直三棱柱abcC-A1B1C1的底面是边长...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-09-25 10:28 标签： 三棱柱abc
已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（　　）A．B．C．D．【考点】．【专题】计算题；数形结合；转化法；空间角．【分析】法一：由题意可知三棱锥A1-ABC为正四面体，设棱长为2，求出AB1及三棱锥的高，由线面角的定义可求出答案；法二：先求出点A1到底面的距离A1D的长度，即知点B1到底面的距离B1E的长度，再求出AE的长度，在直角三角形AEB1中求AB1与底面ABC所成角的正切，再由同角三角函数的关系求出其正弦．【解答】解：（法一）因为三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D，所以三棱锥A1-ABC为正四面体，设棱长为2，则△AA1B1是顶角为120°等腰三角形，所以AB1=2×2×sin60°=2，A1D=2-(23×3)2=，所以AB1与底面ABC所成角的正弦值为1DAB1==；（法二）由题意不妨令棱长为2，点B1到底面的距离是B1E，如图，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D，故DA=，由勾股定理得A1D==故B1E=，如图作A1S⊥AB于中点S，易得A1S=，所以AB1=2+(&3)2=2，所以AB1与底面ABC所成角的正弦值sin∠B1AE==．故选B．【点评】本题考查了几何体的结构特征及线面角的定义，还有点面距与线面距的转化，考查了转化思想和空间想象能力．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：gongjy老师　难度：0.49真题：13组卷：195
解析质量好中差
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＞＞＞三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，..
三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________.　
题型：填空题难度：偏易来源：不详
试题分析：设，棱长为1，则，因为，&&&&所以，所以，所以，所以异面直线所成角的余弦值为。点评：本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用，空间向量基本定理，向量数量积运算的性质及夹角公式的应用，有一定的运算量.
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据魔方格专家权威分析，试题“三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，..”主要考查你对&&点到直线、平面的距离&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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点到直线、平面的距离
点到直线的距离：
由点向直线引垂线，这一点到垂足之间的距离。
点到平面的距离：
由点向平面引垂线，这点到垂足之间的距离，就叫做点到平面的距离。 求点面距离常用的方法：
(1)直接利用定义①找到（或作出）表示距离的线段；②抓住线段（所求距离）所在三角形解之．(2)利用两平面互相垂直的性质如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离．(3)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由求出．这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离，难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算．(4)转化法：将点到平面的距离转化为直线与平面的距离来求．(5)向量法：
发现相似题
与“三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，..”考查相似的试题有：
809278840944867512572099839353841537知识点梳理
【与平面垂直的判定】如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直．记作l⊥α．直线l叫做平面α的，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．直线与平面垂直的判定定理&一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．用符号表示：a，b?α，a∩b=P，l⊥a，l⊥b=>l⊥α．
【与平面平行的判定】定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．&用符号表示：a?α，b?α，且a||b=>a||α．
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知底面ABC是边长为a的正...”，相似的试题还有：
如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1　　中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成600的角，AA1=2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点．E是线段BC1上一点，且BE=\frac{1}{3}BC1．(1)求证：GE∥侧面AA1B1B；(2)求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小．
如图，斜三棱柱A1B1C1-ABC中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，底面ABC是边长为2的等边三角形，侧面AA1C1C是菱形，∠A1AC=60°，E、F分别是A1C1、AB的中点．求证：(1)EC⊥平面ABC；(2)求三棱锥A1-EFC的体积．
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱长为3，且侧棱AA1⊥面ABC，点D是BC的中点．(1)求证：AD⊥C1D；(2)求证：A1B∥平面ADC1．举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()题库系统分析，
试题“如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且...”，相似的试题还有：
如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是\sqrt{3}，D是AC的中点．(1)求证：B1C∥平面A1BD；(2)求二面角A1-BD-A的大小；(3)求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值．
如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点．(1)求证：B1C∥平面A1BD；(2)求二面角A1-BD-A的大小；(3)求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值．
(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点．(Ⅰ)求证：B1C∥平面A1BD；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(Ⅱ)求二面角A1－BD－A的大小；(Ⅲ)求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值．已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AC1与底面ABC所成角的余弦值等于（　　）A．B．C．D．【考点】．【专题】空间位置关系与距离．【分析】先求出点A1到底面的距离A1O的长度，即知点C1到底面的距离的长度，再求出AC1的长度，在直角三角形中求AC1与底面ABC所成角的正弦，再由同角三角函数的关系求出其余弦值即可．【解答】解：设三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都等于a，如图，则AO==，又cos∠A1AC=1×cos30°=，∴∠A1AC=60°，∠AA1C=120°，在菱形ACC1A1中，AC1=a，又点C1到底面ABC的距离等于点A1到底面ABC的距离A1O=2-(a3)2=，∴AC1与底面ABC所成角的正弦值为=，∴AC1与底面ABC所成角的余弦值为．故选B．【点评】本题考查了几何体的结构特征及线面角的定义，还有点面距与线面距的转化，考查了转化思想和空间想象能力．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：minqi5老师　难度：0.66真题：2组卷：8
解析质量好中差
&&&&，V2.18197

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