特征矩阵和单位矩阵 特征向量量的关系？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-09-11 00:38 标签： 特征向量
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请大家给个解释,2,在判断矩阵A能否相似对角化的过程中,今天在做题的时候发现了一个问题自己没有想通,题目也是直接判断n-1重根有n-1线性无关的特征向量后就说明A有n个线性无关的特征向量。我想问这直接判断的依据是什么,Ｄ苤苯釉谔由咸计,我们常用充要条件即是否有n个线性无关的特征向量来判断。但是我今天看的一个解题过程,怎么发出大家都能看到的图片,问题就在题目中判断二重根2有2个线性无关的特征向量之后就没有判断另外一个特征值是否有特征向量,,来源于什么,直接讲A有3个线性无关的特征向量了。另外一题更甚,n阶矩阵的特征多项式有n-1重根0和一个解a,其中2显然是二重根了,好麻烦,我用mathtype编辑好的图片好像上传上来之后不能预览,A是3阶矩阵,PS,只能下载之后才能看,有2,3三个特征值,,
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呵呵…谢谢你对我的贴子这么积极的回复。感觉与你们这些高手的差距还是很大,,只能多看多问了。上面的问题是我做题的时候发现的。你看着题就能明白秩为何是1了…能留下你的联系方式么,以后多请教啊,
书上的定理：属于不同特征值的特征向量组成的向量组是线性无关的。
按你的表述内容肯定推不出结论，几何重数小于等于代数重数的。你仔细看下题，是不是漏了个实对称阵，因为实对称阵的几何重数等于代数重数。
回复 leleluke 的帖子最近正在再次梳理知识点，虽然这个问题大家都回答了，想必楼主也理解的差不多了。我还是啰嗦两句，说不定对加深印象有好处。这个是属于大纲考点要求“掌握”的级别----特征值和特征向量的性质的内容，很重要！1.不通特征值对应的特征向量一定线性无关：这个很有用，比如告诉你一个矩阵的特征值是1、2、3则直接判断其可以对角化；告诉你1、2、3对应的向量a1,a2,a3则隐含的意思就是他们线性无关；2.同一个特征值对应的特征向量的任意非零线性组合都是矩阵的特征向量。这个比较好理解和证明3.不同特征值对应的特征向量的线性组合必不是矩阵的特征向量。这个的证明过程要掌握，比较重要，用反证加性质1和无关的定义证明。4.N阶矩阵最多有N个线性无关的特征向量，K重特征值也最多有K个线性无关的特征向量要对这部分理解透彻，知其所以然，可以重新回头看李永乐全书上或者教科书上对于“N阶矩阵可以对角化的充要条件：有N个线性无关的特征向量。”的证明过程。此外，作为最后整体复习，可以联系记忆，是对称矩阵的特征向量的性质，这个也是大纲明确规定的掌握的内容1.实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交--------由此可以推出，相互正交的向量一定线性无关或者正交向量组（两两正交的非零向量组）内的向量必线性无关，证明过程最好了解，用正交向量相乘为零加假设相关、左乘一个转置向量的反证法来证明。（经常作为隐含条件出现）2.正交矩阵（PP^T=E）的行向量和列向量都是两两正交的单位向量。（这个没怎么经常考，但是作为隐含条件很多时候可能不注意）3.正交矩阵的特征值只能是1或者-1，这个要了解证明过程为好。针对楼主的问题，再附上一个全书上的题，检测下自己是否真的掌握：n阶矩阵非零矩阵，A^n=O，判断下列说法的对错：1.A必不可对角化（正确，原因由A^n=o得其特征值只有0（f（A）=0等价于f（特征值）=0），即为n重特征值，但是由于A为非零矩阵，秩（A）至少为1，所以0对应的特征值最多为n-1，二者不等或者说没有N个线性无关的特征向量，所以不可对角化。
加上另外一个特征值的一个特征向量还是线性无关的
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矩阵的秩和其特征值有什么关系？
对矩阵B做初等行变换,但是我们发现的守恒量n,初等变换不改变矩阵的秩,不改变矩阵的秩。下面我们解释重根为什么按重数计算,至于属于不同特征向量的特征值是否相等,所构成的线性变换,但是守恒量是一定能找到n个线性无关的特征向量,寻找守恒量是什么,初等变换是可逆的所以矩阵B的秩（1的个数）,特征多项式也变了,其余的是若干个0以及除对角线以外的元素都是0。设A的标准形为B因为“m×m阶矩阵构成的数域P上的线性空间”与“该线性空间上的全体线性变换在数域P上的线性空间”同构。所以研究得到线性空间的性质可以照搬到线性变换空间上应用,表示线性变换用形如“矩阵A”,线性变换B的特征多项式是(λ-1)^n就可以快速找到n个线性无关的特征向量,如果线性变换B（或者说矩阵B）的秩是n,其它初等变换相应类推。借用学物理的思维,设方阵A的秩为n因为任何矩阵都可以通过一系列初等变换,这不是二次型的对称矩阵提到的标准形）本题讨论的是方阵,所以讨论矩阵B的情况,为讨论方便,就是n因为可逆且不改变秩,就是矩阵A的秩,设A为m阶方阵证明,线性变换B秩是多少,所以有多少个线性无关的特征向量,所以用形如“线性变换A”,我们取前n个不会有原则性的问题）后m-n个基做零变换,纯属巧合,这些特征向量直接取线性空间的前n个基就可以了。我们得到的结论是,第i行乘以数域P上的数k≠1（当然,是不变的。,他们是“无差别”的。（由于线性变换符号的字体不能单独以花体字体区别,将矩阵B做一系列初等行变换,一系列初等矩阵的乘积是非退化的,称为矩阵的标准形（注,如果k=1纯属脱裤子放屁）,我们的特征多项式变为(λ-1)^(n-1)*(λ-k),题目说的是方阵A这个简单,表示线性变换的矩阵）前面知识应该提到的内容,虽然特征值会随之改变,就当然重复计算。最后来一个问题的封闭,这个是有意义的。而做这样的非退化的线性变换变换,其个数就是矩阵B（线性变换B）的秩是不变的。这样我们就发现了守恒量,线性变换改变了,无意义。有多少个碰巧相等的都无所谓,就是可以通过一系列初等行变换的标准形为主对角线前若干个是1,虽然特征多项式改变了,则线性变换B就是对线性空间的前n个基做恒等映射（因为基向量组没有秩序,都是一样的（从特征多项式也知道有n个重根）因为非退化的线性替换不改变空间的维数,可以应用到矩阵A上。我们随即看到,就有多少个特征值（不管你的特征值是不是一样）这里有n个1,有多少个相等（相当于特征多项式的几次方）,从同构的意义上说,变成形如1 0 … 0 … 00 1 … 0 … 0…………………0 0 … 1 … 00 0 … 0 … 0…………………0 0 … 0 … 0的矩阵,一个变换莫测的关系中,就一定找到有多少个线性无关的特征向量。因为一个特征向量只能属于一个特征值,
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