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函数的奇偶性、周期性及对称性的关系探究》课例分析
上传: 吴美红 &&&&更新时间： 20:26:35
【标题】《函数的奇偶性、周期性及对称性的关系探究》课例分析
【署名】 上海市松江一中& 数学& 王瑾
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一、教材分析
函数是高中数学的核心内容,贯穿着整个高中数学学习过程。函数的奇偶性、周期性及对称性是函数的基本性质,不仅体现函数图象的对称美、周期变化美，而且还广泛应用于数学问题之中。利用函数奇偶性、周期性及对称性解题往往使问题更简捷。高三学生在此之前已经对函数的奇偶性、周期性和对称性(简称&三性&)有了基本的了解，但对于这&三性&之间的内在联系，认识还比较肤浅，缺乏全面、深入的探究，更谈不上灵活的运用。为了适应学生的认知需求，更是为了培养学生的探究能力和创新意识，故设计了这节函数复习课。
二、设计思路
这节课从一道高考题出发，引导学生经历创设问题情景、认真反思、猜想、积极探索、论证、大胆类比、发散等环节，让学生亲自尝试从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的研究过程，再组织学生合作交流，扩大研究成果，并及时纠正学生的研究偏差，让学生从感性体验过渡到理性证明。
三、学情分析
&&& 本节课的授课对象是我校高三物理A层班的学生，他们有扎实的数学基础，良好的数学学习习惯，更难得的是对数学问题的探究精神和创新精神。在完成了第一轮复习后，他们对函数性质的掌握程度提高，对函数性质的内在联系有进一步探究的需求，故本节课对于他们而言难度适中，有利于培养物理班学生的数学思维、数学能力。
四、教学目标
知识与技能：
在学生理解函数的奇偶性、周期性及图象的对称性的基础上，进一步探究它
们间的内在联系，提高融会贯通的能力，从而实现知识结构的系统化、网络化。
过程与方法：
通过体验研究问题的过程，转变学生的学习方式．培养学生探究问题的能力
和创新意识。
情感、态度与价值观：
通过体验研究问题的过程，让学生体验自己猜想、探究、发现知识规律的快
乐，激发学生学习数学的兴趣。
五、教学重点
函数&三性&的内在联系的探究，培养探究能力与创新意识。
运用类比的思想方法自主探究函数&三性&的内在联系。
六、教学策略与手段
探究式教学，按函数&三性&中两性的给出探究规律性的结论。
七、教学过程
(一)创设问题情景
例：设函数 在R上满足 且在闭区间 上，只有 .试判断函数 的奇偶性；
本题是考查函数的奇偶性、周期性和对称性的相互关系，解题关键是利用函数 具有周期性。那么，如何启发学生呢？
（二）认真反思、猜想
师：让我们先以比较熟悉的三角函数为例。高一教材《正弦函数、余弦函数的图象和性质》一节，有这样一句话：&正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，所以，正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于 y轴对称。&
那么正弦曲线有无对称轴？还有其它对称点吗？余弦曲线有无对称点？还有其它对称轴吗？
【利用多媒体显示两函数的图象，如图⑴、⑵，学生积极思考，得到结论】
图& ⑴&&&&&&&& &&&&&&&&&& 　图⑵
生：正弦曲线有无数条对称轴，方程为 ，有无数个对称中心 ；余弦曲线有无数条对称轴，方程为 ，有无数个对称中心 &。
师：好！正弦曲线的周期为 ，选取两条相邻的对称轴，发现它的周期与对称轴之间有什么隐含关系？
学生们纷纷回答：两倍关系.
师：具体地说？
生：相邻对称轴的间距是 ，周期是 ，后者是前者的两倍.
师：很好！那么是否任何具有两条对称轴的函数，都具有周期性呢？若是，周期又是多少呢？
【在教师的引导下，由类比的思想方法，逐步进入探索阶段，探究函数三性的内在关系】
（三）积极探索、论证
设 是定义在R上的函数，
探究1：若（1）图象关于直线 对称；（2）图象关于直线 对称； ，
能否推出 是否为周期函数？若是，请写出它的一个周期。
生：因为两条对称轴的间距是 ，类比于正弦函数的图象，猜测 是以 为周期的周期函数.
师：你的类比是有根据的，那么是否正确呢？
【此命题的证明学生是有基础的，课堂上只见学们奋笔疾书，不一会就有学生举手示意回答】
生：因 图象关于直线 对称，则对任意 ， ，
又 图象关于直线 对称，则对任意 ， ，
于是 ，即 是以 为周期的周期函数
师：很好！刚才我们由命题（1）、（2）能确定函数是以 为周期的周期函数，将它作为命题（3），那么能否由任意两个命题作为条件得到第三个命题的正确性？
【学生类比刚才证明过程，积极论证，在确认都是正确之后，共同归纳得出以下结论】
结论1:设 是定义在R上的函数，(1)图象关于直线 对称；(2)图象关于直线 对称；(3) 的周期函数，
则已知任意两个命题成立可以推出第三个命题是真命题.
师：有了以上结论，能否解决这节课的例题？
得 图象关于直线 和直线 对称，
则 是 的一个周期.
又在闭区间 上， ，所以
所以 故 是非奇非偶函数.
师：非常好！我们应用探究得到的结论轻松解决了上课时提出的问题。让我们继续开动脑筋，挖掘更多有价值的有关函数&三性&的结论！
探究2：若将探究1中的条件特殊化，又能得到什么结论？
生：不妨假设b=0，则此时函数是偶函数，且图象关于直线 对称，可以得到函数具有周期性，其中一个周期是 。于是由结论1直接推导得结论2.
结论2:设 是定义在R上的函数，(1) 是偶函数；(2)图象关于直线 对称；(3) 的周期函数，&&&
则已知任意两个命题成立可以推出第三个命题是真命题.
（四）大胆类比、发散
师：事实上，由结论1到结论2是一般到特殊的收敛式的思维方法，我们能否进一步将思维发散些，将结论2的条件或结论大胆联想、类比，探究出新的结论呢？
【学生探究的积极性被激发，他们积极尝试，课堂气氛活跃】
生：如果把条件&图象关于直线 对称&改为&图象关于点 对称&，则函数 可能也是周期函数.
师：你是怎么想到的？
生：这里 是偶函数，又有对称点，很容易使人联想到上课时复习到的余弦函数图像和性质，它具备了余弦函数的这些性质，那么也应该像余弦函数那样具有周期性.
师：这真是个大胆的类比，非常好！他说得对吗？周期也是 吗？
生：周期应该是 ，因为余弦函数的一个对称点是 ，而它是以 为周期，周期与对称点横坐标是4倍的数量关系，所以我猜测 的周期是 .
师：有道理！但猜测能作为结论吗？
【不等老师质疑，学生们良好的数学习惯早已促使他们小心求证，课堂内一阵沙沙的写字声和小声的讨论声】
生：由题意， 是偶函数，且有对称点 ，则对任意 ，
&& 故 是以 为周期的周期函数
师：证明得非常严密！
生（迫不及待）：那么我们是否可以类比得到本节课的第三个结论？
设 是定义在R上的函数，(1) 是偶函数；(2)图象关于点 对称；
&(3) 的周期函数，&&&
则已知任意两个命题成立可以推出第三个命题是真命题.
师：问得好！刚才同学的类比为我们进一步打开了探究的思路，我们已经由(1)(2)证得(3)成立，那么由(1)(3)能否推出(2)，(2)(3)能否推出(1)呢？
【众生类比刚才证明过程继续论证，但是一再碰壁,思维受阻,课堂气氛渐渐凝固】
师：如果证明命题的正确性有困难，是否我们的思维方向有偏差？让我们换一个角度思考，或许简单得多？
【众生恍然大悟，原来命题可能是假的，可是举反例又谈何容易,课堂再次陷入僵局&&在一片窃窃私语中，终于有一位学生示意发言】
生：要说明由(1)(3)无法推出(2),只需要举反例。考察函数 ,它的图像既关于点 对称,又以 为周期,但它却是奇函数.
【全班同学齐声鼓掌,掌声中充满对这位同学的钦佩之情】
师：非常精彩！那么谁能举出(2)(3)无法推出(1)的反例？
生：函数 ，它是偶函数，且以 为周期，但它却不关于点 对称.
师：很好！看来，在探究数学问题过程中，类比真是个好方法，它可以让我们拓展思路，发现许多新命题，但是却未必都是真命题，必须通过严格的论证才行！下面，让我们的思维再发散些，请继续运用类比的思想方法，在函数的奇偶性、周期性及对称性的内在联系上作更新的探究，进一步拓展已有的结论.
【学生探究的积极性再次被激发，思维被激活，他们跃跃欲试，积极发言，课堂气氛热烈】
猜测1：设 是定义在R上的函数， (1) 是奇函数；(2)图象关于直线 对称；(3) 的周期函数 ，则(1)(2)可推出(3),其余均不成立.
猜测2：设 是定义在R上的函数，(1)是奇函数；(2)图象关于点 对称；
(3) 的周期函数，则已知任意两个命题成立可以推出第三个命题是真命题.
生：还可以对结论1中的对称轴、对称点类比，猜测如下：
猜测3：设 是定义在R上的函数，(1) 图象关于点 对称；(2) 图象关于点 对称；(3) 的周期函数，则已知任意两个命题成立可以推出第三个命题是真命题.
猜测4：设 是定义在R上的函数，(1) 图象关于直线 对称；(2) 图象关于点 对称；(3) 的周期函数，则(1)(2)可推出(3),其余均不成立.
师：同学们提出这么多有意义的新命题,很好!老师还有一个问题，这些命题中所提出的周期值多有不同，有什么依据或者规律可循吗？
生：如同结论1、2的周期数的提出，我们根据相应的正弦、余弦函数模型可类
比猜测得出.
师：有道理！那么你们的猜测究竟是真是假，还有待各自去论证．关于函数&三性&的类比、发散肯定还很多，请同学们带着兴趣在课余继续探索发现.
（五）归纳小结
师：这节课从一道高考题出发，共同探究函数奇偶性、周期性及对称性这&三性&之间的内在联系，我们共同得到了一些非常重要的结论，这些结论对研究函数的其他性质带来了方便。但除了这些结论，我们还有什么收获？
生：我们学会了运用类比的思想去大胆地探究与发现，还需要小心求证才能确定猜想的真假.
生：我们还体验到了自己猜想、发现知识规律的快乐，哪怕这种猜测是错误的，也是值得的.
师：是的，这些发现、探究的过程才是最令我们愉悦的，也是学习数学最宝贵的.
八、学习训练设计及依据
1、在&函数的奇偶性、周期性及对称性&的内在联系上作更新的探究，对自己
的猜测判断真假，并进一步拓展已有的结论.
2、收集有关函数&三性&问题，并研究解决.
九、课例设计说明
教学反思：
在教学中教师的教学观念和数学素养直接影响到教学的效果。一堂有价值的数学课，来自教师的精心设计，更来自同学们的热情参与。本节课先由教师恰当的引入激发学生探究的兴趣，引导学生提出问题，研究问题，解决问题，使学生亲自尝试从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的研究过程，再组织学生合作交流，扩大研究成果，并及时纠正学生的研究偏差，让学生从感性体验过渡到理性证明。整节课学生的学习积极性不断被激发，课堂气氛随着思维发展不断变化着，最后越来越活跃。最值得欣慰的是，学生对数学难题的探索精神有所高涨。之所以取得这样良好的教学效果，我认为与这节课所采用的&探究性学习&教学方式密不可分，下面就本节课，谈谈自己在&探究性学习&方面的些许体会。
1、&探究性学习&应坚持&以学生为主体，教师为主导&的教学理念。
没有主体性，就没有创造性。学习是通过学生的主动行为而发生的，学生的学习取决于他们自己做了些什么，而不是仅仅是教师做了些什么。落实学生的主体地位必须做到：问题让学生去发现，过程让学生去探索，方法让学生去寻找，充分发挥学生自主学习的积极性、主动性。
我认为本节课很好的体现了这一点。教师由一道高考题引出有关函数&三性&的问题，借助熟悉的三角函数作为模型，不断鼓励学生用他们自己的思维方式自由地、开放地探究函数&三性&的内在联系。整节课学生们自主发现了许多新的命题，这些命题有真有假，需要进一步辨别和论证&&在不断地&问题----探究----新问题----再探究&过程中，学生们真正成为了知识的主动探索者；而教师的主导作用表现在引导学生参与探究知识的全过程，揭示数学思维的全过程：对于学生们的每一次积极尝试，我总是用激励性的语言给他们以鼓励和赞赏，哪怕是错误的&成果&，如一位学生也由类比的思想从结论2得到&结论3&时，我不但肯定他 &问得好!&，还请全班同学一起研究完善。这样做对于培养学生敢疑、敢问、敢想、敢说的良好学习品质，提高他们的思维品质有较大的促进作用。
2、&类比&是&探究性学习&的重要思想方法。
类比思想作为高中数学常用的思想方法,渗透在整个数学教学之中。它包括两方面的含义：（1）联想，即由新信息引起的对已有知识的回忆；（2）类比，在新、旧信息间找相似和相异的地方，即异中求同或同中求异。
本节课的教学实践表明，类比思想对于学生的&探究之旅&起了极其重要的推动作用。当学生探究的思维受阻时，类比起到了有效的思维迁移作用。如：利用学生熟悉的三角函数模型，类比探究一般函数&三性&间的规律；利用函数奇偶性的对偶，函数图象轴对称与中心对称的对偶，进一步类比拓展已有的函数&三性&间的结论。这些都对本节课的深入展开起了推波助澜的作用，有利于学生探究能力的培养。通过类比思维，学生在类比中联想，从而升华思维，既有模仿又有创新，让每个学生都体验和享受成功的愉悦，让每个学生都成为探索者、创造者。
总之，培养学生的探究、创新的意识和初步的创新能力并非一朝一夕之功，我相信只要坚持把学生真正放在主体地位，不断优化教学结构、教学方法、教学手段等来最大限度地调动学生学习的积极性、培养学生的主体性、主动性和创造性，定能让他们学会学习、学会竞争、学会合作、学会创造。
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为什么答案上写＂函数是以周期为3的函数，且F（-1）=1。
这 F（x）=-F（-3／2 -x）是怎么得来的啊：已知定义域为R的函数F（x）的图像关于点（-3／4 ，所以F（x）=-F（-3／2 -x）＂、，0）中心对称，对任意实数都有F（x）=-F（x+2／3），又以（-3／4 、（这些不重要）问、，F（0）=-2，0）中心对称原题
就是说函数图象向右平移3&#47，因此可以得到，经过换元就可以得到f(x)=-f(-3/4个单位长度后得到的函数是f(x-3/4，很明显有f(x)=-f(-x)而奇函数的图像关于(0;4),0)中心对称,0)中心对称，这个被平移后的函数又关于(0;4)=-f(-x-3&#47。而此函数图像向右平移3&#47：f(x-3/4),0)中心对称;4个单位长度后就关于(0,0)成中心对称如今该函数关于(-3&#47对于奇函数
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所以有F（x）=-F（-3／2 -x），a=-3&#47，如果F（x）的图像关于点(a，那么就有F(x)=-F(2a-x);4,b)中心对称.由题意知这题是考你关于点中心对称的解法
因为以（-3／4 ，0）中心对称，所以F（x）=-F（-3／2 -x）
我用手写的，拍照了，你的两个问题美回答了，给分吧&&&&
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摘　要：函数是中职教育教学的重要学科,也是中职数学学科中较为难的部分,不仅函数逻辑性强,而且内容枯燥,理解难度大,更是让很多中职学生对函数学习产生乏味心理,特别是函数奇偶性、周期性与图象的对称性是函数的基本性质,更是把握好函数学习的基础。为此,本文对函数的奇偶性、周期性与图象的对称性的关系应用进行系列分析,加强对中职数学教学的学术研究,促进中职数学课程能够更好的传授给学生。
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