[约数]一个整数的约数个数与约数和的计算方法_约数-牛bb文章网
[约数]一个整数的约数个数与约数和的计算方法 约数
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一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?32 【分析与解】 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=2×3×5；360的约数可以且只能是2×3×5,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)．因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．22 我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,3,它们的和为(1+3+3),所以所有360约数的和为(1+3+3)×2×5；我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,2,2,它们的和为(1+2+2+2)，所以所有360约数的和为(1+3+3)×(1+2+2+2)×5；abcyww最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和223为(1+3+3)×(1+2+2+2)×(1+5)．于是,我们计算出值:13×15×6=1170．所以,360所有约数的和为1170．评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后32所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为2×5×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)Ⅱ.约数的和是在严格分解质因数后,将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘3323所得到的积．如：×网络日记5×7,所以21000所有约数的和为(1+2+2+2)×23(1+3)×(1+5+5+5)×(1+7)=74880．2.一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少?536【分析与解】 设这个数为A,有A=2×3×5×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97均不是A的约数,而96=25×3为A的约数,所以96为其最大的两位数约数．3.写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【分析与解】 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数32(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为2×5×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数． 由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数,20,21,22,23,24,25．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．4.今有语文课本42册,数学课本112册,自然课本70册,平均分成若干堆,每堆中这3种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆?【分析与解】 显然堆数是42的约数,是112的约数,是70的约数.即为42,112,70的公约数,有(42,112,70)=14．所以,最多可以分成14堆．5.加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?【分析与解】 为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人,有6A=10B=15C=k,那么k的最小值为6,10,15的最小公倍数,即[6,10,15]=30．所以A=5,B=3,C=2,则三道工序最少共需要5+3+2=10名工人．6.有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚?【分析与解】 设在x分钟后3人再次相聚,甲走了120x米,乙走了lOOx米,丙走了70x米,他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍．即120x-100x,120x-70x,lOOx-70x均是300的倍数,那么300就是20x,50x,30x的公约数．有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx,所以x=30．即在30分钟后,3人又可以相聚．7.3条圆形跑道,圆心都在操场中的旗杆处,甲、乙、内3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时,3人都在旗杆的正东方向,里圈跑道长跑道长11千米,中圈跑道长千米,外圈5431千米.甲每小时跑3千米,乙每小时跑4千米,丙每小时跑5千米.问他们同时出发,82几小时后,3人第一次同时回到出发点?【分析与解】 甲跑完一圈需11211?3?小时,乙跑一圈需?4?小时,丙跑一圈需523541633213?5?则他们同时回到出发点时都跑了整数圈,所以经历的时间为,,的倍数,即它们的公倍数． 而??2,1,3??6?6. ?213?,,???,16,41所以,6小时后,3人第一次同时回到出发点.评注:求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公约数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最大公约数作为新分数的分子,将分母牛宝宝日记本的最小公倍数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约数.8.甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？【分析与解】 有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×90=540，则乙数为540÷18=30．9.A,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A有12个约数，数B有10个约数，那么A,B两数的和等于多少?22 【分析与解】 方法一:由题意知A可以写成3×5×a，B可以写成3×5×6,其中a、b为整数且只含质因子3、5.即A:3×5,B=3+m×5,其中x、Y、m、n均为自然数(可以为0)由A有12个约数,所以[(1+x)+1]×[ (2+y)+1]=(2+x)×(3+y)=12，所以?1+x2+y12+n?x?2?x?1?x?01+221+12+1.对应A为3×5=675,3×5=1125,或,?或??y?0?y?1?y?43×5=46875；由B有10个约数,所以[(1+m)+1]×[(2+n)+l]=(2+m)×(3+n):10,所以?1+02+21+02+4?m?0.对应B?n?2为3×5=1875．只有(675,1875)=75,所以A=675,B=1875．那么A,B两数的和为675+．方法二:由题中条件知A、B中有一个数质因数中出现了两次5,多于一次3,那么,先假设它出现了N次3,则约数有:(2+1)×(N+1)：3×(N+1)个32 12与10其中只有12是3的倍数,所以3(N+1)=12,易知N=3,[http://www.niubb.net]这个数是A，即A=3×5=675．那么B的质数中出现了一次3,多于两次5,则出现了M次5,则4有:(1+1)×(M+1)=2(M+1)=10，M=4.B=3×5=1875．那么A,B两数的和为675+．10.有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少?【分析与解】 设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．它们的和为:a+b=(a,b)ql+(a,b)q2=(a,b)(q1+q2)=297???①它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]+(a,b)=(a,b)qlq2+(a,b)=(a,b)(qlq2+1)=693，且(q1,q2)=1.????????????????????????②综合①、②知(a,b)是297,693的公约数,而(297，693)=99,所以(a,b)可以是99,33,1l,9,3,1． 第一种情况:(a,b)=99,则(q1+q2)=3,(qlq2+1)=7,即qlq2=6=2×3,无满足条件的ql,q2； 第二种情况:(a,b)=33,则(q1+q2)=9,(q1q2+1)=21,即q1q2=20=2×5,则ql=5,q2=4时满足,a=(a,b)q1=33×5=165,b=(a,b)q2=33×4=132,则a-b=165-132=33； 第三种情况:(a,b)=11,则(q1+q2)=27,(q1q2+1)=63,即qq2=62=2×31,无满足条件的q1,q2；一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的q1q2．所以,这个两个自然数的差为33．11.两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60.问这样的自然数共有多少组?【分析与解】 设这两数为a,b,记a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．它们的和为:a+b=(a,b)q1+(a,b)q2=(a,b)(ql+q2)=60????①它们的最大公约数与最小公倍数的和为：2[a,b]+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1)=60，且(q1,q2)=1?????????????????????????②联立①、②有(ql+q2)=(q1q2+1),即ql+q2-qlq2=1,(ql-1)(1-q2)=0,所以ql=1或q2=1． 即说明一个数是另一个数的倍数,不妨记a=kb(k为非零整数)，??a?b?kb?b?60 有?,即?k?1?b?60确定，则k确定，则kb即aa,b?a,b?b?a?b?kb?60??????确定60的约数有2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60这11个，b可以等于2，3，4，5，6，10．12，15，20，30这10个数，除了60，因为如果6=60，则(k+1)=1，而k为非零整数．对应的a、b有10组可能的值，即这样的自然数有10组．进一步，列出有(a,b)为(58,2),(57,3),(56,4),(55,5),(54,6),(50,10)，(48,12),(45,15),(40,20),(30,30)．评注:如果两个自然数的和等于这两个数最大公约数与最小公倍数的和，那么这两个数存在倍数关系．12.3个连续的自然数的最小公倍数是9828,那么这3个自然数的和等于多少?【分析与解】 若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数的乘积． 则当a,a+1,a+2中有2个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828×2，当a,a+1,a+2中有1个偶数时,a(a+1)(a+2)=9828．对9828分解质因数:×3×3×3×7×13,我们注意,13是其最大的质因数,验证不存在3个连续的自然数的积为9828．则这三个自然数的积只能是9828×2,此时这三个数中存在两个偶数,有×2×2×3× 3×3×7×13．13×2=26,有26,27,28三个数的积为9828×2,所以这三个连续的自然数为26,27,28,其中有两个偶数,满足题意．所以,这三个数的和为26+27+28=81．评注:我们知道两个连续的自然数互质,而两个互质的数的公倍数等于它们的积,即[0,b]=a×b．记这3个连续的自然数为a,a+1,a+2．有[a,a+1,a+2]=[a,a+1,a+1,a+2]=[[a,a+1],[a+1,a+2]]=[a×(a+1)，(a+1)×(a+2)]=(a+1)×[a,a+2]．因为a,a+2同奇同偶，a??a?2? 当a,a+2均是偶数时,a,a+2的最大公约数为2,则它们的最小公倍数为； 2当a,a+2均是奇数时,a,a+2互质,则它们的最小公倍数为a×(a+2)．a??a?2??a?1?a为偶数??? 所以(a+1)×[a,a+2]=?. 2??a?1??a??a?2?a为奇数?即[a,a+1,a+2]为a(a+1)(a+2)或a?a?1??a?2? 2若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．13.甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?【分析与解】 对90分解质因数:90=2×3×3×5.因为5126,所以5甲,即甲中不含因数5,于是乙必含因数5．因为2105,所以2乙,即乙中不含因数2,于是甲必含2×2． 因为9105,所以9乙,即乙最多含有一个因数3． 第一种情况:当乙只含一个因数3时,乙=3×5=15,由[甲,乙]=90=2×3×5,则甲=2×3=18； 第一种情况:当乙不含因数3时,乙=5,由[甲,乙]=90=2×3×5,则甲=2×3=18，综上所需,甲为18．评注:两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子,并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值．3232如a=2×3×5×7,b=2×3×5×7×11,则A、B的最小公倍数含有质因子2,3,5,7,11,并且它们的个数为a、b中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3个,3个,2个,1332个,1个,即[a,b]=2×3×5×7×11．222214.a&b&c是3个整数.a,b,c的最大公约数是15；a,b的最大公约数是75；a,b的最小公倍数是450；b,c的最小公倍数是1050.那么c是多少?222 【分析与解】 由(a,b)=75=3×5,[a,b]=450=3×2×5=75×3×2,又ab所以?a?450或 ?b?75??a?2252 [b,c]=×5×7. ??b?150??a?450??450,75,c???75,c??15当 ? 时有 ?，因为两个数的最大公约数与?b?75???b,c???75,c??1050最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积,所以(75,c)×[75,c]=75×c=15×1050,得c=210,但是c&b,不满足；?a?225?225150,，c?75,c?15????a?225???当?,则c=105,cb,满 足,即?b?150为满足时有??b?150??c?105??b,c???150,c??1050?条件的为一解．那么c是105.15.有4个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?【分析与解】 设这4个不同的自然数为A、B、C、D，有A+B+C+D=1111．将1111分解质因数:1,显然A、B、C、D的最大公约数最大可能为101,记此时A=101a，B=101b,C=101c,D=101d,有a+b+c+d=11,当a+b+c+d=1+2+3+5时满足,即这4个数的公约数可以取到101．综上所述,这4个不同的自然数,它们的最大公约数最大能是101．评注:我们把此题稍做改动:“有5个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?”,大家不妨自己试试．欢迎您转载分享：
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算法（C/C++）（4）
&&&&&&& 请给出一个运行时间为O（nlgn）的算法，使之能在给定一个由n个整数构成的集合S和另一个整数x时，判断出S中是否存在有两个其和等于x的元素。
&&&&&& 若要整个算法的时间复杂度为O(nlgn)，那么只要算法中最复杂的模块的复杂度为O(nlgn)就可以了。
#include&iostream&
bool check_service(int s[],int n,int x);
int binary_search(int a[],int h,int t,int value);
void merge_sort(int a[] ,int p,int r);
void merge(int a[],int p,int q,int r);
void sort_service(int a[],int p,int r);
int main()
int s[10]={1,6,2,8,5,4,0,7,3,9};//测试数据
int n=sizeof(s)/sizeof(s[0]);
int x=10;//测试数据
bool result=check_service(s,n,x);
//业务函数，这个问题中的这块业务，只需要想想这个函数怎么写，至于排序和搜索，可以直接用之前写好的函数。
bool check_service(int s[],int n,int x)
//先给集合排序
merge_sort(s,0,n-1);
//循环次数最多为n
for(int i=0;i&n;i++)
//每次次二分搜索，时间消耗lgn
int SearchResult=binary_search(s,0,n-1,x-s[i]);
if(SearchResult!=-1)
//下面这个判断是考虑到了x的值是序列中某个元素的2倍的情况
if(SearchResult!=i)
//二分搜索
int binary_search(int a[],int h,int t,int value)
return -1;
int mid=(h+t)/2;
if(value&a[mid]){
binary_search(a,h,mid-1,value);
}else if(value&a[mid]){
binary_search(a,mid+1,t,value);
//归并排序 复用来的
void merge_sort(int a[],int p,int r)
q=(p+r)/2;//拆分待排序元素
merge_sort(a,p,q);
merge_sort(a,q+1,r);
merge(a,p,q,r);//将两个拆分后排好序的子序列合并起来
// 复用来的
void merge(int a[],int p,int q,int r)
int b[1000];
int b_index=0;
//局部排序
int i=q,j=r;
while(i&=p&&j&=q+1)
if(a[i]&=a[j])
b[b_index++]=a[i--];
b[b_index++]=a[j--];
//下面两个if用来处理剩余的元素
while(i&=p)
b[b_index++]=a[i--];
while(j&=q+1)
b[b_index++]=a[j--];
b_index--;
for(int i=p;i&=r;i++)
a[i]=b[b_index--];
&&&&&&&&&& 第24行处，merge_sort这个函数是归并排序算法，它的时间复杂度是O(nlgn)。之前已经发过了这个算法的博文，可以详细参考。
&&&&&&&&&& 第26行处，这个for循环中，有一个二分查找算法。这个算法在之前发的博文中也有说明。它的时间复杂度是O(lgn)，所以整个for循环模块的时间复杂度为O(nlgn)。
&&&&&&&&&& 写这个check_service函数非常简单，只要知道用x减去序列中的一个元素后得到目标值，再到序列中查找除此之外的元素是否有和目标值匹配的就可以了。排序，和查找，都是之前写好的算法，直接拿过来用就可以了，这也是复用的好处。
&&&&&&&&&& 当然，在实际工程中，会先引用其他文件的命名空间，然后再使用相应的函数。这里为了方便阅读，就把排序和查找算法的代码直接复制过来使用了。
参考知识库
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排名：千里之外负1与0之间还有整数吗
答：根据整数的特定性质：&&&&& -1是最大的负整数,1是最小的正整数,而0是介于两者之间的唯一的整数,&&&&& 即 -1＜0＜1,这是一组连续增大的整数,则 -1与0之间不存在整数.
谢谢不如行动！
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问题名称：若x=2，则x既不是整数，不是分数估计x的近似值。结果我知道是1﹤2﹤4,所以x是1﹤x﹤2。即x整数位为1,又因为1.4的平方=1.96,1.5的平方=2.25.而2在１.4与1.5的平方之间所以x的十分位上的数是4.
从即到4的这句话为什么不是别的数，偏是1.4与1.5的平方·是怎么算的教教我，怎么找2的近似值？
补充:过程回答一下，带解释。
收到的回答: 2条
teacher054
答：这个你不熟练的话只能一个一个试，等到熟练的话一般那些十几的平方都能背下来，可以直接看这个方法简单，就是一个一个试，找出离他最近的那个大的和那个小的，它肯定介于二者之间。
teacher055
这个主要是一个经验和熟练度的问题，只能找到相近的去试，首先你判断出了整数位是1，下面你可以取1和2的中间的数1.5，算一下1.5的平方是2.25，大于2，下面你会自然的想到应该是比1、5小的数，例如1.4,1、4的平方是1、96，比2小，那么十分位肯定就是4了
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