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如图，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF.
（1）求证：BF＝2AE；
（2）若CD＝，求AD的长.
分析：（1）由等腰三角形的“三线合一”的性质知AE＝AC.要证BF＝2AE，只需证BF＝AC,只需证△ADC≌△BDF.（2）因为AD＝AF+DF，所以可利用DF＝CD求DF.由AF＝FC在等腰直角三角形CDF中先求CF.
（1）证明：∵ AD⊥BC，∠BAD＝45°，
∴ ∠ABD=∠BAD=45°.∴ AD=BD.
∵ AD⊥BC,BE⊥AC,
∴ ∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD＝90°.
∴ ∠CAD=∠CBE.
又∵ ∠CDA=∠FDB=90°，
∴ △ADC≌△BDF.∴ AC=BF.
∵ AB=BC,BE⊥AC,
∴ AE=EC，即AC＝2AE.∴ BF＝2AE.
（2）解：∵ △ADC≌△BDF，∴ DF=CD=.
∴ 在Rt△CDF中，CF＝＝2.
∵ BE⊥AC,AE=EC,∴ AF=FC=2.
∴ AD=AF+DF=2+.
点拨：证明线段相等的常用方法有以下几种：（1）等腰三角形中的等角对等边；（2）全等三角形的对应边相等；（3）线段的垂直平分线的性质；（4）角的平分线的性质；&&&&&&& （5）勾股定理；（6）借助第三条线段进行等量代换.
如果没有找到你要的试题答案和解析，请尝试下下面的试题搜索功能。百万题库任你搜索。搜索成功率80%由比例式,想到作平行线,用到了平行线的性质定理;只要证明即可,用到了等腰三角形的判定定理;由,写出比例式,用到了平行线分线段成比例定理(推论);把转化成,是用的转化思想;利用三角形内角平分线性质定理,列出比例式,代入数据计算出结果.
证明过程中用到的定理有:平行线的性质定理:两直线平行,同位角相等,内错角相等;等腰三角形的判定定理:在同一个三角形中,等角对等边;平行线分线段成比例定理(推论):平行于三角形一边的直线截其它两边,所得的对应线段成比例.(写定理的名称或内容均可)(分)转化思想.(分)是角平分线,(分)又,,,,(分)
此题是一道材料题,根据材料推得的结果进行解题,主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用.
3991@@3@@@@平行线分线段成比例@@@@@@266@@Math@@Junior@@$266@@2@@@@图形的相似@@@@@@53@@Math@@Junior@@$53@@1@@@@图形的变化@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3864@@3@@@@平行线的性质@@@@@@257@@Math@@Junior@@$257@@2@@@@相交线与平行线@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3884@@3@@@@等腰三角形的判定@@@@@@258@@Math@@Junior@@$258@@2@@@@三角形@@@@@@52@@Math@@Junior@@$52@@1@@@@图形的性质@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
@@53@@7##@@52@@7##@@52@@7
第三大题，第8小题
第一大题，第3小题
第三大题，第4小题
第一大题，第14小题
求解答 学习搜索引擎 | 请阅读下面材料,并回答所提出的问题.三角形内角平分线性质定理:三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.已知:如图,\Delta ABC中,AD是角平分线.求证:\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}分析:要证\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC},一般只要证BD,DC与AB,AC或BD,AB与DC,AC所在三角形相似.现在B,D,C在一直线上,\Delta ABD与\Delta ADC不相似,需要考虑用别的方法换比.在比例式\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}中,AC恰是BD,DC,AB的第四比例项,所以考虑过C作CE//AD,交BA的延长线于E,从而得到BD,DC,AB的第四比例项AE,这样,证明\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}就可以转化成证AE=AC.证明:过C作CE//DA,交BA的延长线于E.CD//DA\Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc}角1=角E\\角2=角3\\角1=角2\end{array}\right.\}\Rightarrow 角E=角3\Rightarrow AE=AC,CE//DA\Rightarrow .\left\{\begin{array}{ccc}\frac{BD}{DC}=\frac{BA}{AE}\\AE=AC\end{array}\right.\}\Rightarrow \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}(1)上述证明过程中,用到了哪些定理?(写对两个定理即可)(2)在上述分析,证明过程中,主要用到了下列三种数学思想的哪一种?选出一个填在后面的括号内.[]\textcircled{1}数形结合思想;\textcircled{2}转化思想;\textcircled{3}分类讨论思想.(3)用三角形内角平分线性质定理解答问题:已知:如图,\Delta ABC中,AD是角平分线,AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm.求BD的长.Hi~亲，欢迎来到题谷网,新用户注册7天内每天完成登录送积分一个，7天后赠积分33个，购买课程服务可抵相同金额现金哦~
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如图所示，在△ABC中，AF⊥BC，AB＝AC＝5，BC＝6，矩形PQED的边PQ在线段BC上，D、E分别在线段AB、AC上，设BP＝x．（1）求矩形PQED的面积y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x取什么值时，矩形PQED的面积最大？求出这个最大值；（3）连接PE，当PE∥AB时，矩形PQED的面积是多少？
主讲：赵秀辉
【思路分析】
（1）易证得△DBP≌△ECQ，则BP=CQ=x，那么PQ=6-2x，根据等腰三角形三线合一的性质，可求得BF、CF的长，进而由勾股定理求得AF的长；易知△CQE∽△CFA，通过相似三角形的成比例线段即可求得EQ的表达式，根据矩形的面积即可得到y、x的函数关系式；(2)通过配方求最大值;(3)当PE∥AB时，可判定四边形BPDE是平行四边形,则BP=DE,得到x=2,进而得到矩形PQED的面积.
【解析过程】
解：（1）Rt△AFC中，∵AB=AC，AF⊥BC，∴CF=BC=3，AC=5；由勾股定理，得AF==4；∵AB=AC，∴∠B=∠C；∵四边形DPQE是矩形，∴∠DPB=∠EQC=90°，DP=EQ；∴△DBP≌△ECQ；∴BP=CQ=x；易知EQ∥AF，则△CQE∽△CFA；∴CQ:CF=EQ:AF，即EQ=CQ•AF÷CF=x；∴y=（6-2x）×x=-x2+8x；（0＜x＜3）;(2) y=-x2+8x=-(x-)2+6, ∴当x=时, 矩形PQED的面积最大为6;(3) ∵DE∥BC, 当PE∥AB时，四边形BPDE是平行四边形, ∴BP=DE, ∴x=6-2x,x=2,当x=2时, y=-×22+8×2=.
(1) y=-x2+8x；（0＜x＜3）;(2) 当x=时, 矩形PQED的面积最大为6;(3) 当PE∥AB时，矩形PQED的面积是.
此题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质,平行四边形的判定等知识的综合应用能力，具有较强的综合性．
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如图，在三角形ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=CE，连接DE交BC于F，求证DF=EF。
如图，在三角形ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=CE，连接DE交BC于F，求证DF=EF。
提问者：yhtxcx
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∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC
作DG//AC交BC于G
则∠DGB=∠ACB=∠ABC
∴DG=DB=CE
又∠DFG=∠EFC，∠DGF=∠ECF
∴△DGF≌△ECF
回答者：teacher023
∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC
作DG//AC交BC于G
则∠DGB=∠ACB=∠ABC
∴DG=DB=CE
又∠DFG=∠EFC，∠DGF=∠ECF
∴△DGF≌△ECF
回答者：teacher012如图，等腰直角三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D、E是AB上的两个
练习题及答案
如图，等腰直角三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D、E是AB上的两个点，且AD=6，BE=8，∠DCE=45°，则DE的长为（　　）A．14B．9C．10D．11
所属题型：单选题
试题难度系数：中档
答案（找答案上）
作∠1=∠2，在CE上截取CF=CD，连接BF，EF．则△ADC≌△BCF，∴BF=AD=6，∠CBF=∠A=45°，∴∠EBF=∠ABC+∠CBF=90°，∴在直角△BEF中，EF=BE2+BF2=62+82=10，∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，∴∠2+∠BCE=45°，又∵∠1=∠2，∴∠ECF=45°，∴∠DCE=∠ECF，又∵DC=CF，CE=CE∴△DCE≌△FCE，∴DE=EF=10．
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初中二年级数学试题“如图，等腰直角三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D、E是AB上的两个”旨在考查同学们对
直角三角形的性质及判定、
勾股定理的逆定理、
图形旋转、
……等知识点的掌握情况，关于数学的核心考点解析如下：
此练习题为精华试题，现在没时间做？，以后再看。
根据试题考点，只列出了部分最相关的知识点，更多知识点请访问。
考点名称：
直角三角形定义：
直角三角形满足毕氏定理（勾股定理），即两直角边边长的平方和等于斜边长的平方。直角三角形各边和角之间的关系也是三角学的基础。
直角三角形的外心是斜边中点；其垂心是直角顶点。
若直角三角形的三边均为整数，称为毕氏三角形，其边长称为勾股数。
直角三角形的面积：
和其他三角形相同，直角三角形的面积等于任一边（底边）乘以对应高的一半。在直角三角形中．若以一股（直角边）为底边，另一股即为对应的高，因此面积为二股直角边乘积的一半，面积T的公式为
其中a和b是直角三角形的二股。
若内切圆和斜边AB相切于P点，令半周长(a + b + c) / 2为s，则PA = s & a且PB = s & b，面积可表示为
此公式只适用在直角三角形
直角三角形的三边关系：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余。
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
性质5:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：
（1）（AD)×2=BD·DC，
（2）（AB)×2=BD·BC ， & 射影定理图
（3）（AC)×2=CD·BC 。 & 等积式
（4）ABXAC=ADXBC (可用面积来证明）
(5)直角三角形的外接圆的半径R=1/2BC,
(6)直角三角形的内切圆的半径r=1/2(AB+AC-BC)(公式一)；r=AB*AC/(AB+BC+CA)(公式二)
直角三角形的判定方法：
判定1：定义，有一个角为90&的三角形是直角三角形。
判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。
判定3：若一个三角形30&内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90&）的三角形是直角三角形。
判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么
判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
判定7：一个三角形30&角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。）
考点名称：
勾股定理的逆定理:
1.逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
　说明：（1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过&数转化为形&来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；
（2）定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b.
2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤：
（1）确定最大边；
（2）算出最大边的平方与另两边的平方和；
（3）比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。
勾股定理定义：
勾股定理又称商高定理、毕达哥拉斯定理，简称&毕氏定理&，是平面几何中一个基本而重要的定理。勾股定理说明，平面上的直角三角形的两条直角边的长度（古称勾长、股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方。反之，若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方，则它是直角三角形（直角所对的边是第三边）。
在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：
勾股定理是余弦定理中的一个特例[2]。勾股定理现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股定理的其它形式：
如果c是斜边的长度而a和b是另外两条边的长度，勾股定理可以写成：
如果a和b知道，c可以这样写：
如果斜边的长度c和其中一条边（a或b）知道, 那另一边的长度可以这样计算：
考点名称：
圆形的旋转定义：
在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。
图形旋转性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
旋转对称中心
把一个图形绕着一个点旋转一定的角度后，与原来的图形相吻合，这种图形叫做 旋转对称图形，这个定点叫做 旋转对称中心，旋转的角度叫做 旋转角。（旋转角大于0&小于360&）
圆的面积公式：
把圆平均分成若干份，可以拼成一个近似的长方形。长方形的宽就等于圆的半径（r），长方形的长就是圆周长（C）的一半。长方形的面积是s=ab，那圆的面积就是：圆的半径（r）的平方乘以&，S=&r²。
圆的周长公式：
学过&等于圆周长（c）：圆的直径（D），圆的半径（R）那圆的周长（c）除以圆的直径（R）等于&，那利用乘法的意义，就等于 &乘以圆的直径（R）等于圆的周长（C），C=&d。而同园的直径（R）是圆的半径（r）的两倍，所以就圆的周长（c）等于2乘以&乘以圆的半径（r），C=2&r。
圆的表面积：
圆的切线的性质：
圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
推论2、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
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