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已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+1=4an-3an-1(n∈N*且n≥2)．（Ⅰ）证明数列{an+1-an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}的前n项和为Sn，且对一切n∈N*，都有b1a1+b22a2+…+bnnan=2n+1成立，求Sn．
题型：解答题难度：中档来源：黄山模拟
（I）证明：由an+1=4an-3an-1可得an+1-an=3（an-an-1）所以数列{an+1-an}是以2为首项，3为公比的等比数列&…（3分）故有an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=2(1-3n-1)1-3+1=3n-1…（6分）（II）由&b1a1+b22a2+…+bnnan=2n+1可知当n=1时，b1a1=3，b1=3，S1=3当n≥2时，bnnan=2n+1-(2n-1)=2，bn=2n×3n-1…（8分）Sn=b1+b2+…+bn=3+2×2×3+2×3×32+…2×n×3n-1=2（1×30+2×31+3×32+…n×3n-1）+1设x=1×30+2×31+3×32+…+n×3n-13x=1×31+2×32+…+（n-1）×3n-1+n×3n∴2x=n×3n-（3n-1+3n-2+…30）=n×3n-3n-12Sn=(n-12)×3n+32…（11分）综上Sn=(n-12)×3n+32，n∈N*…（12分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+1=4an-3an-1(n∈N*且n≥2)．（Ⅰ）证明..”主要考查你对&&等比数列的定义及性质，等比数列的前n项和&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等比数列的定义及性质等比数列的前n项和
等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。 等比数列的前n项和公式：
； 等比数列中设元技巧：
已知a1，q，n，an ，Sn中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。 注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。
等比数列前n项和公式的变形：q≠1时，（a≠0，b≠0，a+b=0）；
等比数列前n项和常见结论：一个等比数列有3n项，若前n项之和为S1，中间n项之和为S2，最后n项之和为S3，当q≠-1时，S1，S2，S3为等比数列。
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＞＞＞定义：若数列{An}满足An+1=An2，则称数列{An}为“平方递推数列”，已..
定义：若数列{An}满足An+1=An2，则称数列{An}为“平方递推数列”，已知数列{an}中，a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=2x2+2x的图像上，其中n为正整数，（1）证明数列{2an+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（2an+1）}为等比数列；（2）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn=（2a1+1）（2a2+1）…（2an+1），求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式；（3）记，求数列{bn}的前n项和Sn，并求使Sn＞2008的n的最小值。
题型：解答题难度：偏难来源：天津月考题
解：（1），&；（2），，。（3），。
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据魔方格专家权威分析，试题“定义：若数列{An}满足An+1=An2，则称数列{An}为“平方递推数列”，已..”主要考查你对&&等比数列的前n项和，对数与对数运算，等比数列的定义及性质，等差数列的前n项和&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等比数列的前n项和对数与对数运算等比数列的定义及性质等差数列的前n项和
等比数列的前n项和公式：
； 等比数列中设元技巧：
已知a1，q，n，an ，Sn中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。 注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。
等比数列前n项和公式的变形：q≠1时，（a≠0，b≠0，a+b=0）；
等比数列前n项和常见结论：一个等比数列有3n项，若前n项之和为S1，中间n项之和为S2，最后n项之和为S3，当q≠-1时，S1，S2，S3为等比数列。 对数的定义：如果ax=N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记做，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。 通常以10为底的对数叫做常用对数，记做； 以无理数e＝2.71828…为底的对数叫做自然对数，记做。 由定义知负数和0没有对数。
常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，。
自然对数：以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e≈-2. 718 28，。 对数的运算性质：
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么 （1）； （2）； （3）； （4）。
对数的恒等式：
（1）；（2）； （3）；（4）； （5）。
对数的换底公式及其推论：
&对数式的化简与求值：
(1)化同底是对数式变形的首选方向，其中经常用到换底公式及其推论．(2)结合对数定义，适时进行对数式与指数式的互化．(3)利用对数运算法则，在积、商、幂的对数与对数的和、差、倍之间进行转化，等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。 等差数列的前n项和的公式：
（1），（2），（3），（4）当d≠0时，Sn是关于n的二次函数且常数项为0，｛an｝为等差数列，反之不能。 等差数列的前n项和的有关性质：
（1），…成等差数列； （2）｛an｝有2k项时，＝kd； （3）｛an｝有2k+1项时，S奇=（k+1）ak+1=（k+1）a平， S偶=kak+1=ka平，S奇：S偶=（k+1）：k，S奇－S偶＝ak+1=a平； 解决等差数列问题常用技巧：
1、等差数列中，已知5个元素：a1，an，n，d， S中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…，偶数个成等差，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…2、等差数列｛an｝中，（1）若ap=q，aq=p，则列方程组可得：d=-1，a1=p+q-1，ap+q=0，S=-（p+q）； (2)当Sp＝Sq时（p≠q），数形结合分析可得Sn中最大，Sp+q＝0，此时公差d＜0。&&
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（2013o重庆）设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N+．（1）求{an}的通项公式及前n项和Sn；（2）已知{bn}是等差数列，Tn为前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20．
题型：解答题难度：偏易来源：不详
（1）Sn=&&&&&&（2）1010（1）由题意可得数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，故可得an=1×3n﹣1=3n﹣1，由求和公式可得Sn==；（2）由题意可知b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=1+3+9=13，设数列{bn}的公差为d，可得b3﹣b1=10=2d，解得d=5故T20=20×3+=1010
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据魔方格专家权威分析，试题“（2013o重庆）设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N+．（1）求{an}的通..”主要考查你对&&等差数列的定义及性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等差数列的定义及性质
等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。 等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap； （5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。（6）（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）&仍为等差数列，公差为
&对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．&②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d&0时，数列为递增数列；当d&0时，数列为递减数列；④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
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与“（2013o重庆）设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N+．（1）求{an}的通..”考查相似的试题有：
459468764168792004765197886503810368已知数列﹛an﹜满足：a1=2，且an﹢1=2-1/an,n属于N*.设bn＝1／an－1,求证：﹛bn﹜是等差数列_百度知道
已知数列﹛an﹜满足：a1=2，且an﹢1=2-1/an,n属于N*.设bn＝1／an－1,求证：﹛bn﹜是等差数列
证：a(n+1)=2 -1/ana(n+1)-1=2 -1/an -1=1- 1/an=(an -1)/an1/[a(n+1)-1]=an/(an -1)=(an -1+1)/(an -1)=1+1/(an -1)1/[a(n+1)-1]-1/(an -1)=1，为定值。1/(a1-1)=1/(2-1)=1数列{1/(an -1)}是以1为首项，1为公差的等差数列。bn=1/(an -1)数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列。
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解：b(n+1)=1/[a(n+1)-1]=1/[2-1/an-1]=an/(an-1)=1/(an-1)+1=bn+1即b(n+1)-bn=1故{bn}是等差数列
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已知数列{an}满足a1=2，an+1=2（1+1n）2oan．（1）求证数列{ann2}是等比数列，并求其通项公式；（2）设b&n=ann，求数列{bn}的前n项和Sn；（3）设Cn=nan，求证：c1+c2+c3+…+cn＜710．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）∵an+1=2（1+1n）2oan，∴an+1(n+1)2=2oann2∵a1=2，∴{ann2}是以2为首项，2为公比的等比数列∴ann2=2n∴an=n2o2n；&&（2）&bn=ann=no2n∴Sn=1o21+2o22+…+no2n∴2Sn=1o22+2o23+…+（n-1）o2n+no2n+1两式相减可得-Sn=2n+1-2-no2n+1∴Sn=2+（n-1）o2n+1；（3）证明：cn=nan=1no2n＞0，设Tn=c1+c2+c3+…+cn，则T1＜T2＜T3＜T4，当n≥4时，Tn=11o2+12o22+…+1no2n＜12+18+14(124+…+12n)=23+14o123-14o(12)n＜23+14o123＜23+130=710综上：c1+c2+c3+…+cn＜710
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据魔方格专家权威分析，试题“已知数列{an}满足a1=2，an+1=2（1+1n）2oan．（1）求证数列{ann2}是等..”主要考查你对&&等比数列的定义及性质，数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等比数列的定义及性质数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。 数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； 2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：& 数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
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与“已知数列{an}满足a1=2，an+1=2（1+1n）2oan．（1）求证数列{ann2}是等..”考查相似的试题有：
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