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高一数学一元二次不等式解法练习题及与含参不等式恒成立的例子
导读：含参不等式恒成立问题的求解策略，“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类，若所求问题可转化为二次不等式，对于二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0,x?R),有，1）f(x)?0对x?R恒成立??2?a?0;，22）f(x)?0对x?R恒成立??2例1．已知函数y?lg[x?(a?
含参不等式恒成立问题的求解策略
“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。
一、判别式法
若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0,x?R),有
1）f(x)?0对x?R恒成立??2?a?0;
22）f(x)?0对x?R恒成立??2例1．已知函数y?lg[x?(a?1)x?a]的定义域为R，求实数a的取值范围。
22解：由题设可将问题转化为不等式x?(a?1)x?a?0对x?R恒成立，即有
1??(a?1)2?4a2?0解得a??1或a?。 3
所以实数a的取值范围为(??,?1)?(,??)。
若二次不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 13
例2．设f(x)?x2?2mx?2，当x?[?1,??)时，f(x)?m恒成立，求实数m的取
解：设F(x)?x2?2mx?2?m，则当x?[?1,??)时，F(x)?0恒成立
当??4(m?1)(m?2)?0即?2?m?1时，F(x)?0显然成立；
当??0时，如图，F(x)?0恒成立的充要条件为： ????0??F(?1)?0解得?3?m??2。
??2m????12?
综上可得实数m的取值范围为[?3,1)。 二、最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：
1）f(x)?a恒成立?a?f(x)min
2）f(x)?a恒成立?a?f(x)max
232例3．已知f(x)?7x?28x?a,g(x)?2x?4x?40x，当x?[?3,3]时，
f(x)?g(x)恒成立，求实数a的取值范围。
解：设F(x)?f(x)?g(x)??2x?3x?12x?c，
则由题可知F(x)?0对任意x?[?3,3]恒成立
'2令F(x)??6x?6x?12?0，得x??1或x?2 32
而F(?1)??7a,F(2)?20?a,F(?3)?45?a,F(3)?9?a,
∴F(x)max?45?a?0
∴a?45即实数a的取值范围为[45,??)。
x2?2x?a,x?[1,??)，若对任意x?[1,??)，f(x)?0恒成立，例4．函数f(x)?x
求实数a的取值范围。
解：若对任意x?[1,??)，f(x)?0恒成立，
x2?2x?a?0恒成立， 即对x?[1,??)，f(x)?x
考虑到不等式的分母x?[1,??)，只需x?2x?a?0在x?[1,??)时恒成立而得 而抛物线g(x)?x2?2x?a在x?[1,??)的最小值gmin(x)?g(1)?3?a?0得2a??3
注：本题还可将f(x)变形为f(x)?x?a?2，讨论其单调性从而求出f(x)最小值。 x
三、分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：
1）f(x)?g(a)(a为参数）恒成立?g(a)?f(x)max
2）f(x)?g(a)(a为参数）恒成立?g(a)?f(x)max
实际上，上题就可利用此法解决。
略解：x?2x?a?0在x?[1,??)时恒成立，只要a??x?2x在x?[1,??)时恒成立。而易求得二次函数h(x)??x?2x在[1,??)上的最大值为?3，所以222
例5．已知函数f(x)?ax?4x?x2,x?(0,4]时f(x)?0恒成立，求实数a的取值范围。
解： 将问题转化为a?4x?x2
对x?(0,4]恒成立。 x
令g(x)?4x?x2
，则a?g(x)min x
由g(x)?4x?x2
?x4?1可知g(x)在(0,4]上为减函数，故x
g(x)min?g(4)?0
∴a?0即a的取值范围为(??,0)。
注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。
四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例6．对任意a?[?1,1]，不等式x2?(a?4)x?4?2a?0恒成立，求x的取值范围。
分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等式(x?2)a?x2?4x?4?0在a?[?1,1]上恒成立的问题。
2解：令f(a)?(x?2)a?x?4x?4，则原问题转化为f(a)?0恒成立
（a?[?1,1]）。
当x?2时，可得f(a)?0，不合题意。
?f(1)?0当x?2时，应有?解之得x?1或x?3。 f(?1)?0?
故x的取值范围为(??,1)?(3,??)。
注：一般地，一次函数f(x)?kx?b(k?0)在[?,?]上恒有f(x)?0的充要?f(?)?0条件为?。 f(?)?0?
四、数形结合法
数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：
1）f(x)?g(x)?函数f(x)图象恒在函数g(x)图象上方；
2）f(x)?g(x)?函数f(x)图象恒在函数g(x)图象下上方。
例7．设f(x)?实数a的取值范围.
分析：在同一直角坐标系中作出f(x)及g(x)
22如图所示，f(x)的图象是半圆(x?2)?y?4(y?x2?4x , g(x)?4x?1?a,若恒有f(x)?g(x)成立,求3
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& 高考数学同步训练解集—专题四 不等式 专题复习讲练 4 含参不等式的解法（二）
高考数学同步训练解集—专题四 不等式 专题复习讲练 4 含参不等式的解法（二）
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资料概述与简介
《8A Unit 3 A day out》Period 1 Comic strip& welcome to the unit
(课题) 8AUnit3 Comic strip& welcome to the unit Type
(课型) New
新授课 Period
Supporting
(理论支撑) 1.根据建构主义学习理论，学习者的知识是在一定情境下，借助于他人的帮助，如人与人之间的协作、交流、利用必要的信息等等，通过意义的建构而获得的。因此，学习是一个积极主动的建构过程；知识是个人经验的合理化，而不是说明世界的真理；知识是商谈出来的；学习者的建构是多元化的。因此，建构主义学习理论强调教学必须以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识在原有经验基础上的意义生成，要求教师由知识的传授者、灌输者转变成为学生主动建构知识的帮助者、促进者，学生学习的合作者。改变传统的英语教学观念，推进“学—导—练”的教学模式。
2. 根据任务型教学，以学生为主体、教师为主导、训练为主线，面向全体，分层教学。采用灵活多变的教学手段，培养学生的学习兴趣。创设和谐、融洽的学习氛围，促进师生之间的情感交流。注重学生的能力培养，力争课堂的优质高效。
Aims and demands
(教学目标) A: Knowledge (语言知识)
‘ A day out’.
B: Language skill (语言技能)
C: Feeling (情感态度)
1.travelling.
Key points and difficulties
Teaching Methods
(教学方法)
Task-based approach
课前准备（教具、活动准备等） 1. Get some pictures about some places of interest ready.
2. A tape recorder.
3. Get some information about places of interest from the Internet..
1.听磁带，了解Comic strip的大意，并预习要学内容中的生词。
（会拼写、知词义）
2.划出有关短语，并了解其意思。
3.解决疑难问题。
（个人思考，小组讨论，待课上求助）
4.查阅一些名胜及它们所在的国家或城市的资料以备课上合作交流。 养成自学习惯，培养自学能力
Teaching Plan
(授课计划) Studying Plan
(学习计划) Aims
(设计意图)
学 StepⅠWarming up
1．检查课前预习。
2．利用图片畅谈学生们熟悉的地方，引起学生对名胜的兴趣。
Presentation
1.Listen to the tape and answer the questions:
(1)What is Eddie going to do?
(He is going to climb a hill. It’s a hill of delicious food.)
(2)Is it good for his health?
(No, it isn’t. He needs to exercise and keep fit.)
2. Present some pictures of places of interest.
(1)What is this animal?
(It’s a kangaroo.)
(2)Where does it live?
(It lives in Australia.)
(Look at this picture, this is a national flag. Please tell me which country it belongs to.)
(It’s a national flag of Australia.)
3Please look at some places of interest.
(We know this is the Harbour Bridge and this is the Opera House, they are in Sydney, Australia.)
4This is a museum. It is famous around the world. We can have a school trip there.
Present a boat and use the phrase ‘have a boat trip(to)’to make some sentences .(P39)
Look at the book and read the first postcard together.
go past sp
5．Present a photo of the President of the USA.
(Do you know who the President of the USA is?)
He lives in the White House. The White House is in Washington DC in the USA. It’s a beautiful building with a big garden and many trees.
Jane has been to the USA. Let’s listen what she said.
Read the third postcard.
6 Present a picture of a tower.
(It’s in Shanghai. What’s its name? Please say it in Chinese. I think you will have a chance to go there. )
Present the picture of the Eiffel Tower.
(This tower is in foreign country. It’s the Eiffel Tower. Paris is famous for it. Leo is going to the Eiffel Tower. Let’s look at the second postcard. Ask the students to read it.)
Use another two pictures to consolidate the phrases ‘by the River Seine and sit in a little coffee shop.’
Let’s look at the other places of interest. They are the Big Ben and the Pyramids.
老师设问，导入新课。
利用Eddie和Hobo 出去爬山引出我想去的地方，呈现书上名胜的图片，让学生对它们有直观形象的了解。
采用问题和图片相结合的方式，在语境中学习外国名胜的知识，激发学生兴趣，对Welcome to the unit内容有进一步的感性认识。
让学生积极参与语言交流活动，启发想象力和创造思维，有利于发挥学生的主动性作用。
把外国名胜和书上内容有机地结合起来，信息量大，有助于拓宽学生的知识面。
导 Step III
Complete Part A then answer some questions.
What place did Nick visit?
(The Harbour Bridge and the Opera House.)
How did he travel?
(By boat.)
Where did Leo write the postcard?
(In a little coffee shop by the River Seine.)
What did Jane think of the White House?
(It’s a beautiful building with a big garden and many trees.)
Do some exercise
Eddie wants to e____ today. He says that he will c______ a hill. Hobo is very happy to hear that because he thinks that Eddie n______ to do that and k______ f_______. But Eddie says he just wants to e________ _but not k_____ f_____ .Hobo can’t understand it, so he follows Eddie. To his surprise, he finds so much food like a hill outside and
Eddie is shouting nearby, “Come on, let’s enjoy o____.!”
Translate some phrases.
．需要锻炼
．保持健康
．玩的开心
．进行一次坐船的旅行
．在…的顶部
．世界地图
．The White House
10. the President of the USA
11.he River Seine
12. the Harbour Bridge
13. the Eiffel Tower
14. the Great Wall
15. Sydney Opera House
尊重学生的个性差异，分层要求。在学生准备过程中，教师通过观察、询问，有计划地点拨学困生，鼓励其大胆质疑；有针对性地向优生提出深层次的问题，使他们的聪明才智得到充分发挥。
练 Step IV
Production
pictures Enjoy three places of interest. 欣赏并培养学生的口语表达能力
Ⅱ. Discussion 1.Make up a dialogue
(1)where to go
(2)when to go
(3)how to go
(4)why to go
(5)what to see
(6)how to feel
2. Give an example and the students can discuss in pairs.
3Speak up.
Each group chooses two students to come to the front to make a conversation.
Give some presents to the best group.
课后提升 Step V Assignment 1. Copy the new words and phrases three times.
2. Preview Reading of Unit3.
Period One in Exercise book. 控制作业量，既落实双基重视能力
Blackboard design (板书设计)
a place of interest
places of interest
go past sp
the President of the USA
a building with a big garden
the Eiffel Tower
by the River Seine
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