如何预知一个数学题目的难度？
如题，数学问题的一个突出特征就是你做之前完全无法预料到它的难度。有些看起来很难的问题，可能做起来很简单；有些看起来很简单的题目，有可能做起来相当难。最典型的例子是哥德巴赫猜想、孪生素数猜想、费马大定理和3n+1猜想。这些问题的表述都相当简单，小学生都能听懂，以为能做得出来，但其实却难得可怕。特别是最后一个，据Erdos说以人类现有的数学知识还无法给出一个证明。 那么我要问了，在做之前，能否判断一个问题的难度，或者说，至少给出一个合理的估计，大致知道它的难度如何？一个想到的办法是根据尝试过它的人数的多寡，如果一个问题尝试（并且失败）的人数多，比如一些悬而未决的Open Problem，那么大致可以判断它是相当难的。但这其实也不准确，因为完全有可能一个大多数人都解不出的难题，某个人独辟蹊径用别人没想到的巧妙且容易的方法解了出来。这种事情在科学研究中并不罕见。那么有没有别的判据呢？笔者在从事程序语言理论的研究，经常见到一些Open Problem，最大的苦恼是做之前不知道它们有多难（有些可能穷其一生也无法解决，有些却曾误打误撞被笔者在两个星期内解决），或者说如何判断哪些Open Problem相对容易些，哪些相对难些。也许一个方法是，多阅读些论文，多看看别人的部分结果，根据部分结果判断，也许能大致知道它们的难度。 数学是一个很有魅力的学科，其魅力在于你做之前完全无法预料一个问题的难度。也许你已经看出来了，笔者其实想讨论的是做科学研究的方法学。那么请在科学研究（特别是数学研究）上有经验的人讲讲？（不要简单地说要有自知之明、不要攻击Open Problems之类的话）
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在做之前，能否判断一个问题的难度能,当且仅当你能把与这个问题类似的问题做出来.做题目就和修车一样,要用各种工具把车修到能正常跑.比如现在有一堆修车工具ABCD...Z,你手上只有ABCD,这时候来了一辆车,看起来用AB就能修好,另一辆要用ABC,你可以看得出前一辆比后一辆容易修.当然实际修的时候可能会遇到各种奇葩问题,比如卡某个零件,不过大方向总是对的.但是如果来了一辆车,ABCD全用上都修不好的时候,你是不知道这辆车要用几个工具能修好的,用ACEF和用ACEFG...XY难度差几个数量级,但是从你这无法判断你要多去拿几个工具,因为你不知道其他工具长啥样,你唯一知道的事情就是ABCD修不好它.
数学问题大概有两种不同形式的困难，一种是技术上的困难，比如Cantor提出的 连续统假设，后来这个问题被数学家科恩用一种叫做 forcing（力迫）的trick完全解决了，他用力迫法证明了连续统假设与选择公理是独立的。另一种不是技术上的困难而是工具上的困难，也就是数学没有发展到可以解决这个问题的程度，比如费马大定理。费马大定理是被当代数学家Wiles用模形式相关的工具（具体我也不太清楚( ╯□╰ )）解决的。至于如何判定open question是属于那一类的这个就没法概括了。比如我倾向于人类还没有掌握能够解决Remainn//Riemann 猜想的工具~~~
不知为何，本人下意识联想到NP问题：然后引用一个搞笑证明：康奈尔大学的Hubert Chen博士提供了P不等于NP的证明：反证法。设P = NP。令y为一个P = NP的证明。证明y可以用一个合格的计算机科学家在多项式时间内验证，我们认定这样的科学家的存在性为真。但是，因为P = NP，该证明y可以在多项式时间内由这样的科学家发现。但是这样的发现还没有发生（虽然这样的科学家试图发现这样的一个证明），我们得到了矛盾。大抵，题主可以通过观察死在这个问题上的人数和耗费时间来定义难度。
给大家讲几个故事：1.四色定理19世纪末，德国有位天才的数学教授叫闵可夫斯基，他曾是爱因斯坦的老师。爱因斯坦因为经常不去听课，便被他骂作“懒虫”。万万没想到，就是这个“懒虫”后来创立了著名的狭义相对论和广义相对论。闵可夫斯基受到很大震动，他把相对论中的时间和空间统一成“四维时空”，这是近代物理发展史上的关键一步。在闵可夫斯基的一生中，把爱因斯坦骂作“懒虫”恐怕还算不上是最尴尬的事…… 一天，闵可夫斯基刚走进教室，一名学生就递给他一张纸条，上面写着：“如果把地图上有共同边界的国家涂成不同颜色，那么只需要四种颜色就足够了，您能解释其中的道理吗？”闵可夫斯基微微一笑，对学生们说：“这个问题叫四色问题，是一个著名的数学难题。其实，它之所以一直没有得到解决，仅仅是由于没有第一流的数学家来解决它。” 为证明纸条上写的不是一道大餐，只是小菜一碟，闵可夫斯基决定当堂掌勺，问题就会变成定理……下课铃响了，可“菜”还是生的。一连好几天，他都挂了黑板。后来有一天，闵可夫斯基走进教室时，忽然雷声大作，他借此自嘲道：“哎，上帝在责备我狂妄自大呢，我解决不了这个问题。”进展当时，由大数学家、、等创立的拓扑学之发展可谓一日千里，后来竟盖过大数学家高斯宠爱的数论，成为雍容华贵的数学女王。四色问题就是属于拓扑学范畴的一个大问题。拓扑学不仅引进了全新的研究对象，也引进了全新的研究方式。对数学来说，它不啻是一场革命。 回顾拓扑学的历史，就可以说明为什么四色问题对于20世纪数学来说是重要的。通俗地说，连续变换就是你可以捏、拉一个东西，但不能将其扯破，也不能把原先不在一起的两个点粘在一起。比如，对于26个（大写）英文字母，一些拓扑学家就认为可将其分成6类：第一类：D，O；第二类：H、I第三类：C，L，M，N，S，U，V，W，Z。第四类：K、X第五类：A、R第六类：E、F、G、J、T第一类在连续变换下都可以变成O，第二类都可变成H,第三类则都可变成一条直线，第四类是一个叉，第五类是A，第六类是T。还有一些字母单独归一组：Y、Q、B、P因为4是平面的色数（它也是一种示性数，可见示性数有很多种），体现了平面的拓扑性质，与国家的形状无关，将平面弯成曲面也没关系。数学家必须确定这个数究竟是5还是4，这很重要。如果国家分布在一个环面上，画地图最多得要七种颜色。吊起数学家胃口的还有一个原因。乍一看，环面似乎更复杂，事实上，环面的七色定理却比较容易证明，希伍德当时就做到了；到1968年，其他所有复杂曲面的色数均已确定，唯有平面（或球面）的四色问题依然故我。看来，平面没有人们想象的那么简单1913年，伯克霍夫引进了一些新的技巧，导致1939年弗兰克林证明22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，温恩将22国提高为35。1968年，奥尔又达到了39国。1975年有报道，52国以下的地图用四色足够。可见，其进展极其缓慢。圆梦不过，情况也不是过分悲观。数学家希奇早在1936年就认为，讨论的情况是有限的，不过非常之大，大到可能有10000种。对于巨大而有限的数，最好由谁去对付？今天的人都明白，！从1950年起，希奇就与其学生丢莱研究怎样用计算机去验证各种类型的图形。这时计算机才刚刚发明。两人的思想可谓十分超前。1972年起，黑肯与阿佩尔开始对希奇的方法作重要改进。到1976年，他们认为问题已经压缩到可以用计算机证明的地步了。于是从1月份起，他们就在伊利诺伊大学的IBM360机上分1482种情况检查，历时1200个小时，作了100亿个判断，最终证明了四色定理。在当地的信封上盖“Four colorssutfice”（四色足够了）的邮戳，就是他们想到的一种传播这一惊人消息的别致的方法。2.费马大定理在阅读丢番图（Diophatus）《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。”（拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."）3.冰雹猜想冰雹猜想来历1976年的一天，《华盛顿邮报》于头版头条报道了一条数学新闻。文中记叙了这样一个故事：70年代中期，美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般，夜以继日，废寝忘食地玩弄一种数学游戏。这个游戏十分简单：任意写出一个自然数N（N≠0），并且按照以下的规律进行变换：如果是个，则下一步变成3N+1。如果是个，则下一步变成N/2。不单单是学生，甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入。为什么这种游戏的魅力经久不衰？因为人们发现，无论N是怎样一个非零自然数，最终都无法逃脱回到谷底1。准确地说，是无法逃出落入底部的4-2-1循环，永远也逃不出这样的宿命。这就是著名的“冰雹猜想”。强悍的27冰雹的最大魅力在于不可预知性。英国剑桥大学教授John Conway找到了一个自然数27。虽然27是一个貌不惊人的自然数，但是如果按照上述方法进行运算，则它的上浮下沉异常剧烈：首先，27要经过77步骤的变换到达顶峰值9232，然后又经过32步骤到达谷底值1。全部的变换过程（称作“雹程”）需要111步，其顶峰值9232，达到了原有数字27的342倍多，如果以瀑布般的直线下落（2的N次方）来比较，则具有同样雹程的数字N要达到2的111次方。其对比何其惊人！但是在1到100的范围内，像27这样的剧烈波动是没有的（54等27的2的次方倍数的数除外）。验证规律经过游戏的验证规律，人们发现仅仅在兼具4k和3m+1（k,m为自然数）处的数字才能产生冰雹猜想中“树”的分叉。所以在冰雹树中，16处是第一处分叉，然后是64……以后每隔一节，产生出一支新的支流。自从Conway发现了神奇的27之后，有专家指出，27这个数字必定只能由54变来，54又必然从108变来，所以，27之上，肯定可以出现不亚于2n的强大支流——33*2n(n=1，2，3……)，然而，27到4-2-1和本流2到4-2-1数列要遥远的多。按照机械唯物论的观点，从27开始逆流而上的数列群才能叫做本源，尽管如此，按照“直线下泻”的观点，一般依然把1-2-4-8……2n的这一支看作是“干流”。等差数列验证法，此方法是根据冰雹猜想的验证规则而建立的一种验证方法，是以无限的等差数列来对付无限的自然数。首项偶数，公差是偶数，那么数列上的所有自然数都是偶数，全体数列除于2，如果首项是奇数公差是偶数，那么数列上全体自然数都是奇数，全体乘上3再加1。如果公差是奇数，首项也是奇数，那么第奇数项必定都是奇数则乘上3再加1，第偶数项必定都是偶数,则除于2。如果公差是奇数，首项是偶数，那么第奇数项必定都是偶数，则除于2，第偶数项必定都是奇数，则乘上3再加1。按照这样的计算规则计算下去，会遇到许多新的问题，考验验证者的智商。比如偶数的通项公式是2n，因为都是偶数所以除于2，得到n，这就是自然数。按照忽略偶数不记录的验证方法进行验证，第一个被验证的奇数有可能是能被3整除的奇数，也有可能是不能被3整除的奇数。但是所到达所归结的第二个奇数，以及第三个奇数（假设存在），整个过程所到达所遇到所归结所访问到的每一个奇数，必定都不能再被3整除了。如果都从从能被3整除的奇数开始验证，路径上所遇到所归结的所到达所访问到的每一个奇数都必定不能再被3整除了，最终都能归结于1，那么必定遍历所有的奇数（遍历是离散数学的概念）。如果都从不能被3整除的奇数开始验证，那么路径上所遇到所到达所归结的所访问到的每一个奇数必定都不可能再被3整除了，最终都归结于1（等于说是漏下能被3整除的奇数没有被验证）。所以在顺向的冰雹猜想验证过程中，可以把能被3整除的奇数都命名为最起始点的奇数，1是终止点的奇数，而在逆向的冰雹猜想验证过程中则是相反的，1是最起始点的奇数，而能被3整除的奇数则是终止点的奇数。事实上在验证的过程中，不能被3整除的奇数，都在存在数量无穷多的上一步的奇数，占1/3的比例是能被3整除的奇数，占2/3的比例是不能被3整除的奇数，这一现象都跟自然数的情况出奇地巧合了.又称为，因为是一个名叫角谷的日本人把它传到中国。克拉茨问题又叫叙古拉猜想。它的一个推广是克拉茨问题，下面简要说说这个问题：50年代开始,在国际数学界广泛流行着这样一个奇怪有趣的数学问题:任意给定一个自然数x,如果是偶数,则变换成x/2,如果是,则变换成3x+1.此后,再对得数继续进行上述变换.例如x=52,可以陆续得出26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1.如果再做下去就得到循环:(4,2,1).再试其他的自然数也会得出相同的结果.这个叫做叙古拉猜想.上述变换,实际上是进行下列函数的迭代{ x/2 (x是偶数)C(x)=3x+1 (x是)问题是,从任意一个自然数开始,经过有限次函数C迭代,能否最终得到循环(4,2,1),或者等价地说,最终得到1?据说克拉茨(L.Collatz)在1950年召开的一次国际数学家大会上谈起过,因而许多人称之为克拉茨问题.但是后来也有许多人独立地发现过同一个问题,所以,从此以后也许为了避免引起问题的归属争议,许多文献称之为3x+1问题.悬赏征解克拉茨问题吸引人之处在于C迭代过程中一旦出现2的幂,问题就解决了,而2的幂有无穷多个,人们认为只要迭代过程持续足够长,必定会碰到一个2的幂使问题以肯定形式得到解决.正是这种信念使得问题每到一处,便在那里掀起一股"3x+1问题"狂热,不论是大学还是研究机构都不同程度地卷入这一问题.许多数学家开始悬赏征解,有的500美元,有的1000英镑.数学难题日本东京大学的米田信夫已经对240大约是11000亿以下的自然数做了检验.1992年李文斯(G.T.Leavens)和弗穆兰(M.Vermeulen)已经对5.6*1013的自然数进行了验证,均未发现反例.题意如此清晰,明了,简单,连小学生都能看懂的问题,却难到了20世纪许多大数学家.著名学者盖伊(R.K.Guy)在介绍这一世界难题的时候,竟然冠以"不要试图去解决这些问题"为标题.经过几十年的探索与研究,人们似乎接受了大数学家厄特希(P.Erdos)的说法:"数学还没有成熟到足以解决这样的问题!"有人提议将3x+1问题作为下一个费尔马问题.初步研究下面是我对克拉茨问题的初步研究结果,只是发现了一点点规律,距离解决还很遥远.克拉茨命题:设 n∈N,并且f(n)= n/2 (如果n是偶数) 或者 3n+1 (如果n是)现用f1(n)表示f(n),f2(n)=f(f(n)),...fk(n)=f(f(...f(n)...)).则存在有限正整数m∈N,使得fm(n)=1.(以下称n/2为偶变换,3n+1为奇变换,并且称先奇变换再偶变换为全变换)这几个都是国际上著名的数学猜想，每个问题出来的时候，很多当时的顶尖数学家在没有深入研究之前，判断这些问题的难度的时候都会出错，更何况普通人呢？想提前预知一个问题的难度，除非这个问题已经难倒数学界n年，那不用想了。如果这个问题是没有人提出过的新问题，要么一眼能看出来可行，要么乖乖去研究一段时间再说。
谢邀。问你老板：“这个题目适不适合作为博士毕业论文课题？”如果他回答适合，说明比较简单，可以在5年内做出来；如果他回答不适合，要么太简单了或者早就被别人解决了，要么太难了他觉得你做不动。当然还有一种可能：你老板不顾你的死活、不管你能不能毕业，忽悠你去做大问题难问题。
希尔伯特的传记中提到过希尔伯特在某次报告中对 1黎曼猜想、2费马大定理、3某个超越性问题 给出了按顺序有易到难的判断，并断言自己有生之年能看到1的证明，台下年轻听众能看到2的证明，但在场无人能看到3的证明。但历史的发展与他的预言恰好相反。所以你说我们哪来的自信可以比希尔伯特更能预知数学问题的难度呢？
感觉这是在问一个停机问题的变种啊。给定一个问题，和一个解决问题的机器（这里机器可以是一个或一些人），求问题多久会被解决。别说多久了，能不能被解决都不可能预知出来啊。
反正我都是看分值。
比较好理解的难度尺度是时间。《计算机程序设计的艺术》把问题按解决时间（秒）的对数来分类，我认为非常合理，对于一个未解决的问题，按提出时间到现在的时间大体能估计到它的量级。直接知识性的难度在0-1之间（取自然对数，下同）。1分钟可以解决难度是1-2之间。大作业水平，大约几小时可以解决3-5之间。毕业设计水平，大约一个月解决6-7。上面有人提到博士水平，5年内解决大约7-8四色定理大约用了100年，难度大约是10。大多数难度7-8之间的问题，应该有希望解决；超过9的问题，基本上不太可能在10年内得到解决。通过对数的分级，问题虽然还没有解决，但大体上能解决的时间范围也已经圈定。当然，一定会有一些非常坑的问题，从一个时间范围留到了下一个时间范围，但毕竟是少数。当然对于一些非常超前的问题，很可能没有太多的时间验证（比如说某次大会上新提出的问题），难度可能失效。
能回答这个问题的人肯定不会上知乎……
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王师傅是卖鞋的，一双鞋进价30元甩卖20元，顾客来买鞋给了张50，王师傅没零钱，于是找邻居换了50元。事后邻居发现钱是假的，王师傅又赔了邻居50。请问王师傅一共亏了多少?（这道题目不简单，100个人有99人会算错）到底亏了多少？小伙伴们，求解？
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我掐指一算，貌似是60元~~
へ　　　　　／|
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　│　Z ＿,＜　／　　 /`ヽ
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　 Y　　　　　`　 /　　/
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王师傅兜里有80元，30原进货，剩50元；卖了鞋拿假50破钱，兜里有真的整50和零钱50，零钱找零，兜里剩一张真50和真20，用真50换回来假50，兜里还是一张真20一张假50，80-20=60，所以王师傅亏了60.
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我怎么算出来是110
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本帖最后由 苹果酸脱氢酶 于
18:00 编辑
亏了60，这种题，今天第一次做错。
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本帖最后由 苹果酸脱氢酶 于
17:58 编辑
不败金身竟然被破了。
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给了上游鞋商30，给了邻居50，找钱给了别人30，最后自己留下一张假钞。
http://kr.battle.net/d3/ko/profile/holoyo-3788/hero/|
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卖金骗子/广告帖永禁。胡乱骂人者禁言7天，二犯永禁。纯水帖警告3次后禁言3天。http://us.battle.net/d3/en/profile/sillyafred-3179/hero/
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亏150& && && && && && && && && &
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活跃度1640
其实这道题就等于：(邻居那个是糊弄你的哦去掉他)顾客拿张废纸换了30元加一双鞋子，但是鞋子本来有定价，这个定价是30进货价加上盈利的价格X啊，所以王师傅亏了(X+60)嘛。
A:胸不贫何以平天下，B:乳不巨何以聚人心。
中午在考场附近的小餐馆吃饭，听到两个考生聊天。A：刚才有个SB告诉我鲁迅姓周！笑死我了！ 周迅是个演员好吗？笑死我了！真想一板砖拍死他！ B：嗯，鲁迅原名李大钊，浙江周树人。
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暴雪个菠萝 发表于
其实这道题就等于：(邻居那个是糊弄你的哦去掉他)顾客拿张废纸换了30元加一双鞋子，但是鞋子本来有定价，这 ...
你好聪慧啊！！！！
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djl0615 发表于
你好聪慧啊！！！！
嫁了算了………………
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本帖最后由 为什么要下雨 于
18:18 编辑
1.收到50元&&=& &+50
2.互换50元&&=& & 0
3.找零30元&&=& &-30
4.送鞋一双&&=& &-30
5.邻居拿回&&=& &-50
以上，计算公式为
50 -0 -30 -30 -50 = 60
误区1, 为什么没有计算留下零钱20元？
答：这是因为这20元包括在互换的50元中了，
误区2，为什么计算找零的30元，不是也包括在互换中了吗？
答：本来是在的，但是后来找出去了，本来的50元就变成20元了，自然就要减去这个30元。
&。。。网速不错啊。&
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苹果酸脱氢酶 发表于
支出：30进货，50赔钱，30找零；得到：找零后剩下20。共计-90。
喂，我在吃东西啊，看到你的算法，真心笑喷了
朋友的算法和头像一样可爱啊
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Powered by问一个数学问题实在搞不懂这个机会损失是如何算出来的，解释得详细一点
天戾言哥4W5R
这个你仔细看题目就懂了。机会损失=最好方案的收益-原来方案的收益就上面的表格，销售良好的情况下有2个方案吧。其中收益最高的是方案1吧，那么最高收益就是80了，然后方案1的机会损失=80-80=0，方案2的机会损失=80-40=40销售较差时，俩个方案收益比较的话，最高的是方案2吧，最高收益就是5，所以方案1的机会损失=5-(-10)=15,方案2的机会损失=5-5=0.。其实仔细想的话，很容易懂的。希望能够给你帮助。
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