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设函数f（x）=ax+1x+b(a，b∈Z)，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=3．（1）求f（x）的解析式；（2）已知函数y=f（x）的图象是一个中心对称图形，求其对称中心的坐标；（3）设直线l是过曲线y=f（x）上一点P（x0，y0）的切线，求直线l与直线x=1和直线y=x所围成的三角形的面积．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）由题意得，f′（x）=a-1(x-b)2，∵在点（2，f（2））处的切线方程为y=3，∴a-1(2-b)2=02a+12+b=3，解得a=1b=-1或a=94b=-83，∵a、b∈Z，∴a=1b=-1，则f（x）=x+1x-1，（Ⅱ）证明：由函数y1=x，y2=1x都是奇函数得，函数g（x）=x+1x也是奇函数，则g（x）的图象是以原点为中心的中心对称图形，∵f（x）=x+1x-1=x-1+1x-1+1，∴将函数g（x）的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得到函数f（x）的图象，∴函数f（x）的图象是以点（1，1）为中心的中心对称图形，（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点（x0，x0+1x0-1），则由（I）得，f′(x0)=1-1(x0+1)2，∴过此点的切线方程为：y-（x0+1x0-1）=（1-1(x0+1)2）（x-x0），令x=1得y=x0+1x0-1，切线与直线x=1交点为（1，x0+1x0-1），令y=x得y=2x0-1，切线与直线y=x交点为（2x0-1，2x0-1）．∵直线x=1与直线y=x的交点为（1，1）．∴所围三角形的面积为12|x0+1x0-1-1||2x0-1-1|=12|2x0-1|||2x0-2|=2，故所围三角形的面积为定值2．
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据魔方格专家权威分析，试题“设函数f（x）=ax+1x+b(a，b∈Z)，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方..”主要考查你对&&函数解析式的求解及其常用方法，函数的极值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数解析式的求解及其常用方法函数的极值与导数的关系
函数解析式的常用求解方法：
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。 极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&
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与“设函数f（x）=ax+1x+b(a，b∈Z)，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方..”考查相似的试题有：
521073288105500557554672456240430291设函数f(x)={x平方,x≤1}.{ax+b,x＞1}为了使函数f(x)在x=1处连续且可导,a、b应取什么值
设函数f(x)={x平方,x≤1},{ax+b,x＞1},为了使函数f(x)在x=1处连续且可导,a、b应取什么值?为使函数f(x)在x=1处连续,x≤1,f(x)=x^2,x=1时,f(1)=1,x>1, f(x)=ax+b,x从1+方向趋近于1时,f(x）=ax+b 应该趋近于1,即a+b趋近于1,a+b=1,“可导”的含义比“连续”的含义更多一层要求：要求在x=1处,x从左边趋近于1的极限（左极限）要求存在、并且等于函数在x=1的值f(1),而且x从右边趋近于1时的极限（右极限）也要求存在、并且等于函数在x=1的值f(1),这样才称得上“函数在x=1处可导”.为了让左右极限相等、并且等于f(1)的值1,考察左极限在x=1的变化趋势,即f(x)=x^2在x=1处的切线方向,由f'(x)=2x决定.此切线的斜率k=2.x从右边趋近于1时的极限（右极限）也应该具有斜率k=2的斜率.当x>1时,f(x)=kx+h,因为已知 f(x)=ax+b,则 a=k=2,b=h,f(x)=2x+b,当x从右边趋近于1时,右极限等于左极限1及f(1)=1,故 2*1+b=1,b=-1.结论：为了使函数f(x)在x=1处连续且可导,a、b应取a=2,b=-1.
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Kyoya骸MU6
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扫描下载二维码已知函数f(x)=x的平方+1分之ax+b是奇函数,但f(1)=2,求函数y=f(x)的解析式
小彬_Sxum06
函数f(x)=x的平方+1分之ax+b是奇函数b=0f(1)=2代入得2=a/2a=1f(x)=x/(1+x^2)
题不是那样的，是ax+b/x的平方+1，x的平方加一是一个整体，ax+b是分子
我知道啊，我理解你的意思了啊。答案就是这样的啊
答案不一样，a应该等于4.我想问的是b为什么等于零
噢，我今天晚上不知道怎么回事，老算错。
2=a/2，a=4
这个地方算错了
b为什么等于0
你看分母是偶函数，所以分子必然是奇函数，所有的偶次项(包括常数项)都是0
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f（x）f（x）=ax+b/x^2+1是奇函数，所以f（0）=b/1=0所以b=0又f(1)=a+b/2=2所以a=4所以f(x)=4x/x^2+1 奇函数是关于原点对称的 又f(-x)=-f(x)把x=0带入，那么f(x)=0这是奇函数的特征，f(x)=0
∵函数f(x)=x的平方+1分之ax+b是奇函数∴f(x)=f(-x)∴b=0f(1)=2代入得2=a/2a=4f(x)=4x/(1+x^2)
扫描下载二维码考点：利用导数求闭区间上函数的最值
专题：计算题
分析：求导数，利用函数的单调性，结合x∈[0，1]时，有f（x）∈[0，1]，即可b的最大值．
解：∵f（x）=ax3+3bx，∴f′（x）=3ax2+3b令f′（x）=0，可得x=±-ba，①-ba≥1，则f（x）max=f（1）=1，∴b∈（0，12]；②0＜-ba＜1，f（x）max=f（-ba）=1，f（1）≥0，∴b∈（12，32]．∴b的最大值是32．故选：C．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于中档题．
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