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《锐角三角函数的简单应用》说课稿
一、教学内容与学情分析
1.本课内容在教材、新课标中的地位和作用
《锐角三角函数的简单应用》是初中数学九年级上册第一章第六节的内容。本节课是《锐角三角函数的简单应用》的第三课时，是继前面学习了三角函数应用中的有关旋转问题和测量问题后的又一种类型的应用：即有关工程中的&坡度&问题。三种类型的问题只是问题的背景不同，其实解决问题所用的工具都相同，即直角三角形的边角关系。因此本节课沿用前两节课的教学模式。直角三角形是最简单、最基本的几何图形，在生活中随处可见，是研究其他图形的基础，在解决实际问题中也有着广泛的应用.《锐角三角函数的简单应用》是解直角三角形的延续，渗透着数形结合思想、方程思想、转化思想。因此本课无论是在本章还是在整个初中数学教材中都具有重要的地位。
关于锐角三角函数的简单应用，《数学新课程标准》中要求：运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题，考纲中的能级要求为C(掌握)。
2、学生已有的知识基础和学习新知的障碍
通过前几节课的学习，学生已经经历过了建立三角函数模型解决问题的过程，掌握了一定的解题技巧和方法，具备了一定的分析问题、解决问题的能力。这为本节课的学习奠定了良好的基础。
由于坡度问题涉及梯形的有关性质和解题技巧，而学生对此遗忘严重，再次面对梯形的问题情境，会产生思维上的障碍。另外坡度问题的计算较复杂，而学生的计算能力较弱，计算器使用不熟练，特殊角的三角函数值还没记牢，这些对整个问题的解决都会起到延缓的作用。
二、目标的设定
基于以上分析，将本节课教学目标设定为：
1.应用三角函数解决有关&坡度&的问题，进一步理解三角函数的意义。
2.经历探索实际问题的求解过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用。
3.经历实际问题数学化的过程，在独立思考探索解决问题方法的过程中，不断克服困难，增强应用数学的意识和解决问题的能力。
三、重、难点的确立及依据
1、重点：有关&坡度&问题的计算。
确立依据：坡度问题是很现实的实际问题，是应用三角函数解决实际问题很好的素材，也是中考的重要内容，但坡度问题的计算量较大，学生计算能力又很弱，所以很容易出错。故将本节课重点设为：有关&坡度&问题的计算。
2、难点：建立直角三角形模型，把实际问题转化为数学问题。
确立依据：从认知规律看，学生已经具有初步的探究能力和逻辑思维能力。但直角三角形的应用题型较多，有关坡度问题的情境学生又不是很熟悉，而且含有很多专有名词，学生理解起来比较困难，导致建立直角三角形模型上可能会有困难，从而不能把实际问题转化为数学问题。故将本节课难点设为：建立直角三角形模型，把实际问题转化为数学问题。
四、教法设计
1.教学结构及教学基本思路
本节课主要内容是一个关于坡度的实际问题，本节课采用&研究体验式&教学，通过问题情境自然引入新课，通过对实际问题的探究、拓展，体验实际问题的解决过程，体会数学的应用价值，体会数学思想在解题中的应用，提高解题能力，培养数学建模意识，通过课堂练习巩固知识。具体思路如下：
⑴ 出示问题情境，让学生了解坡度与坡角的关系，为后继解题排除知识的干扰。
⑵ 探究：出示问题1，学生独立思考后小组讨论交流。让学生先分析解决，体会实际问题的解决需要建立数学模型来刻画实际问题。
⑶ 拓展与延伸：对问题1进行变式、拓展，要求学生先画出示意图后再分析。
⑷ 课堂练习，及时巩固新知。安排两道简单的练习题供学生独立解决。
⑸师生共同总结，完成本课欢迎来到高考学习网，
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& 学年高一数学人教A版必修4课时作业(13)《三角函数模型的简单应用》
学年高一数学人教A版必修4课时作业(13)《三角函数模型的简单应用》
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资料概述与简介
课时作业(十三)　三角函数模型的简单应用
A组　基础巩固
1.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为：s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为(　　)
解析：单摆来回摆动一次所需的时间为函数s＝6sin的周期．
又T＝＝1，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s，故选D.
2．如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　)
解析：由题意，得d＝f(l)＝2sin，故选C.
3．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是(　　)
A．y＝12＋3sint，t[0,24]
B．y＝12＋3sin，t[0,24]
C．y＝12＋3sint，t[0,24]
D．y＝12＋3sin，t[0,24]
解析：在给定的四个选项A、B、C、D中，我们不妨代入t＝0及t＝3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A，故选A.
4．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为(　　)
解析：P0(，－)，P0Ox＝.按逆时针转时间t后得POP0＝t，POx＝t－，此时P点纵坐标为2sin，d＝2|sin|.
当t＝0时，d＝，排除A、D项；当t＝时，d＝0，排除B项，故选C.
5.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，xN＋)
B．f(x)＝9sin(1≤x≤12，xN＋)
C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，xN＋)
D．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，xN＋)
解析：由题意，得A＝＝2，b＝＝7，排除B、C项．
又当x＝3时，f(x)取得最大值9，排除D项，故选A.
6．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝__________，其中t[0,60]．
解析：将解析式可写为d＝Asin(ωt＋φ)形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，可得ω＝，所以d＝10sin.
答案：10sin
7．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是__________．
解析：T＝＝(分), f＝＝80(次/分)．
8．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于__________．
解析：T＝＝1. ＝2π.l＝.
9.已知函数f(x)＝3sin＋3.
(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；
(2)指出f(x)的周期、振幅、初相、对称轴、对称中心．
解析：(1)列表
y 3 6 3 0 3
(2)周期T＝4π，振幅A＝3，初相φ＝，
由＋＝kπ＋，得x＝2kπ＋(kZ)即为对称轴；
由＋＝kπ，得x＝2kπ－(kZ)，
即为对称中心．
10.已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？
解析：(1)由函数易知，当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30 ℃，当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10 ℃，所以最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.
(2)令10sin＋20＝15，得sin＝－，而x[4,16]，所以x＝.
令10sin＋20＝25，得sin＝，而x[4,16]，所以x＝.
故该细菌能存活的最长时间为－＝(小时)．
B组　能力提升
11．如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？
解析：(1)如图所示建立直角坐标系，设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角．
OP每秒钟内所转过的角为＝.
OP在时间t(s)内所转过的角为t＝t.
由题意可知水轮逆时针转动，得
z＝4sin＋2.
当t＝0时，z＝0，得sinφ＝－，即φ＝－.
故所求的函数关系式为z＝4sin＋2.
(2)令z＝4sin＋2＝6，得
sin＝1，令t－＝，得t＝4，
故点P第一次到达最高点大约需要4 s.
某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：
t(小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数型y＝Asinωt＋B的图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asinωt＋B的解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)
解析：(1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asinωt＋B的一个周期为12小时，因此ω＝＝.
又ymin＝7，ymax＝13，∴A＝(ymax－ymin)＝3，B＝(ymax＋ymin)＝10.
函数的解析式为y＝3sint＋10(0≤t≤24)．
(2)由题意，水深y≥4.5＋7，即y＝3sint＋10≥11.5，t[0,24]，
sint≥，t，k＝0,1，
t∈[1,5]或t[13,17]，
所以，该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港．
若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．
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九下数学锐角三角函数的简单应用（2）教学案
作者：佚名 教案来源：网络 点击数： &&&
九下数学锐角三角函数的简单应用（2）教学案
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文章 来源莲山课件 ww w.5 Y
南沙初中初三数学案内容：7.6锐角三角函数的简单应用（2）课&&& 型：新授课&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 学生姓名：________学习目标：通过具体的一些实例，能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系。教学过程：一、阅读新知识：如图所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡A1Bl的倾斜程度比较大，说明∠A′＞∠A。从图形可以看出 ，即tanAl＞tanA。（注：在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度）二、坡度的概念，坡度与坡角的关系如图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图：_________________________________叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝________。注：坡度通常用1∶m的形式，如上图中的1：2的形式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道：坡度与坡角的关系是i＝________。显然，坡度越大，坡角_______，坡面就越_____。三、例题讲解。问题3、如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角 为30°背水坡AD的坡度i（即tan ）为1：1,坝顶宽DC=2.5m，坝高4.5m 。求：（1）背水坡AD的坡角 ； （2）坝底宽AB的长。 拓展与延伸：如果在问题3中，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固坝堤，要求坝顶CD加宽0.5m，水坡AD的坡度改为i为1： ，已知堤坝的总长度为5km，求完成该项工程所需的土方（精确到0.1 ）
四、练习：1．如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽 (精确到 0.1米) 。tan32°=0.6249&&&& tan28°=0.5317
2．如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角α和坝底宽AD。(单位米，结果保留根号)&&&&
五、探究：（09湖北荆州）安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示.已知集热管AE与支架BF所在直线相交与水箱横截面⊙O的圆心O,⊙O的半径为0.2m,AO与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线OD的夹角为40°，BF⊥AB于B，OD⊥AD于D，AB＝2m,求屋面AB的坡度和支架BF的长.&(参考数据： )
六、小结七、课堂作业（见作业纸58）南沙初中初三数学课堂作业（58） （命题，校对：王& 猛）班级__________姓名___________学号_________得分_________1．（09兰州）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （&&& ）A．5m&&&&&& B．6m&&&&&& C．7m&&&&&& D．8m2、（09衡阳）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为 米，则这个破面的坡度为_________。3、（09常德）如图，某人在D处测得山顶C的仰角为30o，向前走200米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i=1∶0.5，求山的高度（不计测角仪的高度， ，结果保留整数）． 4、（09日照）如图，斜坡AC的坡度（坡比）为1: ，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．&
5、(09本溪)如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角 ，量得树干倾斜角 ，大树被折断部分和坡面所成的角 ．（1）求 的度数；（2）求这棵大树折断前的高度？（结果精确到个位，参考数据： ， ， ）．&
课后探究：1、（09浙江绍兴）京杭运河修建过程中，某村考虑到安全性，决定将运河边一河埠头的台阶进行改造．在如图的台阶横断面中，将坡面 的坡角由 减至 ．已知原坡面的长为6cm（ 所在地面为水平面）（1）改造后的台阶坡面会缩短多少？（2）改造后的台阶高度会降低多少？（精确到0.1m，参考数据： ）
2、（09山西）有一水库大坝的横截面是梯形 ， 为水库的水面，点 在 上，某课题小组在老师的带领下想测量水的深度，他们测得背水坡 的长为12米，迎水坡上 的长为2米， 求水深．（精确到0.1米， ）&
3、（09江苏）如图，在航线 的两侧分别有观测点A和B，点A到航线 的距离为2km，点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km处．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5min后该轮船行至点A的正北方向的D处．（1）求观测点B到航线 的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）．（参考数据： ， ， ， ）&&&& 文章 来源莲山课件 ww w.5 Y
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