第三方登录：数学分析：有理数都可以表示为有尽小数或无尽循坏小数；无尽循环小数一定是有理数这种类似于公理的命题如何证明？
小袭wan1341
所谓公理，就是不需要你去证明的定理。实际上，在数学中，有理数的定义是：一个整数a和一个非零整数b的比值当然，1/2=0.5，1/3=0.333……，1/4=0.25，……2/3=0.666……1/6=0.166666……，，2/4=0.5，3/4=0.75……等等，只要能写成分数形式的数，都可以写成一个有限小数，或者无限循环小数。所以可以认为有理数就是分数，（整数可以看作分母为1）而无限不循环小数，是不能写成分数形式的，因为分子不为定值，分母会无限大。当然，无限循环小数一定是有理数，因为有理数就包括无限循环小数，反过来说，如果存在一个无限循环小数，不是有理数，那么，有理数的定义就不成立。用语文的知识去理解这些东西。你记着，所有数学课本上的“公理”，“定理”，都是不需要你去证明的，任何时候，你都可以直接拿来用。当然，公理不多，而且也多是定义类的东西。而定理的推论，是可以通过定理证得的。
十分感谢，不过这题是史济怀数学分析上的一题，当然不会直接套用公理，那岂不是失去意义了，现在关键就是要证明所有分式的结果都是无限循环小数或有尽小数
对于无限循环小数0.X1X2X3… XkX1X2X3… XkX1X2X3… Xk…（其中对1<=i<=k，1<=Xi<=9，且是Xi是整数；k是它循环部分的位数，并且k属于自然数集）这样的无限循环小数来说（X1X2X3… Xk是它的循环部分）如果存在有理数a,b，使b / a=0.X1X2X3… XkX1X2X3… XkX1X2X3… Xk…那么自然也就证明了所有的无限循环小数都可以写成分数形式。b / a
＝0.X1X2X3… XkX1X2X3… XkX1X2X3… Xk…＝0.X1X2X3… Xk＋(10^－k) （0.X1X2X3… Xk）＋(10^－2k)（0.X1X2X3… Xk）＋(10^－3k)（0.X1X2X3… Xk）＋...b =（0.X1X2X3… Xk）a＋(10^－k)（0.X1X2X3… Xk）a＋(10^－2k)（0.X1X2X3… Xk）a＋(10^－3k)（0.X1X2X3… Xk）a＋...(10^k)b =（X1X2X3… Xk）a +（0.X1X2X3… Xk）a＋(10^－k)（0.X1X2X3… Xk）a＋(10^－2k)（0.X1X2X3… Xk）a＋...=（X1X2X3… Xk）a + b(10^k－1)b =（X1X2X3… Xk）ab / a =（X1X2X3… Xk）/（10k－1）换句话说，形如0.X1X2X3… XkX1X2X3… XkX1X2X3… Xk…的无限循环小数，它的有理数表示方式是：（X1X2X3… Xk）/（10k－1）做几个简单验证：0.33333…＝3 /（10－1）＝1／30.…＝142857／（）＝1／7另外，对于那些不是单纯循环的小数，比如5.…，只要把它表示成：5＋0.23＋（0.454545…）/10－2要证所有的分数，可以可以写成有限小数或无限不循环小数的方法就简单多了，只需要把1，2，除到9得到前提理论无论被除数，除数是多少，都可以利用分割的思想辗转相除的方法证得。
十分感谢！先采纳之。唯一不懂之处就是最后一段话，也就是要证明的前面一句，什么叫1，2除到9？还有这里辗转相除怎么运用？望告知~
可以从整数除法的过程中利用反证来看这个问题：若存在一个无限不循环小数，可以表示成为最简分数p/q那么，用p除q，是除不尽的，且得到的小数是无限不循环的。如果这个命题不成立，就能得到我们想要证得的结论。两数p/q相除到某一位时，商位k，余数为r。这个余数r一定是有限的（比如，10以内，或100以内，或1000以内。。由q的条件决定,因为除法中规定余数一定小于除数。）那么在下面的除法时，不能再出现这个余数r（一旦出现相同的余数，除数不变的情况下，商几余几的结果就一定进入循环。）但是余数是有限的（小于除数），其上限也是有限的，如10以内，那么余数的出现无非0-9这10个数字，即，不可能出现无限的不同的余数。所以，分数是一定会进入循环的。
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扫描下载二维码下列说法：①有理数包括正有理数、0、负有理数；②无限小数是无理数
练习题及答案
下列说法：①有理数包括正有理数、0、负有理数；②无限小数是无理数；③数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数；④实数分为正实数和负实数两类，错误的是：
[&#160;&#160;&#160;&#160; ]
A.①③B.②④ C.②③ D.③④
题型：单选题难度：偏易来源：江苏期中题
所属题型：单选题
试题难度系数：偏易
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初中三年级数学试题“下列说法：①有理数包括正有理数、0、负有理数；②无限小数是无理数”旨在考查同学们对
实数的定义、
有理数定义及分类、
无理数的定义、
……等知识点的掌握情况，关于数学的核心考点解析如下：
此练习题为精华试题，现在没时间做？，以后再看。
根据试题考点，只列出了部分最相关的知识点，更多知识点请访问。
考点名称：
定义：包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数，后来引入了虚数概念，原本的数称作&实数&&&意义是&实在的数&。（任何实数都可在数轴上表示。）
实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n为正整数，包括整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
1）相反数（只有符号不同的两个数，它们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数） 实数a的相反数是-a，a和-a在数轴上到原点0的距离相等。）
2）绝对值（在数轴上另一个数与a到原点0的距离分别相等） 实数a的绝对值是：|a|
①a为正数时，|a|=a（不变）
②a为0时， |a|=0
③a为负数时，|a|=-a（为a的相反数）
(任何数的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负的。)
3）倒数（两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数） 实数a的倒数是：1/a （a&0）
4）数轴（任何实数都可在数轴上表示。）
定义：如果画一条直线，规定向右的方向为直线的正方向，在其上取原点O及单位长度OE，它就成为数轴线，或称数轴。
（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度。
（2）数轴上的点与实数一一对应。[1]
5）平方根（某个自乘结果等于的实数，表示为〔&￣〕，其中属于非负实数的平方根称算术平方根。一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根。）
6）立方根（如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a(x^3=a)，即3个x连续相乘等于a,那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根）
实数的分类：
实数按性质分类是：正实数、负实数、0；
实数按定义分类是：有理数、无理数
有理数的分类 可以分为整数,分数
整数又可分为正整数,0,负整数
分数又可分为正分数,负分数
正有理数又可分为正整数,正分数
负有理数又可分为负整数,负分数
无理数可分为正无理数和负无理数。
实数的练习题：
考点名称：
定义：正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
概况：有理数为整数和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
有理数的计算法则
1）、有理数加法法则
1.同号两数相加，把绝对值相加，所得值符号不变。如-1+(-1)=-|1+1|=-2 、 1.1+1.1=2.2
2.异号两数相加，若绝对值不等，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。若绝对值相等即互为相反数的两个数相加得0。如-1+2=+|2-1|=1 、 2+(-3)=-|3-2|=-1 、-3.2+3.2=0
3.一个数同0相加，仍得这个数。3.14+0=3.14
一是确定结果的符号；二是求结果的绝对值。在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0。从而确定用那一条法则。在应用过程中，一定要牢记&先符号,后绝对值&，熟练以后就不会出错了。多个有理数的加法，可以从左向右计算，也可以用加法的运算定律计算，但是在下笔前一定要思考好，哪一个要用定律哪一个要从左往右计算。
2）、有理数减法法则
减去一个数，等于加这个数的相反数。
两变：减法运算变加法运算，减数变成它的相反数做加数。一不变：被减数不变。可以表示成： a－b=a+（－b）。
3）、有理数乘法法则
1.两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。
2.任何数同0相乘，都得0。
3.乘积为1的两个有理数互为倒数。
4.几个不是0的数相乘，负因数得个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。
5.几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。
4）、有理数除法则
1.除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
2.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
3.0除以任何一个不等于0的数，都得0。
0不能做除数。
5）混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，按照&先乘除，后加减&的顺序进行，如果是同级运算，则按照从左到右的顺序依次计算。
有理数的分类：
（1）按有理数的定义：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&正整数&
&&&&&&&&&&&&&&&& 整数{&&&& 零&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &负整数
有理数{&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& && 正分数&
&&&&&&&&&&&&&&&&分数{
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 负分数
（2）按有理数的性质分类:&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&正整数&&
&&&&&&&&&&&&&& 正数{&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&正分数
有理数{& 零
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&负整数&
&&&&&&&&&&&&&&&负数{
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &负分数
考点名称：
数轴的定义：
规定了唯一的原点，正方向和单位长度的一条直线叫做数轴。
数轴具有三要素：
原点、正方向和单位长度，三者缺一不可。
数轴是直线，可以向两方无限延伸，因此所有的有理数都可用数轴上的点来表示。
数轴的意义：
数轴是一种特定几何图形；原点、正方向、单位长度称数轴的三要素，这三者缺一不可。
1）从原点出发，朝正方向的射线（正半轴）上的点对应正数，相反方向的射线（负半轴）上的点对应负数，原点对应零。
2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
3）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。
注：单位长度则是指取适当的长度作为单位长度，比如可以取2m作为单位长度&1&，那么4m就表示2个单位长度。长度单位则是指米，厘米，毫米等表示长度的单位。
二者不容混淆。
任何一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。
用数轴上的点表示有理数：
每一个有理数都可用数轴上的点来表示，表示正数的点在数轴原点的右边，表示负数的点在数轴原点的左边，原点表示数0。
1.数轴上的点表示的数不一定都是有理数，还可能是无理数，但有理数都可用数轴上的点来表示。
2.表示正数的点都在原点右边，表示负数的点都在原点左边。
3.数轴上的点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，因此，可借助数轴比较有理数的大小。
数轴的画法：
1.画一条直线（一般画成水平的直线）；
2.在直线上根据需要选取一点为原点（在原点下面标上&0&）；
3.确定正方向（一般规定向右为正，并用箭头表示出来）；
4.选取适当的长度为单位长度，
从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3，&；
从原点向左，用类似的方法依次表示-1，-2，-3，&。
数轴的应用范畴:
符号相反的两个数互为相反数，零的相反数是零。（如2的相反&2）
在数轴上离开原点的距离就叫做这个数的绝对值。一个正数的绝对值是它本身，一个负数的相反数是它的正数，0的绝对值是0。
考点名称：
定义：无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数。如圆周率、&2（根号2）等。有理数是由所有分数，整数组成，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。如22/7等。实数分为有理数和无理数。
有理数和无理数的区别
把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、有限小数或无限循环小数，比如4=4.0， 4/5=0.8， 1/3=0.33333&&。而无理数只能写成无限不循环小数，比如&2=1.&&&&。另外，无理数不能写成两整数之比。
无理数性质：
无限不循环的小数就是无理数 。换句话说，就是不可以化为整数或者整数比的数
性质1 无理数加（减）无理数既可以是无理数又可以是有理数
性质2 无理数乘（除）无理数既可以是无理数又可以是有理数
性质3 无理数加（减）有理数一定是无理数
性质4 无理数乘（除）一个非0有理数一定是无理数
无理数的识别：
判断一个数是不是无理数，关键就看它能不能写出无限不循环小数，而把无理数写成无限不循环小数，不但麻烦，而且还是我们利用现有知识无法解决的难题。
初中常见的无理数有三种类型：
（1）含根号且开方开不尽的方根，但切不可认为带根号的数都是无理数；
（2）化简后含&的式子；
（3）不循环的无限小数。
掌握常见无理数的类型有助于识别无理数。
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CopyRight & 沪江网2016每一条线段的长度都能用正有理数表示是错的，无限循环小数不能?_百度知道
每一条线段的长度都能用正有理数表示是错的，无限循环小数不能?
提问者采纳
对的，可以表示无线循环小数
提问者评价
太给力了，你的回答完美地解决了我的问题，非常感谢！
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