R，函数f&（x）=（x-t）3+m．（I）当t=1时，（i）若f&（1）=1，求函数f&（x）的单调区间；（ii）若关于x的不等式f&（x）≥x3-1在区间[1，2]上有解，求m的取值范围；（Ⅱ）已知曲线y=f&（x）在其图象上的两点A（x1，f&（x1）），B（x2，f&（x2）））（&x1≠x2）处的切线分别为l1、l2．若直线l1与l2平行，试探究点A与点B的关系，并证明你的结论．
分析：（Ⅰ）（ i）因为f（1）=1，所以m=1，则f（x）=（x-1）3+1=x3-3x2+3x，而f'（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2≥0恒成立，由此能求出函数f（x）的单调递增区间．（ ii）不等式f（x）≥x3-1在区间[1，2]上有解，等价于m不小于3x2-3x在区间[1，2]上的最小值，由x∈[1，2]时，3x2-3x=3(x-12)2-34∈[0，6]，能求出m的取值范围．（Ⅱ）因为f（x）=x3的对称中心为（0，0），而f（x）=（x-t）3+m可以由f（x）=x3经平移得到，所以f（x）=（x-t）3+m的对称中心为（t，m），故合情猜测，若直线l1与l2平行，则点A与点B关于点（t，m）对称对猜想证明如下：因为f(x)=(x-t)3+m=x3-3tx2+3t2x-t3+m所以f'（x）=3x2-6tx+3t2=3（x-t）2，所以，l1，l2的斜率分别为k1=3(x1-t)2，k2=3(x2-t)2．由此能够证明直线l1与l2平行时，点A与点B关于点（t，m）对称．解答：解：（Ⅰ）（ i）因为f（1）=1，所以m=1，（1分）则f（x）=（x-1）3+1=x3-3x2+3x，而f'（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2≥0恒成立，所以函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）．&（4分）（ ii）不等式f（x）≥x3-1在区间[1，2]上有解，即不等式3x2-3x-m≤0在区间[1，2]上有解，即不等式m≥3x2-3x在区间[1，2]上有解，等价于m不小于3x2-3x在区间[1，2]上的最小值，（6分）因为x∈[1，2]时，3x2-3x=3(x-12)2-34∈[0，6]，所以m的取值范围是[0，+∞）．&（9分）（Ⅱ）因为f（x）=x3的对称中心为（0，0），而f（x）=（x-t）3+m可以由f（x）=x3经平移得到，所以f（x）=（x-t）3+m的对称中心为（t，m），故猜测，若直线l1与l2平行，则点A与点B关于点（t，m）对称．（10分）对猜想证明如下：因为f(x)=(x-t)3+m=x3-3tx2+3t2x-t3+m所以f'（x）=3x2-6tx+3t2=3（x-t）2所以，l1，l2的斜率分别为k1=3(x1-t)2，k2=3(x2-t)2．又直线l1与l2平行，所以k1=k2，即(x1-t)2=(x2-t)2，因为x1≠x2，所以，x1-t=-（x2-t），（12分）从而(x1-t)3=-(x2-t)3，所以f(x1)+f(x2)=(x1-t)3+m+(x2-t)3+m=-(x2-t)3+m+(x2-t)3+m=2m．又由上x1+x2=2t，所以点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1≠x2）关于点（（t，m）对称．故直线l1与l2平行时，点A与点B关于点（t，m）对称．&（14分）点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
请选择年级高一高二高三请输入相应的习题集名称(选填)：
科目：高中数学
来源：学年福建省福州市高三第一学期期末质量检测文科数学
题型：解答题
(本小题满分1
4分)已知m，t∈R，函数f (x) =(x - t)3+m．
(I)当t =1时，
(i)若f (1) =1，求函数f (x)的单调区间；
(ii)若关于x的不等式f (x)≥x3—1在区间[1，2]上有解，求m的取值范围；
(Ⅱ)已知曲线y= f (x)在其图象上的两点A(x1，f (x1))，B(x2，f (x2)))( x1≠x2)处的切线
分别为l1、l2．若直线l1与l2平行，试探究点A与点B的关系，并证明你的结论．
科目：高中数学
已知m，t∈R，函数f （x） =（x - t）3+m．
（I）当t =1时，
（i）若f （1） =1，求函数f （x）的单调区间；
（ii）若关于x的不等式f （x）≥x3—1在区间[1，2]上有解，求m的取值范围；
（Ⅱ）已知曲线y= f （x）在其图象上的两点A（x1，f （x1）），B（x2，f （x2）））（ x1≠x2）处的切线分别为l1、l2．若直线l1与l2平行，试探究点A与点B的关系，并证明你的结论．
科目：高中数学
来源：学年福建省福州市高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）
题型：解答题
已知m，t∈R，函数f&（x）=（x-t）3+m．（I）当t=1时，（i）若f&（1）=1，求函数f&（x）的单调区间；（ii）若关于x的不等式f&（x）≥x3-1在区间[1，2]上有解，求m的取值范围；（Ⅱ）已知曲线y=f&（x）在其图象上的两点A（x1，f&（x1）），B（x2，f&（x2）））（&x1≠x2）处的切线分别为l1、l2．若直线l1与l2平行，试探究点A与点B的关系，并证明你的结论．
科目：高中数学
来源：2012年新课标版高考数学模拟系列2（文科）（解析版）
题型：解答题
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已知函数f(x)=ax^憨耿封际莩宦凤为脯力2+bx-a+2
(1)若关于x的不等式f(c)&0的解集是（-1，3），求实数a,b的值
（2）若b=2,a&0,解关于x的不等式f(x)&0.
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(1) a-b-a+2=09a+3b-a+2=0解得，a=-1b=2（2） f(x)=ax^2+2x-a+2&0(ax-a+2)(x+1)&0[x-(1-2/a)](x+1)&01. a=1(x+1)(x+1)&0x≠-12. a&11-2/a&1-2/1&-1x&1-2&#4憨耿封际莩宦凤为脯力7;a或x&-13.0&a&1x&-1或x&1-2/a
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提问者采纳
化为a的不等式：a(-x^2+x-1)+x^2-x+3&0a(x^2-x+1)&x^2-x+3因为x^2-x+1恒为正所以有a&(x^2-x+3)/(x^2-x+1)a&1+2/(x^2-x+1)=f(x)供攻垛纪艹慌讹苇番俩在[-2,2]上，g(x)=x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4, 其最小值为g(1/2)=3/4, 最大值g(-2)=7, 所以f(x)的最大值为1+2/(3/4)=11/3,最小值为1+2/7=9/7因此当a&11/3时，a&f(x)在区间[-2,2]没解所求的范围即是a&11/3
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1、- |x + 3| + a > 6|x + 3| <
a - 6a ≤ 6：无解a > 6：6 - a < x + 3 < a - 63 - a < x < a - 92、2f(x) > g(x)2|x - 1| > - |x + 3| + a(1) x ≤ -3：- 2(x - 1) > (x + 3) + aa < -1 - 3xa < 8(2) -3 < x < 1：- 2(x - 1)
> -(x + 3) + aa < 5 - xa < 4(3) x ≥ 1：2(x - 1)
> - (x + 3) + aa < 1 + 3xa < 4∴a < 4已知关于x的不等式x2+(3-a2)x+2a-1&0在(-2，0)上恒成立，求a的取值范围_百度知道
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2) a=5&#47-2&(-2)&0，ymin=-∞;x^2=(x^2-2a+1)/&gt、a=1/2 此时-2&-2。解得(-1-√7)/1/2&lt，(-1-√7)/4 -3;a&lt,为增函数。不符，此时(-2。3） 1&#47.也不符;=01) a&gt.成立,0)为减函数 ymin=-∞;1/0时x2+(3-a2)x+2a-1&5/x&2 此时y&#39;2 &lt、a&2综上;y(-2)=-2+(2a-1)/2 &1/2 此时-√(2a-1)&1/x^2
x=-√(2a-1)时y&#39;=a&lt。三;2 此时y&#39;(-2)即此时-2+(2a-1)/=1-(2a-1)&#47、a&5/2 此时同上;0 ;-√(2a-1)&lt，也不符;=a2-3。二;2 此时y=x&gt。ymin&0即-2&a2-3一;0时y=x+(2a-1)/x&x&=a&=1&#47
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