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如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-43x+8的图象与x轴，y轴交于A、B两点，OD=14OB，AC=14AB，过点C作CE⊥OA于点E，点M从点C出发，沿CD方向运动，过点M作MN⊥OA于点N，过点N作NP∥AB，交OB于点P，当点N与点O重合时点M停止运动．设AN=a．（1）求点C的坐标；（2）用含a的代数式表示NP；（3）是否存在点M，使△MNP为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的a的值；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）∵一次函数y=-43x+8的图象与x轴，y轴交于A、B两点，∴点A的坐标为：（6，0），点B的坐标为：（0，8），∴OA=6，OB=8，∴AB=OA2+OB2=10，∴OD=14OB=2，AC=14AB=52，∴OD：OB=AC：AB=1：4，∴CD∥OA，∵CE⊥OA，MN⊥OA，OA⊥OB，∴四边形ODCE与四边形ODMN是矩形，∴MN=CE=OD=2，DM=ON，∴AE=AC2-CE2=32，∴OE=OA-AE=6-32=92，∴点C的坐标为：（92，2）；（2）∵NP∥AB，∴ONOA=NPAB，∵AN=a，∴ON=OA-AN=6-a，∴NP10=6-a6，解得：NP=30-5a3；（3）存在点M，能够使△MNP为等腰三角形，理由如下：过点D作DQ∥AB交OA于Q，则OQOA=ODOB，即OQ6=28，解得OQ=1.5，∴AQ=OA-OQ=6-1.5=4.5．∴当a=4.5时，点P与点D重合，此时△MNP不是等腰三角形．分两种情况讨论：①当0≤a＜4.5，即点P在点D上方时，如右图．∵NP∥AB，∴ONOA=OPOB，∴OP8=6-a6，解得：OP=24-4a3，∴PD=OP-OD=18-4a3，∴PM2=PD2+DM2=（18-4a3）2+（6-a）2=25a2-252a+6489．由于PN＞MN，所以当△MNP为等腰三角形时，可能有两种情况：当PM=MN时，25a2-252a+6489=4，解得a1=4.08，a2=6（不合题意，舍去）；当PM=PN时，25a2-252a+6489=（30-5a3）2，解得a=5.25（不合题意，舍去）；②当4.5＜a＜6，即点P在点D下方时，如右图．∵NP∥AB，∴ONOA=OPOB，∴OP8=6-a6，解得：OP=24-4a3，∴PD=OD-OP=4a-183，∴PM2=PD2+DM2=（4a-183）2+（6-a）2=25a2-252a+6489．当△MNP为等腰三角形时，可能有三种情况：当PM=MN时，25a2-252a+6489=4，解得a1=4.08，a2=6（均不合题意，舍去）；当PM=PN时，25a2-252a+6489=（30-5a3）2，解得a=5.25；当PN=MN时，30-5a3=2，解得a=4.8．综上可知，存在点M，能够使△MNP为等腰三角形，此时满足要求的a的值为4.08或4.8或5.25．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-43x+8的图象与x轴，y轴交..”主要考查你对&&求一次函数的解析式及一次函数的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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求一次函数的解析式及一次函数的应用
待定系数法求一次函数的解析式：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。一次函数的应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。（1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；（2）注意自变量的取值范围。 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。第四步（写）：写出该函数的解析式。 一次函数的应用涉及问题：一、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际。
二、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数
三、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）一次函数应用常用公式：1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)2.求与x轴平行线段的中点：(x1+x2)/23.求与y轴平行线段的中点：(y1+y2)/24.求任意线段的长：√[(x1-x2)2+(y1-y2)2 ]5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式两个一次函数 y1=k1x+b1; y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 ; y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x1）/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2) (若分母为0，则分子为0)（x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限（x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限（x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限（x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限8.若两条直线y1=k1x+b1//y2=k2x+b2，则k1=k2，b1≠b29.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，则k1×k2=-110.y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位y=kx+b+n就是向上平移n个单位y=kx+b-n就是向下平移n个单位口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)
发现相似题
与“如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-43x+8的图象与x轴，y轴交..”考查相似的试题有：
2275892290329106992203488514500632（2013o义乌市）如图1所示，已知y=（x＞0）图象上一点P，PA⊥x轴于点A（a，0），点B坐标为（0，b）（b＞0），动点M是y轴正半轴上B点上方的点，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q连接AQ，取AQ的中点为C．
（1）如图2，连接BP，求△PAB的面积；
（2）当点Q在线段BD上时，若四边形BQNC是菱形，面积为2，求此时P点的坐标；
（3）当点Q在射线BD上时，且a=3，b=1，若以点B，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长．
（1）根据同底等高的两个三角形的面积相等即可求出△PAB的面积；
（2）首先求出∠BQC=60°，∠BAQ=30°，然后证明△ABQ≌△ANQ，进而求出∠BAO=30°，由S四边形BQNC=2，求出OA=3，于是P点坐标求出；
（3）分两类进行讨论，当点Q在线段BD上，根据题干条件求出AQ的长，进而求出四边形的周长，当点Q在线段BD的延长线上，依然根据题干条件求出AQ的长，再进一步求出四边形的周长．
解：（1）S△PAB=S△PAO=xy=×6=3；
（2）如图1，∵四边形BQNC是菱形，
∴BQ=BC=NQ，∠BQC=∠NQC，
∵AB⊥BQ，C是AQ的中点，
∴BC=CQ=AQ，
∴∠BQC=60°，∠BAQ=30°，
在△ABQ和△ANQ中，
∴△ABQ≌△ANQ（SAS），
∴∠BAQ=∠NAQ=30°，
∴∠BAO=30°，
∵S菱形BQNC=2=×CQ×BN，
令CQ=2t=BQ，则BN=2×（2t×）=2t，
∵在Rt△AQB中，∠BAQ=30°，
∴AB=BQ=2，
∵∠BAO=30°
∴OA=AB=3，
又∵P点在反比例函数y=的图象上，
∴P点坐标为（3，2）；
（3）∵OB=1，OA=3，
易得△AOB∽△DBA，
①如图2，当点Q在线段BD上，
∵AB⊥BD，C为AQ的中点，
∵四边形BQNC是平行四边形，
∴QN=BC，CN=BQ，CN∥BD，
∴BQ=CN=BD=，
∴AQ=2+BQ2
∴C四边形BQNC=2+2；
②如图3，当点Q在射线BD的延长线上，
∵AB⊥BD，C为AQ的中点，
∴BC=CQ=AQ，
∴平行四边形BNQC是菱形，BN=CQ，BN∥CQ，
∴△BND∽△QAD
∴BQ=3BD=9，
∴AQ=2+BQ2
∴C四边形BNQC=2AQ=4．如图，二次函数2+
x-4的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，连接AC．
（1）求证：△AOC∽△COB．
（2）过点C作CD∥x轴交二次函数2+
x-4的图象于点D，若点M在线段AB上以每秒1个单位的速度由A向B运动，同时点N在线段CD上也以每秒1个单位的速度由点D向点C运动，连接线段MN，设运动时间为t秒．（0＜t≤6）
①是否存在时刻t，使MN=AC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
②是否存在时刻t，使MN⊥BC？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
（1）由二次函数求得其根从而得到三角形相应边的长度，证明三角形的相似；
（2）①由题意得AM=DN=t，有点A，B求得AB，MB，同理求得CD，CN，由当AM=CN，即四边形ACNM是平行四边形时，MN=AC，而求得t，连接BD，当MB=DN，即四边形MNDB是平行四边形时，得MN=BD=AC，从而求得．②若MN⊥BC，则两线段所在的直线的斜率互为负倒数，而求得．
（1）证明：令y=0，得：2+
解得：x1=2，x2=8，
令x=0，得：y=-4，
∴A（2，0），B（8，0），C（0，-4），
又∵∠AOC=∠COB，（1分）
∴△AOC∽△COB；
（2）解：①存在，t=5或3，
由题意，得：AM=DN=t，
∵A（2，0），B（8，0），
∴AB=8-2=6，
∵CD∥x轴，点C（0，-4），
∴点D的纵坐标为-4，
∵点D在二次函数2+
x-4的图象上，
∴x1=0，x2=10，
∴D（10，-4），
∴CD=10，CN=10-t，
Ⅰ当AM=CN，即四边形ACNM是平行四边形时，MN=AC，
此时，t=10-t，
Ⅱ连接BD，当MB=DN，即四边形MNDB是平行四边形时，
可证：MN=BD=AC，
此时，6-t=t，
所以，当t=5或3时，MN=AC．
②是否存在时刻t，使MN⊥BC？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由
BC所在直线的斜率：=，
由题意点M（2+t，0），N（10-t，-4），
若MN所在直线的斜率-2，
在其范围故存在．【答案】分析：（Ⅰ）抛物线的准线为，于是，p=4，由此可知抛物线方程为y2=8x．（Ⅱ）由题意得B（0，8），M（0，4），，，直线FA的方程为，直线MN的方程为由此可知点N的坐标为．（Ⅲ）由题意得，圆M的圆心坐标为（0，4），半径为4．当m=8时，直线AP的方程为x=8，此时，直线AP与圆M相离；当m≠8时，直线AP的方程为，圆心M（0，4）到直线AP的距离，由此可判断直线AP与圆M的位置关系．解答：解：（Ⅰ）抛物线的准线为，于是，∴p=4，∴抛物线方程为y2=8x（4分）（Ⅱ）∵点A的坐标为（8，8），由题意得B（0，8），M（0，4），又∵F（2，0），∴（6分）又MN⊥FA，∴，则直线FA的方程为，直线MN的方程为（8分）联立方程组，解得，∴点N的坐标为（10分）（Ⅲ）由题意得，圆M的圆心坐标为（0，4），半径为4．当m=8时，直线AP的方程为x=8，此时，直线AP与圆M相离（12分）当m≠8时，直线AP的方程为，即为8x-（8-m）y-8m=0，所以圆心M（0，4）到直线AP的距离，令d＞4，解得m＞2；令d=4，解得m=2；令d＜4，解得m＜2（14分）综上所述，当m＞2时，直线AP与圆a+b＞c相离；当m=2时，直线AP与圆a+b＞c相切；当m＜2时，直线AP与圆a+b＞c相交．（16分）点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．
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科目：高中数学
如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点．&A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M（O为坐标原点）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；（Ⅲ）以M为圆心，4为半径作圆M，点P（m，0）是x轴上的一个动点，试讨论直线AP与圆M的位置关系．
科目：高中数学
如图，已知抛物线C：x2=2py（p＞0）与圆O：x2+y2=8相交于A、B两点，且OA•OB=0（O为坐标原点），直线l与圆O相切，切点在劣弧AB（含A、B两点）上，且与抛物线C相交于M、N两点，d是M、N两点到抛物线C的焦点的距离之和．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）求d的最大值，并求d取得最大值时直线l的方程．
科目：高中数学
（;武昌区模拟）如图，已知抛物线C：y2=4x，过点A（1，2）作抛物线C的弦AP，AQ．（Ⅰ）若AP⊥AQ，证明直线PQ过定点，并求出定点的坐标；（Ⅱ）假设直线PQ过点T（5，-2），请问是否存在以PQ为底边的等腰三角形APQ？若存在，求出△APQ的个数？如果不存在，请说明理由．
科目：高中数学
（;徐州一模）如图，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A（x1，y1）（y1＞0），B（x2，y2）两点，T为抛物线的准线与x轴的交点．（1）若TA•TB=1，求直线l的斜率；（2）求∠ATF的最大值．
科目：高中数学
如图，已知抛物线C：y2=4x焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点．（Ⅰ）若线段AB的中点在直线y=2上，求直线l的方程；（Ⅱ）若|AB|=20，求直线l的方程．已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+c（a≠0）过点A（-6，0）和点B（2，8），线段AB交y轴于点C．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点M是线段AB上一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线y=ax2+c于点N，求线段MN的长度的最大值；
（3）设抛物线y=ax2+c与x轴的另一个交点为E，连接CE．过点O作CE的平行线l．在直线l上是否存在点P，在y轴右侧的抛物线y=ax2+c上是否存在点Q，使得四边形COPQ为直角梯形？若存在，请求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）利用待定系数法将A（-6，0）、B（2，8），代入y=ax2+c（a≠0），求出二次函数解析式即可求出；
（2）首先求出直线AB的解析式，设点M的坐标为（m，y1），因为点M在线段AB上，得出y1=m+6，设N点坐标为（m，y2），得出
y2的关系式，相减，利用二次函数的最值求出即可；
（3）根据直角梯形的判定方法，分别由①若CQ2∥OP3，②CO∥PQ，进行分析得出．
解：（1）因为抛物线y=ax2+c（a≠0）过点A（-6，0）、B（2，8），
所以2oa+c=0
解这个方程组，
所以抛物线的解析式为：2+9；
（2）设直线AB的解析式为：y=kx+b（k≠0），
因为A、B坐标分别为A（-6，0），B（2，8），
解这个方程组，得
所以直线AB的解析式为：y=x+6．
设点M的坐标为（m，y1）（-6≤m≤2），因为点M在线段AB上，所以y1=m+6．
因为MN⊥x轴，我们可设N点坐标为（m，y2）．
因为点N在抛物线上，所以2=-
因为点N在点M的上方，
所以MN=y2-y1=2+9)-(m+6)=2-m+3．
即MN=2+4．
所以当m=-2时，MN长度的最大值为4．
（3）存在．理由如下：
要使四边形COPQ为直角梯形，则四边形COPQ
首先必须为梯形，即需满足CQ∥OP或CO∥PQ．
①若CQ2∥OP3，
因为O、P两点在直线l上，即有CQ∥l．
又因CE∥l，所以点Q在直线CE上．
因为点Q又在抛物线2+9上，
所以点Q是直线CE与抛物线2+9的交点．
由已知E是直线CE与抛物线2+9的交点，
所以E就是满足条件的一个Q1点．
在2+9中，令y=0，即2+9=0，解得x1=6，x2=-6（舍去）．
所以E（6，0），即Q1（6，0）．因为直线CE与抛物线2+9的另一个交点在第二象限，故舍去．
过点Q1（6，0）作Q1P1⊥l，垂足为P1点，过点P1作P1F⊥x轴，垂足为F．
在直线y=x+6中，令x=0，得y=6．即点C的坐标为（0，6）．
在Rt△COQ1中，因为OC=OQ1=6，所以∠CQ1O=45°．
因为CQ1∥l，所以∠Q1OP1=∠CQ1O=45°．
所以△OP1Q1是等腰直角三角形．
所以1=3，1F=
OQ1=3，所以P1点的坐标是（3，-3）．
②CO∥PQ，
因为直线l与直线OC不垂直，所以点C必为直角顶点．CQ⊥y轴．
因为点C的坐标为（0，6），我们可设Q（n，6），
因为点Q在抛物线2+9上，
（舍去）．
得Q2点的坐标为．
设P2Q2（点P2在直线l上），交x轴于点G，则2=2
在Rt△OGP2中，∠EOP2=45°，2G=OG=2
所以点P2的坐标为．
综上所述，存在满足条件的点P和点Q，坐标分别是P1（3，-3），Q1（6，0）或2(2