如何快速的判断一个函数是否具有原函数呢？
数学，分析，大学
一般你能见到的函数都具有原函数，能不能积出来是另外一回事。
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社交帐号登录如何判断一个函数是否黎曼可积以及是否有原函数？
是否黎曼可积？如何证明有无原函数？
y=xsin（1/x）在【0，1】 黎曼可积，有原函数。证：由于x趋于0，y有极限0，故y可视为【0，1】上的连续函数当然黎曼可积，当然有原函数看见这种同类问题较多，不妨总结一下。1.黎曼可积性有界闭区间[a,b]上函数黎曼可积的 充分必要条件是函数有界，且几乎处处连续（不连续点集为Lebesgue零测集）一般的n元函数的黎曼可积性要借助Jordan可测集的概念。上集合被称为Jordan可测集，如果有界且为Lebesgue零测集.对E上函数f(x),对E任何一个Jordan划分（即E划分为有限个两两互不重叠（即两两相交为Lebesgue零测集）的Jordan可测集，Jordan划分的长度用的直径最大者表示）任取记，为Lebesgue测度此时f在E上黎曼可积是指：存在，其值记为f在E上的Riemann积分.同样可以证明，Jordan可测集E上的有界函数f黎曼可积的充分必要条件是f在E上的不连续点集为Lebesgue零测集注意可能存在无界的E上黎曼可积函数，不过E性质较好时不存在。如在假定E和任一以E中点为中心的半径任意的球的交集都有Lebesgue正测度时（如E为开集）时，f在E上黎曼可积的必要条件是其有界，故充要条件为f有界，且几乎处处连续而无界集上Riemann积分，定义常用有界集上的黎曼积分去逼近取极限得到。2.原函数注：我们谈论一个有界闭区间的函数的在端点处的导数时，指的是对应的单侧导数。原函数的定义为：已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。对于有界闭区间[a,b]上连续函数，令，则其处处可导，为f(x)的原函数一般地，怎样的f(x)在[a,b]上有原函数的问题不定，是一个open problem.因为原函数的要求太强了，举个例子,均连续，只要,f在[-1,1]上就没有原函数，尽管它只有一个间断点，且在[-1,1]上黎曼可积也就是黎曼可积或者间断点有限推不出f一定有原函数因为单侧导数可能会使讨论变复杂，我们来考虑有界开区间(a,b)上函数f(x)有原函数的条件.若①f不必连续，也不必Rieman可积如,0处在0处的值定义为0，不难知F在(-1,1)上处处可导（0处请用导数定义验证！）求得导数，f在(-1,1)处有原函数F，但当时，故f在0处不连续，而且无界，不可能Riemann可积！②f有原函数的一个常见的必要条件：f一定具有介值性，即对c,d∈（a，b），f一定能取到介于f（c），f（d）中的一切值。这是因为数学分析中的Darboux定理：若函数g(x)在包含[a,b]的一个开区间上可导,则f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之间任何值.然后对于F(x)使用即可。形象地来说，f的图像不能突然跳跃（不能有第一类间断点）这就否决了一大堆函数的原函数的存在性,如其值在0处突然有跳跃，故不可能有原函数其值在0处突然有跳跃，故不可能有原函数③可以描述性的看出，一个函数f如果有原函数，那么其应该与连续函数很”相近”，上面表明f有连续函数的介值性，但其究竟有“多么”连续？上面给出了一个反例，表明其可以有不连续点，但是看来我们只给出了一个有且仅有一个不连续点的f，事实上，有原函数的函数可以更病态：如,在0处的值定义为0不难验证其在R上可导（0处请用定义验证！），其导数记为f(x)，但是f在0处不连续，但在0附近有界我们取,为[0,1]上所有有理数，Y定义域为(-1,1)则由F(x)在(-2,2)有界，这个级数一致收敛，又由于F(x)连续，故Y(x)连续两边求导（利用f(x)在(-2,2)有界，导函数级数也一致收敛，不难验证交换求和与求导其可行性）,所以Y‘(x)有原函数Y(x)但是由f在0处不连续，我们知道Y'(x)在[0,1]上所有有理数处均不连续，这是有原函数的函数有可数个不连续点的例子。④其实一个函数有原函数的必要条件就是一个函数能够成为另一个函数的导数的必要条件，也就是一个任意函数的导数的性质f如果有原函数，其也总会有一定的性质，比如处处不连续就做不到。如在这个问题中，有很多不错的答案稍微翻译一下，就是：如果f(x)在[a,b]上有原函数，那么其不连续点集一定是第一纲集，也就是说其不连续点集是可数个无处稠密集的并集（无处稠密集E的定义即其闭包没有内点，也就是）反过来如果给定任何一个无处稠密的闭集E，存在一g(x)有原函数，但是g(x)的不连续点就是这个第一纲集（见《实分析中的反例》（汪林））我们可以取E为有正lebesgue测度的集合，从而也可以得到有正测度多的不连续点的有原函数的函数，这就更病态了。不过第一纲集的余集一定稠密（见实分析），于是f的连续点集一定为稠密的⑤回忆实分析中的一个结论，定义在开集上的函数的连续点集一定是可数个开集的交(集)如果把[a,b]换成(a,b)，我们可以得到f(x)的连续点集为稠密的集，不连续点集为第一纲的集(可数个闭集的并)仿照上面的证明，我们可以对任何一个(a,b)中第一纲的集构造出一个连续函数f，f的不连续集恰为这个集合。因此这个结论是最优的。⑥从可测性等角度来看，如果f(x)有原函数F(x)由于为连续函数的极限故f(x)也是Lebesgue可测的但是不一定Lebesgue可积（如上面举的，f(x)都无界了）注：事实上，有这么两个事实：一些高度病态的函数，也可以有原函数；一些高度病态的函数，其可以是Riemann不可积的，但其有原函数。所以寻找一般函数有没有原函数的判定是很困难的。（至少在我仅有的大学知识来看，还没见到一个实变中较广的判定）总结一下：为R上一有界区间上的函数，那么——微积分知识层面——如果连续，那么f(x)一定有原函数如果Riemann可积，也不一定有原函数如果无界，也不一定没有原函数如果只有有限个间断点，也不一定有原函数如果有原函数，那么其一定具有介值性——实分析知识层面——如果有原函数，其不连续点集一定为第一纲的，其连续点集一定在区间内稠密特别地，如果有原函数，不能处处不连续。特别地，Dirchlet函数没有原函数如果在上有原函数，那么其不连续点集一定为第一纲的集(可数个闭集的并)；任何一个(a,b)中第一纲的集E，存在一个(a,b)上的函数，的不连续点集恰为这个集合E。如果有原函数，其一定是Lebesgue可测的，但是不一定Lebesgue可积3.原函数的定义放宽现代观点来看，我们大多考虑Lebesgue积分，其大多性质好于Riemann积分由于Lebesgue零测集对Lebesgue积分和可测性都没有贡献于是我们考虑几乎处处成立的概念：性质P几乎处处成立是指，在考虑范围内不成立的点集为Lebesgue零测集原函数的定义如果放宽为：已知函数是一个定义在某区间的函数，如果存在几乎处处可导函数，使得在区间上几乎处处有这个时候有一个较好的判定条件：如果在上Lebesgue可积(当然蕴含Riemann可积的情况)，那么令(Lebesgue积分)则几乎处处有:并且在上绝对连续(absolutely continuous，简称AC)这个条件是Lebesgue积分定理(G.B.Folland - Real Analysis Page 106)的一部分：为的函数，m为Lebesgue测度则下三条等价：在上 AC,对某在上 几乎处处可导,并且最后，至于想继续深究的，可以学习测度论相关知识,了解一下Henstock–Kurzweil integral，正如
所说，有一个更细的充分条件： HK可积+平均连续原函数存在
有界且几乎处处连续(对这题是处处连续)从而黎曼可积，从而HK可积，连续性又推出平均连续性，HK可积+平均连续=存在原函数。
你可以这样想，连续函数，无论有没有导数，但是它都具有极限，也就是对于每一个x它都具有唯一的y与其对应，这就代表他在某个区间上一定是某个函数的导数，所以他一定具有原函数。
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社交帐号登录Excel2007中利用if和mod函数判断一个数字是否为奇偶
小编这几天都在更新各种excel小技巧教程，不知道大家看了多少，今天又给大家分享一个excel小技巧，都是我们在使用excel过程中遇到的一些小问题，以后都不用傻傻的跑去excel城修理啦，自己就可以解决，赶紧跟着小编走起来！
判断一个数字是否为奇偶的方法有很多，可以使用眼力来进行快速判断，也可以使用函数来进行处理。第一种方法适用于数据量很少的情况，如果数据量比较庞大就不适宜了；第二种方法适用于数据量比较大的情况下，理论上靠眼力来进行判断是不合理的的做法。下面通过实例为大家介绍下如何利用if和mod函数判断数字是否为奇偶，有不会的朋友可以借此机会学习下。简要概述首先打开表格输入一些数据，在本例中单击A4单元格，输入公式：=IF(MOD(A4,2)=0,&偶数&,&奇数&) 然后回车，即可看到结果，接着利用单元格填充的方法完成其他的数据的奇偶判断。步骤如下首先打开Excel2007表格，输入一些数据，如下图所示，方便之后的讲解。单击A4单元格，输入公式：=IF(MOD(A4,2)=0,&偶数&,&奇数&) 然后回车。A4单元格显示结果，为奇数，正确。对于其他的数据，我们利用单元格填充的方法完成，移动到A4单元格右下角，出现+t填充柄，向下拉动即可.
来源:/n/683.html
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