联系题干给出的信息提示,在等腰梯形中,,关于直线对称,所以的最小值应为线段的长,所以只需求出长即可;梯形中,,所以同旁内角,互补,已知,所以,在等腰中,易求得底角,此时可以发现是含角的特殊直角三角形,已知的长,则线段的长可得,由此得解.延续上面的思路,先作点关于直径的对称点,连接,那么与的交点即符合点的要求,的最小值应是弦的长;已知点是劣弧的中点,所以圆周角;点,关于直径对称,那么,因此,由此可以看出是一个等腰直角三角形,已知的直径可得半径长,则等腰直角三角形的斜边(即的最小值长)可求.已知抛物线对称轴,以及点,的坐标,由待定系数法能求出抛物线的解析式;中,点,的坐标已确定,所以边的长是定值,若的周长最小,那么的值最小,所以此题的思路也可以延续上面两题的思路;过点作轴的平行线,交抛物线于另一点,根据抛物线的对称性点的坐标易得,首先利用待定系数法求出直线的解析式,那么直线与抛物线对称轴的交点就是符合条件的点;在求出点,,三点的坐标后,线段,的长可得,所以的周长最小值(其中为的最小值).
解:在等腰梯形中,,且,;在中,,,所以;,即为直角三角形;在中,,,,所以;由于,关于直线对称,根据阅读资料可知的最小值为线段的长,即.如图,作点关于直径的对称点,连接,则与直径的交点为符合条件的点,的长为的最小值;连接,则;点是的中点,;,关于直径对称,,则;,又,在等腰中,;即:的最小值为.依题意,有:,解得抛物线的解析式:;取点关于抛物线对称轴的对称点,根据抛物线的对称性,得:;连接,交抛物线的对称轴于点,如图-;设直线的解析式为,代入,,得:,解得直线,;的周长最小值:.
此题主要考查了:等腰梯形的性质,圆周角定理,解直角三角形,利用待定系数法确定二次函数解析式等综合知识;题目的三个小题都是题干阅读信息的实际应用,解题的关键是阅读信息中得到的结论,这就要充分理解轴对称图形的性质以及两点间线段最短的具体含义.
3830@@3@@@@二次函数综合题@@@@@@255@@Math@@Junior@@$255@@2@@@@二次函数@@@@@@51@@Math@@Junior@@$51@@1@@@@函数@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
第三大题，第8小题
求解答 学习搜索引擎 | 唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说:"白日登山望峰火,黄昏饮马傍交河."诗中隐含着一个有趣的数学问题--将军饮马问题:如图1所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短?做法如下:如图1,从B出发向河岸引垂线,垂足为D,在AD的延长线上,取B关于河岸的对称点{B}',连接A{B}',与河岸线相交于P,则P点就是饮马的地方,将军只要从A出发,沿直线走到P,饮马之后,再由P沿直线走到B,所走的路程就是最短的.(1)观察发现再如图2,在等腰梯形ABCD中,AB=CD=AD=2,角D={{120}^{\circ }},点E,F是底边AD与BC的中点,连接EF,在线段EF上找一点P,使BP+AP最短.作点B关于EF的对称点,恰好与点C重合,连接AC交EF于一点,则这点就是所求的点P,故BP+AP的最小值为___.(2)实践运用如图3,已知圆O的直径MN=1,点A在圆上,且角AMN的度数为{{30}^{\circ }},点B是弧AN的中点,点P在直径MN上运动,求BP+AP的最小值.(3)拓展迁移如图4,已知抛物线y=a{{x}^{2}}+bx+c(a不等于0)的对称轴为x=1,且抛物线经过A(-1,0),C(0,-3)两点,与x轴交于另一点B.\textcircled{1}求这条抛物线所对应的函数关系式;\textcircled{2}在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M,使\Delta ACM周长最小,请求出此时点M的坐标与\Delta ACM周长最小值.(结果保留根号)轴对称高清_百度文库
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
轴对称高清
上传于|0|0|暂无简介
阅读已结束，如果下载本文需要使用2下载券
想免费下载本文？
定制HR最喜欢的简历
下载文档到电脑，查找使用更方便
还剩5页未读，继续阅读
定制HR最喜欢的简历
你可能喜欢作轴对称图形_百度文库
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
作轴对称图形
上传于|0|0|暂无简介
阅读已结束，如果下载本文需要使用0下载券
想免费下载更多文档？
定制HR最喜欢的简历
你可能喜欢将军饮马问题练习题
将军饮马问题练习题
范文一：最短距离专题练习姓名：例1：如图，要在河边修建一个水泵站，向张庄A、李庄B送水。修在河边什么地方，可使使用的水管最短？ABa
· ·例:2：如图，OA、OB是两条相交的公路，点P是一个邮电所，现想在OA、OB上各设立一个投递点，要想使邮电员每次投递路程最近，问投递点应设立在何处？AP ·O例3：如图1，在一条河的同一岸边有A和B两个村庄，要在河边修建码头M，使M到A和B的距离之和最短，试确定M的位置；若A与B在河的两侧，其他条件不变，又该如何确定M的位置？·B ·A
·B 2 1例4：如图所示，P和Q为△ABC边AB与AC上两点，在BC上求作一点M，使△PQM的周长最小。原文地址：最短距离专题练习姓名：例1：如图，要在河边修建一个水泵站，向张庄A、李庄B送水。修在河边什么地方，可使使用的水管最短？ABa
· ·例:2：如图，OA、OB是两条相交的公路，点P是一个邮电所，现想在OA、OB上各设立一个投递点，要想使邮电员每次投递路程最近，问投递点应设立在何处？AP ·O例3：如图1，在一条河的同一岸边有A和B两个村庄，要在河边修建码头M，使M到A和B的距离之和最短，试确定M的位置；若A与B在河的两侧，其他条件不变，又该如何确定M的位置？·B ·A
·B 2 1例4：如图所示，P和Q为△ABC边AB与AC上两点，在BC上求作一点M，使△PQM的周长最小。
范文二：将军饮马问题将军饮（yìn）马的科学计算依据：首先，我们给大家介绍一下对称点的概念。已知一条直线L和直线外一点A，求A点关于L的对称点A`我们用的方法是A点向L引垂线，垂足为O，延长AO至A`，使OA'=OA，则A`点即为所求。 A 其次，我们介绍一下"将军饮马"问题。据说，在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一位将军向他请教了一个问题：从A地出发到河边饮马，然后再B地，走什么样的路线最短？如何确定饮马的地点？提起路线最短的问题，大家知道：连结两点之间所有线中，最短的是线段。这个题中马走的是一条折线。这又该怎么办呢？海伦的方法是这样的：设L为河。作AO L交L于O点，延长AO至AKL，使ALLO=AO，连结AKLB交L于C点，则C 点即为所求的点。连结AC。（AC+CB）为最短路程。这是因为，ALK点是A点关于L 的对称点，显然，AC=ADFC。因为ASDBSHI是一条线段，所以AC+CB==AASC+CB=AKDBYEYE也就是最短。少年朋友们喜欢打台球吧，实际上打台球无时无刻都需要应用海伦的妙法。下面我们看一个有关打台球的实例。若在矩形的球台上，有两个球在M和N的位置上。假如从M打出球，先触及DC边K点，弹出后又触到CB边E点，从CB边再反射出来。问用怎样的打法，才能使这个球反射后正好撞上在N 点放置的球？具体做法是： 先作M关于DC的对称点MLJLK，再作LKJ；L关于BC 的对称点LKJ那么MKJN和BC 的交点为E，DKL；S和CD 交于K，E、K就是球和各边的撞击点。按MK遮掩的践线打球，一定会使球M从BC边弹出后撞上球N。
范文三：将军饮马问题——线段和最短一．六大模型1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小。4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的周长最小。5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线OM上作点P，使PA与点P到射线ON的距离之和最小。6. 如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。二、常见题目Part1、三角形1．如图，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE=2，求EM+EC的最小值。2．如图，在锐角△ABC中，AB=42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是3．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值。Part2、正方形1．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，丐DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。 即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小 。2．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（ ）A．23
D．63．在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）。4．如图，四边形ABCD是正方形， AB = 10cm，E动点，求PC+PE的最小值；
范文四：将军饮马问题类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．举一反三：【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短．3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短?4. 如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小5已知∠MON内有一点P，P关于OM，ON的对称点分别是A、B，已知＝15，则△PAB 的周长为（
） 和，分别交OM, ON与点A. 15
C. 10D. 246. 已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等.7、2、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.8. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为______.（将军饮马问题）答案2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．举一反三：【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短．【答案】作点M关于OA的对称点M?，过M?作OB的垂线交OA于P、交OB于Q，侧M→P→Q为最短路线．如图：3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短?【答案与解析】见下图4.【解析】作法如下：作M点关于OB的对称点M?，过M?作M?H⊥于OA于H，交OB于P，点P为所求.5【答案】A；提示：根据轴对称的性质，，△PAB 的周长等于.6、 MN的中垂线与∠AOB 的平分线的交点即为所求；如图所示：7、解：分别作P关于OM、ON的对称点B.则△PAB为符合条件的三角形.∵∠MON＝40°∴∠＝140°. ，，连接交OM于A，ON于
∠＝∠PAB,∠＝∠PBA.∴ (∠PAB＋∠PBA)＋∠APB＝140°∴∠PAB＋∠PBA＋2∠APB＝280°∵∠PAB＝∠∴∠＋∠＋∠＋∠, ∠PBA＝∠＝180° ＋∠∴∠APB＝100°8
4；【解析】过D作DP⊥BC，此时DP长的最小值是.因为∠ABD＝∠CBD，所以AD＝DP＝4.
范文五：将军饮马的科学计算依据：首先，我们给大家介绍一下对称点的概念。已知一条直线L和直线外一点A，求A点关于L的对称点A`我们用的方法是A点向L引垂线，垂足为O，延长AO至A`，使OA'=OA，则A`点即为所求。 A 其次，我们介绍一下唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它．如图所示，从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取A关于河岸的对称点A'，连结A'B，与河岸线相交于C，则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B，所走的路程就是最短的．如果将军在河边的另外任一点C'饮马，所走的路程就是AC'+C'B，但是，AC'+C'B=A'C'+C'B>A'B=A'C+CB=AC+CB．可见，在C点外任何一点C'饮马，所走的路程都要远一些．这有几点需要说明的：（1）由作法可知，河流l相当于线段AA'的中垂线，所以AD=A'D。（2）由上一条知：将军走的路程就是AC+BC，就等于A'C+BC，而两点确定一线，所以C点为最优。如图，有A、B两个村庄，他们想在河流l的边上建立一个水泵站，已知每米的管道费用是100元，A到河流的距离AD是1km，B到河流的距离BE是3km，DE长3km。请问这个水泵站应该建立在哪里使得费用最少，为多少？解：如图所作，C点为水泵站的位置。依题意，得：所铺设的水管长度就是AC+BC，即：A'C+BC=A'B的长度。因为EF=A'D=AD=1km, 所以BF=BE+EF=4km又A'F=DE=3km在Rt△A'BF中，A'B^2=A'F^2+BF^2所以：解得：A'B=5km所以总费用为：5*000（元）
范文六：轴对称在几何最值问题中的应用1、已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．2、 如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓库的距离和最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？a已知：A、B两点在直线l的同侧， 在l上求作一点M，使得|AM?BM|最小．4 (07年三帆中学期中试题)如图，正方形ABCD中，AB?8，M是DC上的一点，且DM?2，N是AC上的一动点，求DN?MN的最小值与最大值．ADMNBC5、如图，已知∠AOB内有一点P，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得△PEF的周长最小。试画出图形，并说明理由。6C、D,使得四边形ABCD的周长最小。7如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？轴对称在几何最值问题中的应用1、已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．2、 如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓库的距离和最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？a已知：A、B两点在直线l的同侧， 在l上求作一点M，使得|AM?BM|最小．4 (07年三帆中学期中试题)如图，正方形ABCD中，AB?8，M是DC上的一点，且DM?2，N是AC上的一动点，求DN?MN的最小值与最大值．ADMNBC5、如图，已知∠AOB内有一点P，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得△PEF的周长最小。试画出图形，并说明理由。6C、D,使得四边形ABCD的周长最小。7如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？
范文七：２ ０１
５第年 ８期学中 学月 刊数?５５
　?“将军 饮马 ＂问　题
江苏 宜兴省市
　２ １ ４学
０ ０ ）２朱 宸　材
江 （苏无 省 市金锡
中星 　 学 １２ ４ ０２
６） 　挖 掘 教 ， 材抓 住教 材
型典问 题做 进
一研步 究　是
一教 师线 常经在做 的 ， 而
学中经对典 　问题 进
更行 加深人 挖 掘的就 成了 关．键 者笔认为 ，
关 　于 河 ｚ 的对岸称
点 Ａ　， 还
作是点Ｂ关
河于岸ｚ 的
　找到点 Ｃ 的位 置
， 都 通过是 对称 方的法确 点定Ｃ的位置
． 有 还有 没 它其法 呢 方？意注 已到知条件 中 有 点仅 和Ａ Ｂ 以点河 岸　 及ｚ，
短 最有关 的 定 ：理
两之点 线间段 最
垂段线 最 短 ， 们我可 以 胆大想猜：
点Ｃ 的 置 一定位抓住问了题 的 本质和各 条 件 之 间 的 联
，系 进行横　 向或 向纵的对比 剖析 ， 洞 悉 在 联内系 ， 能必从常 见 　 问 中题到 新 的突找
破．口 下面 笔
典问题为 例 通，过
中阶初 的段 关知 识 ，相给 出
的　 解决 方与 案位各读
究研 ，以 期
现呈另类 的数 学之美
．与 点 和 Ａ 点Ｂ到 岸 河的距ｚ
离以及 Ａ 和 点 点Ｂ　两点的 距离 有 关．到底 是不 是 这样呢
　？师大北 版初 数学 中材　 教年七级册下
（第２ ２ ８ 页）这有一样个 习 题：
要在街道旁建一 修 奶个站
， 居向民Ａ， 区Ｂ提 供
牛 奶 奶，站 应建图 １点过Ｂ作
Ｂ 上 ｚＥ于
Ｅ点 ． 易　知　
Ａ 　一Ａ 　一，Ｂ　
ＡＤ 一Ｃ　 Ｂ Ｅ
Ｃ一 ９０。
． 为 ＡＡ因 ＣＤ∽在什　地么方 ，才能 从 Ａ，使 Ｂ到 的距它离和之短最？这个问
早 题在 古罗马
代 就 有 时 ， 了 说传 亚历　 山城 有一大位
精通数 学和物理 的学
叫 伦海．一 ／￣ ＢＥ
Ｃ 所．以一．注 意
点 Ｄ到 Ｅ分别 是 点，，天 位 罗一马 将军专 程去 访拜
他 ，他请向教一 个Ａ，Ｂ在 直线
上的投影 正 ， Ｃ正点好把线 段
Ｄ分Ｅ 　成部 两 分： Ｃ Ｄ 和Ｃ Ｅ，
两 部 的 分 比 正 好等于． 百不 思其 得解的 题 问 将军．每 天 从 营 Ａ出军 发， 　先河到边
马 ， 然 后 再 饮去
河 同侧岸 的 Ｂ 开地会
应，该Ａ而Ｄ
和Ｂ Ｅ分别 是 点 Ａ，Ｂ到 直 线 ｚ的 距 ． 离怎样走
能才路使 最 短程 从此？， 这个 被称
为 “ 军　将 饮 马 的问题” 广泛 传 ．流这个 题问 的 解决
不　 难并 据 说， 海 伦略
索就也　是就说 ，
条直线的同 有侧 点两，
在这 条　 直上线 一 点 找 ，使它 到 直线 同侧 两
之　 最小和 ，
么那点 位该于 这
直线 上的正投
，且分 两正投
之影 间的线 段两成 分部， 这
部两分决解 它了． 如图 ２所
示，作　 点
岸 河ｚ对的 称Ａ 点　 ， 连结
Ａ Ｂ 交 河 岸　 于　Ｚ图 ２的比正 等于 这两 点好到
线的 离 之 距 ， 这 比是该　 应 点该 足 满的 量数 系 ． 关知道了 这 种数量关 系 ，
　联想到 平行线 分 段线成 比例
可以 得 到一点Ｃ， 则 点
Ｃ就 是马饮的 地 　．方 军 只要 从 Ａ 出将发
，沿直 线 到走Ｃ ，饮 马之后 ， 　 再由 Ｃ沿
走 Ｂ ， 所到
的路走 程是 最就 短的．种“将 军饮 ”马问 的求 题方解法
４， 分别 过 点
Ａ， Ｂ作 直
ｚ线 的垂线 ，
垂 分 别足为 ， Ｃ， Ｄ 连 结ＤＡ ，
Ｂ Ｃ交于果将 军如在河
边另外 任的 点一Ｃ
　马饮 ，所 走路的 程 是就 ＣＡ　
　， 但 是
ＡＣ 　 ＋Ｂ ，Ｃ 　一Ａ
　 Ａ 　 ＞ —Ｂ Ａ　Ｃ＋
Ｂ Ｃ—ＡＣ ＋Ｂ
． 可Ｃ ， 在见 Ｃ点点Ｅ．
Ｅ点 作直 ｚ线的 垂 　线，垂
为足Ｐ， 则点 Ｐ
即为饮马 的 位 置．外 任何 一Ｃ点 　 饮， 所马 走 的程路都 要远一 些．这种做法 否是 合要符 ， 关 求是键看
Ｐ 是点 否 　连 结　 ｈ在Ａ关于 直 线ｌ
Ａ 和 　点 的Ｂ 线　直上．如 点 果Ｐ 连结在
点 Ａ关 直于 ｚ线对的称
点Ａ（　 下转 第６ ２页 ）面 上的 方是 通法过 点 Ａ 作 关河于岸 ｚ的对　称点 Ａ 找 到点　 Ｃ位的置 ，也 可
Ｂ点关 于　河岸 ｚ的对 称
Ｂ 点找　到点
ｃ 位置的．
无论是作 点Ａ?６ ２　?中学数　 月学２刊
１０５ 第年８期是式 价等的 ，
将即消 费 者 两 种 还款 方式 下
个每 时投资能，够获
得高 更收的益
，选择 等额本 息法 是明智 的　 　．间点 的还额按款 照此
利 折率现 到期 初 ，
款的本金 ； （ ２ ）对
资者 来 说， 由 投于资收 　 益率一般都
借款 利 率，如 资
金能 排 得安过
来 　话的，
选等择 额本法金 较是
好的； （ ３ ） 对 于 投
资收率 非常 高益 消费的者（
收资率 超 过 １益
　 ０），此，外 费 消 者是 否选 择提 前 还 款本 质上 也 是与投资收 益 相率 的 关，与
上分 析述是类似 的 ． 对 于　普 通 消费 者来说
， 前提还款 是 好的选 择，
而对 于 　投收资 率高 的益消费者来 说，
还前款．额等本息 法前期
还 少的资 金 可以更 高的利率
进行　（ 上接第５ ５
） 页和点Ｂ
直的 线 上
，则 合符要求
否 就 不 符 合则要求．图 ５ 如， 结连Ｂ Ｐ 交 Ａ Ｃ，ｚ另 的一 侧 不， 操便
作， 上 作 法 完 全述
道 　ｚ的侧一 行操 作进， 更加 具 有可 作性 操 ．根 据点 Ｐ满
足的 数 量关嚣的 延线 长点 于 　Ａ
下 面，只 　需点看
与Ａ 点 Ａ是 否　关于
　 线 直对ｚ 称，
就也是 Ａ看Ｃ：与 焉Ｃ／　ｊ ． Ｐ 　 　Ｄ系，还可
以 按 下照面
的方 找法　出点 ． 如图 ６ ，Ｐ分别 过 点 Ａ，
　ＢＡｃ 是 否　相 等 ． 下 面介绍
三种　 断方判
法：５图直线作 的ｚ 线垂
为 Ｃ，　 ． 在 Ｄ ＣＡ 的
反 向 长 线延 上图　 ６取Ａ Ｅ＝
ＢＤ，连 结Ｄ Ｅ
过点 ．作 ＡＰＡ ／ ／ Ｄ，Ｅ交直 　线于ｚ点
， 则Ｐ点 Ｐ 即为
“饮 ”马的位 ．置　 一面
ＰＤ ＥＰ，Ｅ由 ∥ Ａ Ｐ Ａ　， 得一 丽 ＢＥ．要点 看Ｐ是否 符合要 求 仍然， 只需点看Ｐ 否　在连结 点Ａ关 直于 ｚ线 对 称点的Ａ
　和点 Ｂ的直 线上
　 如． 图 ， 连结 ７ Ｐ交Ｂ
Ａ 的　 Ｃ延长线 点于Ａ 　
看点需由Ｅ Ｐ ／
Ｄ 得 器＝ ， ＝＝嚣 ．为因 　ＥＰ＝
＝ ＝ Ｅ 　Ｐ，所以Ａ
＝ＣＡ　 ｃ 　．与 Ａ 点Ａ　是 否
于关直线 ｚ 对称， 也 就
是 看Ａ Ｃ Ａ与 　
Ｃ 否是相等．图
　２利 用 ＢＤ
为桥作 梁由ＤＢＡ∥
　Ａ ， 得黑一． 　　由
∥ＰＡ Ａ 　 ，
．Ｐ，西 一Ｂ由ＥＡ Ｐ
／／Ｄ Ｅ， 得 　一一—因为Ｂ Ｄ 一
Ｂ　Ｄ，Ｄ ‘Ｐ所Ａ以＝ＣＡ 　
． 　ｃＡ 由 　Ａ ／Ｂ ／， Ｄ得方 法３　 同 时用利 Ｅ ＰＢ和
Ｄ作为桥梁一．．Ｃ由　 ＰＥ ∥ Ａ 　 ，Ａ得　 一面
ＰＤＥＰ，一丽Ｂ Ｅ．所以一． 　Ｅ＝ＢＤ Ａ，
ｃ由 ＥＰ ／ ／ Ｂ Ｄ ， 得
Ｃ Ｐ ， Ｅ Ｐ 一面丽 Ｃ
　 要求合 ．而
且这种方 也 便 法于操 ． 作　 “将
军 饮马”题 问是
短最路线”　
所以 　 ＋ 一 器器＋器 一 　＝ ＝ ＝
器 　问题， 常规方
法 是通过作 称 点 的方 对求法解
．者笔一由知 点此 Ａ 点与 Ａ
关 　直 线 于 对ｚ称
，点Ｐ符１．通对 饮过马的位
置 进 行 深 分 入 析 ， 又 找 了到两 种ＥＰ　 Ｅ　Ｐ ＢＥ　Ｃ 　 ＥＢＥ ＋Ｃ Ｅ Ｂ　　 １ 　ＣＡ　 Ｃ 。 Ｄ 　 ＢＢ　ＣＢ
ＢＣ新 的且便
于作 操 的法方，
使 得 这 经一典 的
问 题　又了新 有的 决思路解．以所， 　 Ｅ Ｐ ＋
一 篇嚣＋ ．器于是 ＡＣ＝＝ ＝
Ａ 　Ｃ ．参考文 献此知由点 Ａ
对ｚ称， 点
Ｐ符１［］ 杨 同 ．伟 从 军将 饮马问
说起 Ｅ 题Ｊ］ ． 数学 教学， ２ ０ １ ３ 　 （ ５）
．合求 ．要　 上 述作看法似 烦 ，麻但有
意 新 ．而 在实 际且操作中
．占 （ Ａ 占 或Ｂ）的对
） 街存谱［
］２　 陈玉 华 ． 利
思 想解 决 最
小值 问 题［
Ｊ． ］ 中数国教学育 ， ２
） ：３ １ — ３ ５ ．
范文八：轴对称在几何最值问题中的应用1、已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．2、 如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓库的距离和最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？a作Q、R，使得?PQR的周长的最小．3(”五羊杯”邀请赛试题)如图，?AOB?45?，角内有点P，在角的两边有两点Q、R(均不同于O点)，求B【例10】 (2000年全国数学联赛)如图，设正?ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上的任意一点，PA?PM的最大值和最小值分别记为s和t．求s2?t2的值．AMMBC【解析】 作点M关于BC的对称点M'，连接AM'、PM'．
由点M、M'关于BC对称可知，PM?PM'．
故PA?PM?PA?PM'≥AM'当且仅当A、P、M'共线时，等号成立，故t2?(AM')2?7． 另外两个临界位置在点B和点C处．P当点P位于点C处时，PA?PM?AC?CM?2? 当点P位于点B处时，PA?PM?AB?BM?3．故s2?(22?7?，s2?t2?本题也可作点A关于BC的对称点A'，连接A'M、PA'．【例11】 已知如图，点M在锐角?AOB的内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA的边的距离和最小．OO【解析】 见右上图．【例12】 已知：A、B两点在直线l的同侧， 在l上求作一点M，使得|AM?BM|最小．【解析】 见右上图．【例13】 (07年三帆中学期中试题)如图，正方形ABCD中，AB?8，M是DC上的一点，且DM?2，N是AC上的一动点，求DN?MN的最小值与最大值．ADMNADMBCBC【解析】 找点D关于AC的对称点，由正方形的性质可知，B就是点D关于AC的对称点， 连接BN、BM，由DN?MN?BN?MN?BM可知，当且仅当B、N、M三点共线时，DN?MN?10． 当点N在AC上移动时，有三个特殊的位置我们要考察：BM与AC的交点，即DN?MN取最小值时；
当点N位于点A时，DN?MN?AD?AM?8?当点N位于点C时，DN?MN?CD?CM?8?6?14．故DN?MN的最大值为8?【例14】 (2004郸县改编)某供电部门准备在输电主干线l上连接一个分支线路同时向新落成的A、B两个居民小区送电，分支点为M，已知居民小区A、B到主干线l的距离分别为AA1?2千米，BB1?2千米，且A1B1?4千米．⑴ 居民小区A、B在主干线l的两旁如图⑴所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？最短线路的长度是多少千米？⑵ 如果居民小区A、B在主干线l的同旁，如图⑵所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？此时分支点M与A1距离多少千米？lBBAABlB1A1(1)(2)A1lB1BA1MAA1MBl1B2【解析】 ⑴ 连结AB，AB与l的交点就是所求的分支点M，分支点开在此处总线路最短，如图，因为?BB1M??AA1M?90?，?BMB1??AMA1．所以?B1BM≌?A1AM． 所以A1M?2．由勾股定理，得AM?BM?，AB?AM?BM?M在线段A1B1上距A点⑵ 如图，作B点关于直线l的对称点B2，连结AB2交直线l于点M，此处即为分支点，由图可知，A1M的长度为2千米．点拨：在解本题时，应注意线段最短，在第⑵问中也可以先画A点的对称点A2．【例15】 (09山东临沂)如图，A，B是公路l(l为东西走向)两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC?1km，B村到公路l的距离BD?2km，B村在A村的南偏东45?方向上． ⑴ 求出A，B两村之间的距离；⑵ 为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置(保留清晰的作图痕迹，简明书写作法)．北东DClCPl【解析】 ⑴ 方法一：设AB与CD的交点为O，根据题意可得?A??B?45?．∴?ACO和?BDO都是等腰直角三角形．∴AO?BO?∴A，B两村的距离为AB?AO?BO?km?方法二：过点B作直线l的平行线交AC的延长线于E．易证四边形CDBE是矩形，
∴CE?BD?2．在Rt?AEB中，由?A?45?，可得BE?EA?3．AB??km?∴A，B两村的距离为．
⑵ 作图正确，痕迹清晰．1作法：①分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，2两弧交于两点M，N，作直线MN； ②直线MN交l于点P，点P即为所求．
范文九：维普资讯 中学 课 程 辅据 说 亚历 山： ： ｋ￣ ｆ － 位 精 通 数 学 ：和物理 的 学者 ， 叫海 伦 ． 天 ， 位罗 ： 名 一 一马将 军专 程去 拜访 他 ，向他请 教 一个 。 　 百思 不得 其解 的 问题 ． 官 每 天从 军 营 ： 军Ａ出 发 先 到 河 边 ｃ 饮 马 ，然 后 再 去 河 － 处岸 同 测 的　处 开 会 ，如 图 １应 该 怎 样 走 （ ） 　 ：一 一 　 一 ～ 　 ． 一 一 　 ～ 一 一”问题的应用一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一才能使 路线 最短 ？这 个 问 题 被 称　 为 “ 军 饮 马 ” 题 而 广 为　 将 问⑩ 四川兰虎流传 ． 现 在新 课 标 人 教版　 体八年 级（ ） １１ 探 究 ， 　 上 第 ３页 解 答 见课 本 ． 面我 们 再来 看　 下 看在 其他 方面 的应 用． 　 我们 知道 ， 在 同一种　 光曰介 质 里 的传 播 是 依 直 线 进图 １行 的 ， 就 是 说 依 最 短 路 线 进 行 的 ． 是 当 光　 也 但从 一 点 射 出 后 不 是 直 接 射 向 另 一 点 ， 是 经 过　 而分 析 ： 直 接 用 Ａ球 去 撞 击 　球 ， 然 被 Ｃ 若 显镜 面 反 射 到 另 一 点 的 时 候 ， 仍 旧是 依 最 短 的　 球 挡 住 了 ；若 通 过 Ａ球 撞 击 桌 子 边 缘 一 次 反 弹 　 光 路径 进行 的． 　 后 直 接 撞 击 　， 会 被 Ｄ球 、 又 Ｅ球 挡 住 ， 有 通 过 　 只让 我 们跟 着 光 的路　 径 看 去 ， 图 ２， 设 图 如 假 上 Ａ点 表 示 光 源 ， ＭＮ表 　 示 镜 面 ， ＡＢＣ折 线 表 示　 光从光 源到人 的眼睛Ｃ 　 的 路 径 ． 线 Ｋ　跟 ＭＮ垂　 直曰Ｃ两 次 桌 子 边 缘 反 弹 才 可 能 撞 击 到　球 ． 图 ， 　 如 分４别 作 出 Ａ关 于 桌 子 边 　 、 关 于 桌 子 边　 的　 　球对 称 点 Ａ Ｂ ，连 接 Ａ Ｂ 交 　 、 Ｓ 　、 　 　 　 Ｐ 于　 、 　两 点 ，连 接 ＡＭ 、 ＭＮ、 ＮＢ， 线ＡＭＮＢ就 是 击 球 路 线 ． 折 　 例 ３ 在　 上 求 一 点 Ｐ，使 它 到 两 个 定 点 　 轴 Ａ（ ， ） （ ， ） ０ ２， ８ ６ 的距 离 之 和 最 短 ． Ｂ）　 ，图 ２直 ． 据 光 学 定 律 ， 射　 根 反 角等 于入 射 角 ， 线 Ｂ 法 Ｋ就 是 其 平 分 线 ， 线 经　 光 过 反 射 后 ， 旧走 最 短 路 线 ． 仍 　 例 １ 如 图 ３， 直 线　 上 放 一 面 镜 子 ， 　 在 使从 Ａ处 能 看 到 树 尖 　， 镜 子 应 放 在 何 处 ？ 问７１ ２ ３ ４ ５ 　 ６＿ 　 Ｉ０ １ ２ 　 　 　 　７ ８ 　 ， 　３ ４ ５ ６Ａ ，　 ‘ ’图 ５分 析 ： 使 Ｐ Ａ、 要 到 　的 距 离 之 和 最 短 ， 据　 根分 析 ： 使 树 尖经 过 镜 面 反 射 到 人 的 眼 里 。 “ 马 问 题 ” 作 法 为 ： 作 Ａ关 于　 的 对 称 点　 要 　 饮 ， 先 轴 依 据 光 走 最 短 路 线 的 原 理 ， 光 从 　处 发 出 经 过 　 Ａ 再 连 接 Ａ Ｂ， 　轴 于 Ｐ， Ｐ点 的 纵 坐 标 为　 　， 　 交 则 镜 面 反 射 后 ， 入 射 角 等 于 反 射 角 ， 以 镜 子 　 零 ．由 关 于　 对 称 的 点 的 坐 标 特 征 知 Ａ 点 的　 应 所 轴应 放 在 Ａ点 关 于 ＭＮ的 对 称 点 与　点 的 连 线 和　 直 线 　Ⅳ的 交 点 位 置 ． 图 ３ 点 ０． 如 中 　 例２ 路线 ？ 　 对 于 台 球 ， 学 们 很 熟 悉 ， 图 ４， 同 如 要　 能 通 过 击 打 Ａ球 去 撞 击 　球 ， 确 定 怎 样 的 击 球　 应 坐 标 为 （ 一 ）于 是 设 直 线 Ａ Ｂ的解 析 式 为 ｙ 　 ０， ２ 　 ＝ ｋ ＋ 将 Ａ （ 一 ）Ｂ（ ， ） 人 解 得 ｋ ，＝ ２所　 ｘ ｂ， 　０， ２ ， ８ ６代 ＝ｌｂ 一 ．以 ｙ ｘ ２ 因 Ｙ＝ 所 以　一 ＝ ，＝ 所 以 点 Ｐ的 坐 　 ＝ 一 ， 　 ０， ２ ０ｘ ２，标（ ０即为所求 ． ２， ）
范文十：轴对称及“将军饮马”问题【例 1】 下列”QQ表情”中属于轴对称图形的是(
C．【解析】 C【例 2】 (09湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是(
)A．【解析】 ＤB．
D．【例 3】 如图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称．【解析】 轴对称图形：1，3，4，6，8，10成轴对称的图形有：2，5，7，9【例 4】 (09黑龙江哈尔滨)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(
)【解析】 D【例 5】 (2003四川)我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下列我国四大银行的商标图案中是轴对称图形而不是中心对称图形的是(
)【解析】 C【例 6】 (2003北京市海淀区)羊年话”羊”字象征着美好和吉祥，o下列图案都与”羊”字有关，其中是轴对称图形的个数是(
D．4 【解析】 B
【【例 7】 (上海)正六边形是轴对称图形，它有
条对称轴．6．点拨：可以画出例图进行分析，明确正n边形有n条对称轴． 【解析】【例 8】 作出下图所示的图形的对称轴：【解析】 答案见右上图．【例 9】 求作线段AB的垂直平分线AB【解析】 略【例10】 已知：如图，?ABC及两点M、N．求作：点P，使得PM?PN，且P点到?ABC两边所在的直线的距离相等．C【解析】 因为是两边所在的直线，所以有两个答案．答案一：?ABC内角平分线与线段MN的垂直平分线的交点C答案二：?ABC外角平分线与线段MN的垂直平分线的交点C【例11】 (2003长沙)如图，请根据小文在镜中的像写出他的运动衣上的实际号码：_______．【解析】 108AC?BD ③AO?OC ④AB?BC，其中正确的结论有_______．D【例12】 (2004河南)如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AB?CD，有下面的结论：①AB∥CD ②lOB【解析】 ①②③【例13】 (2003南宁市)尺规：把右图(实线部分)补成以虚线L为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案(不用写作法、保留作图痕迹)．【解析】 答案见右上图．板块二、轴对称的应用【例14】 如图，?ABC和?A'B'C'关于直线l对称，且?B?90?，A'B'?6cm，求?B'的度数和AB的长．LA'ABB'【解析】 ∵?ABC和?A'B'C'关于直线l成轴对称∴?B??B'，AB?A'B'；又 ∵?B?90?，A'B'?6cm∴?B'?90?，AB?6cm．【例15】 如图，有一块三角形田地，AB?AC?10cm，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，量得?BDC的周长为17m，请你替测量人员计算BC的长．【解析】 ∵ED垂直平分AB
∴DA?DB，∵BD?DC?BC?17m，
∴AD?DC?BC?17m∵AC?10m，∴BC?7m．【例16】 如图，已知?AOB?40?，CD为OA的垂直平分线，求?ACB的度数．ADOCB【解析】 ∵CD垂直平分OA
∴?A?40?∴?ACB??A??O?80?．【例17】 (2004陕西)已知：如图，在?ABC中，AB?BC?2，?ABC?120?，BC平行于x轴，点Bo的坐标是(?3,1)．⑴画出?ABC关于y轴对称的?A'B'C'；⑵求以点A、B、B'、A'为顶点的四边形的面积．【解析】 ⑴画图正确⑵过A点作AD?BC，交BC的延长线于点D，则
?ABD?180???ABC?60?，
在Rt?ABD中，1＝1 2
AD＝AB·sin∠ABD=2BD＝AB·cos∠ABD＝2×
又知点B的坐标为(-3，1) 1?
可得点A的坐标为?4，?
∵AA'?y轴，BB'?y轴
∴AA'∥BB'∵AB与A'B'不平行B，B'，A'为顶点的四边形是等腰梯形
∴以点A，由点A、B的坐标可求得BB'?2?3?6
AA'?2?4?8，
∴梯形ABB'A'的面积＝11(AA′+BB′)·AD＝×(8+6)22板块三、轴对称在几何最值问题中的应用【例18】 已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．【解析】 点B与点A重合，或者点B是点A关于直线l的对称点．最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？【例19】 如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓库的距离和a【解析】 答案见右上图．【例20】 (”五羊杯”邀请赛试题)如图，?AOB?45?，角内有点P，在角的两边有两点Q、R(均不同于O点)，求作Q、R，使得?PQR的周长的最小．BB【解析】 见右上图．【例21】 (2000年全国数学联赛)如图，设正?ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上的任意一点，PA?PM的最大值和最小值分别记为s和t．求s2?t2的值．AAMMBPCM'【解析】 作点M关于BC的对称点M'，连接AM'、PM'．
由点M、M'关于BC对称可知，PM?PM'．
故PA?PM?PA?PM'≥AM'当且仅当A、P、M'共线时，等号成立，故t2?(AM')2?7． 另外两个临界位置在点B和点C处．当点P位于点C处时，PA?PM?AC?CM?2? 当点P位于点B处时，PA?PM?AB?BM?3．BPC故s2?(22?7?，s2?t2?本题也可作点A关于BC的对称点A'，连接A'M、PA'．【例22】 已知如图，点M在锐角?AOB的内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA的边的距离和最小．OO【解析】 见右上图．【例23】 已知：A、B两点在直线l的同侧， 在l上求作一点M，使得|AM?BM|最小．【解析】 见右上图．【例24】 (07年三帆中学期中试题)如图，正方形ABCD中，AB?8，M是DC上的一点，且DM?2，N是AC上的一动点，求DN?MN的最小值与最大值．ADMNADMBCBC【解析】 找点D关于AC的对称点，由正方形的性质可知，B就是点D关于AC的对称点， 连接BN、BM，由DN?MN?BN?MN?BM可知，当且仅当B、N、M三点共线时，DN?MN?10． 当点N在AC上移动时，有三个特殊的位置我们要考察：BM与AC的交点，即DN?MN取最小值时；当点N位于点A时，DN?MN?AD?AM?8?当点N位于点C时，DN?MN?CD?CM?8?6?14．故DN?MN的最大值为8?【例25】 (2004郸县改编)某供电部门准备在输电主干线l上连接一个分支线路同时向新落成的A、B两个居民小区送电，分支点为M，已知居民小区A、B到主干线l的距离分别为AA1?2千米，BB1?2千米，且A1B1?4千米．⑴ 居民小区A、B在主干线l的两旁如图⑴所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？最短线路的长度是多少千米？ ⑵ 如果居民小区A、B在主干线l的同旁，如图⑵所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？此时分支点M与A1距离多少千米？lBBAABlB1A1(1)(2)A1lB1BA1MAA1MBl1B2l【解析】 ⑴ 连结AB，AB与的交点就是所求的分支点M，分支点开在此处总线路最短，如图，因为?BB1M??AA1M?90?，?BMB1??AMA1．所以?B1BM≌?A1AM． 所以A1M?2．由勾股定理，得AM?BM?AB?AM?BM?M在线段A1B1上距A点⑵ 如图，作B点关于直线l的对称点B2，连结AB2交直线l于点M，此处即为分支点，由图可知，A1M的长度为2千米．点拨：在解本题时，应注意线段最短，在第⑵问中也可以先画A点的对称点A2．【例26】 (09山东临沂)如图，A，B是公路l(l为东西走向)两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC?1km，B村到公路l的距离BD?2km，B村在A村的南偏东45?方向上． ⑴ 求出A，B两村之间的距离； ⑵ 为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置(保留清晰的作图痕迹，简明书写作法)．东CPBl【解析】 ⑴ 方法一：设AB与CD的交点为O，根据题意可得?A??B?45?．∴?ACO和?BDO都是等腰直角三角形．∴AO?BO?∴A，B两村的距离为AB?AO?BOkm?方法二：过点B作直线l的平行线交AC的延长线于E．易证四边形CDBE是矩形，
∴CE?BD?2．在Rt?AEB中，由?A?45?，可得BE?EA?3．ABkm?∴A，B两村的距离为．
⑵ 作图正确，痕迹清晰．1作法：①分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，2两弧交于两点M，N，作直线MN； ②直线MN交l于点P，点P即为所求．