第8章思考题与参考答案_中华文本库
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第 8 章思考题参考答案
1． 什么是振型，它与那些量有关？ 答：振型是多（无限）自由度体系所固有的属性，是体系上所有质量按相同频率（振 型对应的频率）作自由振动时的振动形状。它仅与体系的质量和刚度的大小与分布有关，与 外界激励无关。 2． 怎样才能使体系发生按振型的自由振动？ 答：并不是任意初始条件都能激发体系按振型振动。只有当体系中各质量间的初位移 比值和初速度比值与振型中各元素的相应比值一致时， 才能发生按振型的单频振动。 一般初 始条件下，体系作多频振动，也没有固定不变的振动形状。 3． 对称体系的振型都是对称的吗？ 答：像静力问题对称结构既可产生对称变形，也能产生反对称变形一样，究竟受外界作 用产生什么变形要取决于外界作用。对称体系的振型既有对称的，也有反对称的。振型没有 既不对称又不反对称的，在外界作用下所产生的具体振动，既可以是对称的，也可以是反对 称的，也可以是既不对称也不反对称的。 这里需注意什么是对称体系。 对称体系是指质量和刚度的大小与分布以及体系中的约束 对某轴对称的体系。 这里的约束不仅指那些约束装置也指由于作了一些假定所形成的约束作 用。如图（a）所示体系，不计杆件轴向变形时是对称体系，对称点 A 和 B 均没有水平向位 移，相当于说两点的水平向约束是一样的；计轴向变形时，则为非对称结构。再如图(b)所 示体系不是对称体系，由于桁架要计轴向变形，A 和 B 两点水平约束不一致。由于不对称， 故不会发生每个质点均向下的竖向对称振动。
4． 满足对质量矩阵、刚度矩阵正交的向量组一定是振型吗？ 答：体系的某一振型是按其对应频率振动时各质点的固定振动形式，是各质点间振动 位移的比例关系，具体的振动位移值是不确定的。 由于满足对质量矩阵、刚度矩阵正交的向量 Yi 并不一定满足振型方程
M ) Yi = 0
所以并不一定是振型。但是，满足对质量矩阵、刚度矩阵正交，且满足振型方程的向量组一 定是振型。由第九章瑞利-里兹法可进一步加深对上述解释的理解。 5． 振型向量组是线性无关的吗？ 答：振型向量组是线性无关的，证明过程如下： 证明：采用反证法 设振型向量线性相关的最小数目为 m，即下式成立
式中， ai (i = 1, 2
T m) 不全为 0。对上式左乘 X m M 可得
X M ∑ ai X i = 0
由于振型正交性，上式可改写为
T am X m MX m = 0 即 am = 0 ，线性相关的最小数目为 m
1 。与所设矛盾，因此得证。
6． 振型正交性有何应用？ 答：一是可用于校核振型的正确性；二是在已知振型
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18单自由度系统的振动及matlab分析
单自由度系统的振动及matlab分析；摘要：；以弹簧―质量系统为力学模型,研究单自由度系统的特；关键字：；有阻尼自由振动、有阻尼自由振动、matlab；正文：；无阻尼自由振动:；如图所示的单自由度振动系统可以用如下微分方程描述；图1；mx?kx?0(1-1)；令?n?；??；，方程的通解为m；x?asin?nt?bcos?nt(1-2)；式(1-2)表示了图
　 单自由度系统的振动及matlab分析摘要：以弹簧―质量系统为力学模型,研究单自由度系统的特性有着非常普遍的实际意义。根据单自由度振动系统数学模型,利用Matlab软件设计了单自由度振动系统的数学仿真实验。通过实验可以得到单自由度振动方程的数值关键字：有阻尼自由振动、有阻尼自由振动、matlab正文：无阻尼自由振动:如图所示的单自由度振动系统可以用如下微分方程描述： 图1 mx?kx?0
(1-1)令 ?n?2??k，方程的通解为 mx?asin?nt?bcos?nt
(1-2)式(1-2)表示了图示(1)中质量m的位置随时间而变化的函数关系，反映了振动的形式与特点，称为振动函数。式(1-2)中，a、b为积分常数，它决定于振动的初始条件。如假定t=0时，质量块的位移 x=x0，其速度 x?x0?V0,则??a?即x?V0?n,b?x0V0?nsin?nt?x0cos?nt
（1-3） 或写成x?Asin(?nt??)
（1-4）A?(V02)2?x0，??atan?nx0?nV0其中A为振幅，?n为振动圆频率，? 为相位角，fn??n/(2?)（赫兹）称为固有频率。固有频率与外界给予的初始条件无关，它是系统本身所具有的一种重要特性。 有阻尼自由振动图1所示的自由振动中，由于系统的能量守恒，如果振动一旦发生，它就会持久的，等幅的一直进行下去。但是，实际上所遇到的自由振动都是逐渐衰减而至最终停止的，即系统存在阻尼。阻尼有相对运动表面的摩擦力，液体与气体的介质阻力，电磁阻力以及材料变形时的内阻力等。图2所示为考虑了阻尼的单自由度振动系统模型。其运动微分方程为mx?cx?kx?0
(2-1)令???ck2?2n,??n，则 mm??x?2nx??nx?0
（2-2）n2??n2?n2??n2?2其通解为?ntx?e(c1e?c2e)（2-3）式中c1、c2为积分常数，由振动初始条件确定。令n?n??，?称为相对阻尼系数或阻尼率。则式 （2-3）可写为???nt2?nt??1x?e(c1e?c2e??nt2?1)
（2-4）由此可以讨论阻尼对系统的自由振动产生的影响。一、当??1时，称为弱阻尼状态 此时，??1为虚数，式 (2-4) 变为x?e???t(c1ei?tnn2??2?c2e?i?nt??2)
（2-5）利用欧拉公式，式(2-5)可写为x?Ae???nt[bcos??2?nt?asin??2?nt]
（2-6）括号内为两个简谐振动相加,即式 (2-5) 可写为 A?x?Ae???ntsin(??2?nt??)（2-7）(V0???2x0)2?x0?n??2?n2(1??2)x0?n??2,??)V0???nx0 由式(2-7)可以看出，弱阻尼自由振动具有如下几种特性:2它是一个简谐振动，振动的频率为???n，这是?n为无阻尼时系统的固有频率。2一般情况下，?常在0.1左右，因此对固有频率的影响不大，即认为 ???n??n 。2. 振动的振幅为Ae???nt，其中A、?、?n皆为定值。所以振幅随时间变化的规律是一条指数递减曲线(图3)。二、当??1时，称为强阻尼状态 此时，式(1.2.2-4)可写成x?c1e(???c1?2?1)?nt?c2e(???2?2?1)?ntV0?(??2?1)?nx02?n?1?V0?(???2?1)?nx02?n2?1（2-8）c2?22由于??1?0，故式(2-8 )中二项指数皆为实数。又因为???1，故二项之指数皆为负值，所以，式（2-8）所表示的是一根指数递减曲线。这表示系统将不再产生前面所述的振动，而是产生一按指数规律衰减的曲线。三、当??1时，称为临界阻尼状态由于 ??n?n?1，n??n，则有cc?2m?n?2mk?2km
m这里 cc 为临界阻尼状态下的阻尼系数，称为临界阻尼系数。显然它是系统本身所具有的特性之一。由??n?n?cc及cc?2m?n，有??。也就是说，相对阻尼系数?（阻尼率）2m?ncc反映了系统的实际阻尼与临界阻尼的关系。在临界阻尼状态下，有x?e??nt(c1?c2t)
(2-10)其中c1?x0,c2?V0??nx0。显然，在这种状态下不能形成振动。 有阻尼自由振动响应计算与 MATLAB实现根据式(2-7)、(2-8)、(2-10) 编写的程序如下： function VTB1(m,c,k,x0,v0,tf)%VTB1用来计算单自由度有阻尼自由振动系统的响应 %VTB1绘出单自由度有阻尼自由振动系统的响应图%m为质量;c为阻尼;k为刚度;x0为初始位移;v0为初始速度;tf为仿真时间 %VTB1(zeta,w,x0,v0,tf)绘出单自由度有阻尼自由振动系统的响应图 %zeta为阻尼系数;ωn为固有频率%程序中z为阻尼系数;A为振动幅度;phi为初相位 clc%该循环确定输入方式是VTB1(m,c,k,x0,v0,tf),还是%VTB1(zeta,w,x0,v0,tf) if nargin==5z=m;wn=c;tf=v0;v0=x0;x0=k;m=1;c=2*z*w;k=w^2; endwn=sqrt(k/m);%固有频率 z=c/2/m/wd=wn*sqrt(1-z^2);fprintf('固有频率为%.3g.rad/s.\n',wn); fprintf('阻尼系数%.3g.\n',z);fprintf('有阻尼的固有频率%.3g.\n',wd); t=0:tf/1000: if z&1A=sqrt(((v0+z*wn*x0)^2+(x0*wd)^2)/wd^2);
phi=atan2(x0*wd,v0+z*wn*x0);
x=A*exp(-z*wn*t).*sin(wd*t+phi);
fprintf('A=%.3g\n',A);fprintf('phi=%.3g\n',phi); elseif z==1
a1=x0;a2=v0+wn*x0;fprintf('a1=%.3g\n',a1);
fprintf('a2=%.3g\n',a2);
x=(a1+a2*t).*exp(-wn*t); elsea1=(-v0+(-z+sqrt(z^2-1))*wn*x0*wn*x0)/2/wn/sqrt(z^2-1);
a2=(v0+(z+sqrt(z^2-1))*wn*x0)/2/wn/sqrt(z^2-1);
fprintf('a1=%.3g\n',a1);图4fprint('a2=%.3g\n',a2);x=exp(-wn*t).*(a1*exp(wn*sqrt(z^2-1)*t)
+a2*exp(wn*sqrt(z^2- 1)*t)); endplot(t,x),grid xlabel('时间(s)') ylabel('位移')title('位移相对时间的关系')运行该程序时，只需要给出相应参数，例如 &&VTB1(1,0.05,1,1,1,100)则显示固有频率为?n＝1（rad/s）,阻尼系数?＝0.03，幅值为A=1.43相位角为phi=0.773。其响应曲线如图 (4) 所示。程序中if语句就是判断ξ大小的，即判断是弱阻尼状态、强阻尼状态还是临界阻尼状态。如果运行&&VTB1(1,2,1,0.1,1,20)，则显示固有频率为?n＝1（rad/s），阻尼系数?＝1。其响应曲线如图 (5) 所示。如果要想求出振动的速度x(=xd)和加速度x(=xdd)，只要式(2-1)、式(2-2)、式(2-10)分别进行求导，在程序中加入相应的内容，最后增加plot(t,xd)，plot(t,xdd)即可给出速度和加速度图。 ???包含各类专业文献、中学教育、文学作品欣赏、外语学习资料、行业资料、专业论文、应用写作文书、18单自由度系统的振动及matlab分析等内容。　
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机械系统所受激励的频率与该系统的某阶固有频率相接近时，系统振幅显著增大的现象。共振时，激励输入机械系统的能量最大，系统出现明显的振型，称为位移共振。此外还有在不同频率下发生的速度共振和加速度共振。
在机械振动中,常见的激励有直接作用的交变力,支承或地基的振动与旋转件的不平衡惯性力等。共振时的激励频率称为共振频率，近似等于机械系统的固有频率。对于单自由度系统，共振频率只有一个，当对单自由度线性系统作频率扫描激励试验时，其幅频响应图（见图）上出现一个共振峰。对于多自由度线性系统，有多个共振频率，激励试验时相应出现多个共振峰。对于非线性系统，共振区出现振幅跳跃现象，共振峰发生明显变形，并可能出现超谐波共振和次谐波共振。共振时激励输入系统的功同阻尼所耗散的功相平衡，共振峰的形状与阻尼密切相关。
在一般情况下共振是有害的，会引起机械和结构很大的变形和动应力，甚至造成破坏性事故，工程史上不乏实例。防共振措施有:改进机械的结构或改变激励,使机械的固有频率避开激励频率；采用减振装置；机械起动或停车过程中快速通过共振区。另一方面，共振状态包含有机械系统的固有频率、最大响应、阻尼和振型等信息。在振动测试中常人为地再现共振状态，进行机械的振动试验和动态分析。此外，利用共振原理的振动机械，可用较小的功率完成某些工艺过程，如共振筛等。
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