数学导数问题_百度知道
数学导数问题
已知f(x)=根号下x+lnx,判断f(1),f(2),f(3)的大小
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导数的应用 说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题
共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.设在［0,1］上函数f(x)的图象是连续的,且f′(x)&0,则下列关系一定成立的是A.f(0)&0
C.f(1)&f(0)
D.f(1)&f(0)分析:本题主要考查利用函数的导数来研究函数的性质.解:因为f′(x)&0,所以函数f(x)在区间［0,1］上是增函数.又函数f(x)的图象是连续的,所以f(1)&f(0).但f(0)、f(1)与0的大小是不确定的.答案:C2.函数y=xlnx在区间(0，1)上是A.
单调增函数
单调减函数C.在(0， )上是减函数，在( ,1)上是增函数D.在(0， )上是增函数，在( ,1)上是减函数分析：本题主要考查利用求导方法判定函数在给定区间上的单调性.解：y′=lnx+1,当y′&0时，解得x& .又x∈(0,1),∴ &x&1时，函数y=xlnx为单调增函数.同理，由y′&0且x∈(0,1)得0&x& ,此时函数y=xlnx为单调减函数.故应选C.答案：C3.设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如下图所示,则y=f(x)的图象最有可能是分析:本题主要考查函数的导数与图象结合处理问题.要求对导数的含义有深刻理解、应用的能力.解:函数的增减性由导数的符号反映出来.由导函数的图象可大略知道函数的图象.由导函数图象知:函数在(－∞,0)上递增,在(0,2)上递减,在(2,+∞)上递增;函数f(x)在x=0处取得极大值,在x=2处取得极小值.答案:C4.已知函数f(x)=3x3－5x+1,则f′(x)是A.奇函数
C.非奇非偶函数
D.既奇又偶函数分析：本题考查导数函数的奇偶性.解题的关键是对函数求导,但求导不改变函数的定
义域.解：∵f(x)=3x3－5x+1，∴f′(x)=9x2－5(x∈R). ∵f′(－x)=f′(x)，∴f′(x)是偶函数.答案：B5.若函数y=x3－3bx+3b在(0，1)内有极小值，则A.0&b&1
D.b& 分析：本题主要考查应用导数解决有关极值与参数的范围问题.解：对于可导函数而言，极值点是导数为零的点.因为函数在(0，1)内有极小值，所以极值点在(0，1)上.令y′=3x2－3b=0,得x2=b,显然b&0, ∴x=± .又∵x∈(0,1), ∴0& &1.∴0&b&1.答案：A6.函数y=x3+ 在(0，+∞)上的最小值为A.4
D.1分析：本题主要考查应用导数求函数的最值.解：y′=3x2－ ,令y′=3x2－ =0,即x2－ =0,解得x=±1.由于x&0,所以x=1.在(0, +∞)上，由于只有一个极小值，所以它也是最小值，从而函数在(0，+∞)上的最小值为y=f(1)=4.答案：A7.若函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，且x∈(a,b)时,f′(x)&0,又f(a)&0,则A.f(x)在［a,b］上单调递增，且f(b)&0B.f(x)在［a,b］上单调递增，且f(b)&0C.f(x)在［a,b］上单调递减，且f(b)&0D.f(x)在［a,b］上单调递增，但f(b)的符号无法判断分析：本题主要考查函数的导数与单调性的关系.解：若函数f(x)在(a,b)内可导，且x∈(a,b)时,f′(x)&0,则函数在［a,b］内为增函数.∵f(a)&0, ∴f(b)可正可负,也可为零，即f(b)的符号无法判断.答案：D8.已知y= sin2x+sinx+3,那么y′是A.仅有最小值的奇函数
B.既有最大值又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数
D.非奇非偶函数分析：本题主要考查导函数的性质.解：y′=( sin2x)′+(sinx)′= (cos2x)(2x)′+cosx=cos2x+cosx.不妨设f(x)=cos2x+cosx，∵f(－x)=cos(－2x)+cos(－x)=cos2x+cosx=f(x), ∴y′为偶函数.又由于y′=2cos2x－1+cosx=2cos2x+cosx－1,令t=cosx(－1≤t≤1),∴y′=2t2+t－1=2(t+ )2－ . ∴y′max=2, y′min=－ .故选B.答案：B9.函数y=ax3－x在(－∞,+∞)上是减函数，则A.a=
D.a&0分析：本题考查常见函数的导数及其应用.可以采用解选择题的常用方法——验证法.解:由y′=3ax2－1,当a= 时，y′=x2－1,如果x&1,则y′&0与条件不符.同样可判断a=1,a=2时也不符合题意.当a&0时，y′=3ax2－1恒小于0，则原函数在(－∞,+∞)上是减函数.故选D.答案：D10.已知抛物线y2=2px(p&0)与一个定点M(p,p),则抛物线上与M点的距离最小的点为A.(0,0)
D.( )分析:本题考查利用函数的导数求解函数的最值.首先建立关于距离的目标函数关系式,然后合理地选取变量,通过求导数的方法求与最值有关的问题.本题也可以用解析几何中数形结合法求解.解:设抛物线上的任意点(x,y)到点M的距离为d,则有d2=(p－x)2+(p－y)2=(p－ )2+(p－y)2.∴(d2)′=2(p－ )(－ )+2(p－y)(－1)= －2p.令(d2)′y=0,即 －2p=0,解得y= p.这是函数在定义域内的唯一极值点,所以必是最值点.代入抛物线方程得 .所以点( )为所求的点.答案:D第Ⅱ卷(非选择题
共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)11.函数y=sin2x的单调递减区间是__________.分析：本题考查导数在三角问题上的应用.解法一：y′=2sinxcosx=sin2x. 令y′&0,即sin2x&0，∴2kπ－π&2x&2kπ,k∈Z. ∴kπ－ &x&kπ,k∈Z.∴函数y=sin2x的单调递减区间是(kπ－ ,kπ),k∈Z.解法二：y=sin2x=－ cos2x+ ,函数的减区间即cos2x的增区间，由2kπ－π&2x&2kπ, k∈Z,得kπ－ &x&kπ,k∈Z.∴函数y=sin2x的单调递减区间是(kπ－ ,kπ),k∈Z.答案：(kπ－ ,kπ),k∈Z12.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x&0时,f(x)g′(x)+f′(x)g(x)&0且g(－3)=0,则不等式f(x)g(x)&0的解集是__________.分析:本题主要考查导数的运算法则及函数的性质.利用f(x)g(x)构造一个新函数
(x)=f(x)g(x),利用 (x)的性质解决问题.解:设 (x)=f(x)g(x),则 ′(x)=f(x)g′(x)+f′(x)g(x)&0.∴ (x)在(－∞,0)上是增函数且 (－3)=0.又∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数, ∴ (x)=f(x)g(x)为奇函数.∴ (x)在(0,+∞)上也是增函数且 (3)=0.当x&－3时, (x)& (－3)=0,即f(x)g(x)&0;当－3&x&0时, (x)& (－3)=0,即f(x)g(x)&0.同理,当0&x&3时, f(x)g(x)&0;当x&3时,f(x)g(x)&0.∴f(x)g(x)&0的解集为(－∞,－3)∪(0,3).答案:(－∞,－3)∪(0,3)13.有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_______m2.分析：本题考查如何求函数的最值问题，其关键是建立目标函数.解：设场地的长为x m，则宽为(8－x) m,有S=x(8－x)=－x2+8x,x∈(0,8).令S′=－2x+8=0,得x=4.∵S在(0,8)上只有一个极值点, ∴它必是最值点,即Smax=16.此题也可用配方法、均值不等式法求最值.答案：1614.过曲线y=lnx上的点P的切线平行于直线y= x+2,则点P的坐标是__________.分析：本题考查导数的几何意义.本题可采取逆向思维,构造关于切点横坐标的方程.解：因直线y= x+2的斜率为k= , 又因y=lnx,所以y′= = .所以x=2.将x=2代入曲线y=lnx的方程，得y=ln2. 所以点P的坐标是(2，ln2).答案：(2,ln2)三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题10分)某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？分析：本题考查如何求函数的最值问题，其关键是建立目标函数.解：要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短.如下图所示，设场地一边长为x m，则另一边长为
m，因此新墙总长度L=2x+ (x&0),
4分L′=2－ .令L′=2－ =0,得x=16或x=－16.
6分∵x&0,∴x=16.
7分∵L在(0,+∞)上只有一个极值点,∴它必是最小值点.∵x=16,∴ =32.
9分故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省.
10分注：本题也可利用均值不等式求解.16.(本小题12分)已知函数y=ax与y=－ 在区间(0，+∞)上都是减函数，试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.分析：本题主要考查利用导数确定函数的单调区间.可先由函数y=ax与y=－ 的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.解：∵函数y=ax与y=－ 在区间(0，+∞)上是减函数，∴a&0,b&0.
3分由y=ax3+bx2+5,得y′=3ax2+2bx.
6分令y′&0，即3ax2+2bx&0,∴－ &x&0.因此当x∈(－ ,0)时，函数为增函数;
8分令y′&0,即3ax2+2bx&0,∴x&－ 或x&0.
10分因此当x∈(－∞,－ )时，函数为减函数;x∈(0,+∞)时，函数也为减函数.
12分17.(本小题10分)当x&0时，求证：ex&x+1.分析：本题考查利用导数证明不等式的问题.解题的关键是由导数确定单调区间，由函数在某一区间上的单调性构造不等式求解.证明：不妨设f(x)=ex－x－1,
3分则f′(x)=(ex)′－(x)′=ex－1.
6分∵x&0,∴ex&1,ex－1&0.∴f′(x)&0,即f(x)在(0，+∞)上是增函数.
8分∴f(x)&f(0),即ex－x－1&e0－1=0.∴ex&x+1.
10分18.(本小题10分)如右图,已知曲线C1:y=x3(x≥0)与曲线C2:y=－2x3+3x(x≥0)交于点O、A,直线x=t(0&t&1)与曲线C1、C2分别相交于点B、D.(1)写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系S=f(t);(2)讨论f(t)的单调性,并求f(t)的最大值.分析:本题主要考查如何以四边形的面积为载体构造目标函数、函数的导数、函数的单调性等基础知识,考查运算能力和利用导数研究函数的单调性,从而确定函数的最值.解:(1)解方程组 得交点O、A的坐标分别为(0,0),(1,1).
2分f(t)=S△ABD+S△OBD= |BD|·|1－0|= |BD|= (－2t3+3t－t3)= (－3t3+3t),即f(t)=－ (t3－t)(0&t&1).
4分(2)f′(t)=－ .
6分令f′(t)=－ =0,得 (舍去).当0&t& 时,f′(t)&0,从而f(t)在区间(0, )上是增函数;
8分当 &t&1时,f′(t)&0,从而f(t)在区间( ,1)上是减函数.所以当t= 时,f(t)有最大值f( )= .
10分19.(本小题12分)某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的关系式为:p=24200－ x2,且生产x t的成本为:R=x(元).问该产品每月生产多少吨才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入－成本)分析:本题主要考查利用导数求函数的最值.根据题意,列出函数关系式,求导求解.解:每月生产x吨时的利润为f(x)=(24200－ x2)x－(x)=－ x3+24000x－50000(x≥0).
4分由f′(x)=－ x2+24000=0,解得x1=200,x2=－200(舍去).
8分∵f(x)在［0,+∞)内只有一个点x1=200使f′(x)=0,∴它就是最大值点.f(x)的最大值为f(200)=3150000(元).∴每月生产200 t才能使利润达到最大,最大利润是315万元.
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2013届高三数学二轮复习 必考问题专项突破5 函数、导数、不等式的综合问题 理.doc10页
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必考问题5 函数、导数、不等式的综合问题
2012?山东已知函数fx=k为常数,e=2.718 28…是自然对数的底数,曲线y=fx在点1,f1处的切线与x轴平行.
2求fx的单调区间;
3设gx=xf′x,其中f′x为fx的导函数,证明:对任意x>0,gx0;当x∈1,+∞时,hx0,所以x∈0,1时,f′x>0;
x∈1,+∞时,f′x0,函数hx单调递增;
当x∈e-2,+∞时,h′x<0,函数hx单调递减.
所以当x∈0,+∞时,hx≤he-2=1+e-2.
又当x∈0,+∞时,0<<1,
所以当x∈0,+∞时,hx<1+e-2,即gx<1+e-2.
综上所述结论成立.
导数与函数、方程、不等式的交汇综合,以及利用导数研究实际中的优化问题,是命题的热点,而且不断丰富创新.题型以解答题的形式为主,综合考查学生分析问题、解决问题的能力.
应通过一些典型例题的分析提高分析问题和解决问题的能力.解题时要善于把复杂的、生疏的、非规范化的问题转化为简单的、熟悉的、规范化的问题来解决.
常考查:①确定零点,图象交点及方程解的个数问题;②应用零点、图象交点及方程解的存在情况,求参数的值或范围.该类试题一般以含参数的高次式、分式、指数式或对数式结构的函数、方程呈现.主要考查学生转化与化归、数形结合思想,以及运用所学知识解决问题的能力.
【例1】? 已知x=3是函数fx=aln1+x+x2-10x的一个极值点.
2求函数fx的单调区间;
3若直线y=b与函数y=fx的图象有3个交点
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请教一个复数求导的问题
发信人:&PSV&(Eindhoven),&信区:&Mathematics
标&&题:&请教一个复数求导的问题
发信站:&水木社区&(Fri&Aug&&3&13:40:06&2012),&站内
请教大家一个问题
如果是实数的话，我们知道x^2对x求导的结果是2x
那么如果是复数的话呢？|x|^2=x*conj(x),
那么|x|^2对x求导是多少呢？有什么结论吗？
或者根本不存在这样的命题？
寄信人:&SamRobin&
标&&题:&PSV被取消在WorkLife版的发文权限
由于您在&WorkLife&版&卢瑟，我很遗憾地通知您，&
您被暂时取消在该版的发文权力&7&天
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&版主:SamRobin
※&来源:·水木社区&http://newsmth.net·[FROM:&137.189.34.*]
Re: 请教一个复数求导的问题
发信人:&deet&(不到东圣路易斯非好汉),&信区:&Mathematics
标&&题:&Re:&请教一个复数求导的问题
发信站:&水木社区&(Fri&Aug&&3&13:58:50&2012),&站内
【&在&PSV&(Eindhoven)&的大作中提到:&】
:&请教大家一个问题
:&如果是实数的话，我们知道x^2对x求导的结果是2x
:&那么如果是复数的话呢？|x|^2=x*conj(x),
:&...................
武藤兰本也是个手法高超之人，但今日遇上了这个技艺娴熟的对手，只有甘拜下风，忙伸手入怀去取润滑油，却听得风声飒然，苍井空双掌已攻向她的面门。
武藤兰举左手一封，猛见苍井空一只雪白的手掌五指分开，拂向自己左胸直下的“期门穴"，五指形如兰花，姿态曼妙难言。她心中一动：“莫非这是天下闻名的兰花拂穴手？”右手来不及去取润滑油，忙翻掌出怀，伸手往她手指上抓去。苍井空右手缩回，左手化掌为指，又拂向她两腿之间的“会阴穴”。
武藤兰见她指化为掌，掌化为指，“落英神剑掌”与“兰花拂穴手”交互为用，当真是掌来时如落英缤纷，指拂处若春兰葳蕤，不但招招凌厉，而且丰姿端丽，不由得体液横流，心道：“今日得见S1神技，委实大非寻常，莫说我掌上已然干燥，便是温润如常，也不是她对手。”
※&来源:·水木社区&newsmth.net·[FROM:&208.94.241.*]
Re: 请教一个复数求导的问题
发信人:&dragonheart6&(龙的心),&信区:&Mathematics
标&&题:&Re:&请教一个复数求导的问题
发信站:&水木社区&(Fri&Aug&&3&22:05:41&2012),&站内
可以化成实数令x=u+jv,&|x|^2=u^2+v^2？
如果是复导数，对|x|^2求导，是不是可以简单理解为将x和conj(x)看作独立变量，
而|x|^2是这两个独立变量的函数？Wirtinger&derivatives
Cauchy-Riemann&equations
Wirtinger&derivatives
The&Complex&Gradient&Operator&and&the&CR&calculus
Complex-Valued&Matrix&Differentiation:&Techniques&and&Key&Results
【&在&PSV&(Eindhoven)&的大作中提到:&】
请教大家一个问题
如果是实数的话，我们知道x^2对x求导的结果是2x
那么如果是复数的话呢？|x|^2=x*conj(x),
那么|x|^2对x求导是多少呢？有什么结论吗？
或者根本不存在这样的命题？
寄信人:&SamRobin&
标&&题:&PSV被取消在WorkLife版的发文权限
由于您在&WorkLife&版&卢瑟，我很遗憾地通知您，&
您被暂时取消在该版的发文权力&7&天
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&版主:SamRobin
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用极坐标求导的问题
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在用极坐标方程表示平面曲线求导的时候，只能设x=rcosα，y=rsinα吗？
不能设x=rsinα，y=rcosα吗？
因为看到有些题目反着设，做出来的答案就不对了。
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可以，只要你以x轴为纵轴，以y轴为横轴
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首先，我觉得你应该了解极坐标是怎么来的，再想想这个问题
极坐标是以一点出发为原点，以原点出发某条射线为极轴，空间某点坐标到原点距离为r，其与原点连线与极轴夹角为θ，θ以极轴出发逆时针为正
极坐标与平面直角坐标的变换一般为：
此时以X轴正方向为极轴方向
在平面内建立直角坐标系，是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是确定点的位置的唯一方法
这么解释清楚没？
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ls上说得有道理，一般提到极坐标与直角坐标之间的变换约定就是y=r*sinθ&&，y=r*sinθ ，但从换元的角度看，楼主那样做也没错，只是这时要注意θ 和r与x,y关系，前面已经有人说了，这时他们的意义变了，不再是极坐标了，而是一般换元法了
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谢谢！明白！
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lz完全可以反着理解，就怕到时做出来的答案阅卷老师不同意
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是可以的，但是那样使用的话一定要注意参数的具体范围，容易混淆。
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貌似这是个潜规则。
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