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已知函数f（x）=a(x-1)x2，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若直线x-y-1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；（3）设g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在区间[l，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）f′(x)=a(2-x)x3，(x≠0)，因为a＞0，所以由f'（x）＞0，得0＜x＜2，此时函数单调递增．由f'（x）＜0，得x＞2或x＜0，此时函数单调递减．所以函数f（x）的单调增区间为（-∞，0）和（2，+∞），单调递减区间为（0，2）．（2）设切点坐标为（x0，y0，则y0=a(x0-1)x0x0-y0-1=0a(2-x0)x03=1，解得x0=1，a=1．（3）g（x）=xlnx-x2f（x）=xlnx-a（x-1），则g'（x）=lnx+1-a，由g'（x）=lnx+1-a=0，解得x=ea-1．所以在区间（0，ea-1）上，函数单调递减，在（ea-1．，+∞）上，函数单调递增．①当ea-1．≤1，即0＜a≤1时，在区间[l，e]上g（x）单调递增，所以g（x）的最小值为g（1）=0．②当ea-1．≥e，即a≥2时，在区间[l，e]上g（x）单调递减，所以g（x）的最小值为g（e）=e+a-ae．③当1＜ea-1．＜e，即1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（ea-1．）=（a-1）ea-1．-a（ea-1．-1）=a-ea-1．．综上当0＜a≤1时，g（x）的最小值为g（1）=0．当1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（ea-1．），当≥2时，g（x）的最小值为g（e）=e+a-ae．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=a(x-1)x2，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若..”主要考查你对&&函数的极值与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的极值与导数的关系函数的最值与导数的关系
极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
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与“已知函数f（x）=a(x-1)x2，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若..”考查相似的试题有：
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答：a&=1，f(x)=xlnx-ax+1求导：f'(x)=lnx+1-a解f'(x)=lnx+1-a=0得：lnx=a-1&0所以：f'(x)=lnx+1-a存在零点w&1满足lnw=a-1&0，w=e^(a-1)当0&x&e^(a-1)时，f'(x)&0，f(x)是减函数当x&e^(a-1)时，f'(x)&0，f(x)是增函数所以：单调减区间为（0，e^(a-1))单调增区间为（e^(a-1)，+∞）
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发表于： 00:41:41
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若函数f(x)=ax^3+bx^2+cx在x=正负1处取得极值，且在x=0处的切线斜率为-3，求若过点A（2，m)可做曲线y=f(x)若过点A（2，m)可做曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围 最佳答案f(x)=ax^3+bx^2+cxf‘(x) = 3ax^2+2bx+c在x=正负1处取得极值：f'(1)=0，f'(-1)=03a+2b+c=03a-2b+c=0解得b=0，c=-3af(x) = ax^3 - 3axf‘(x) = 3ax^2 - 3a在x=0处的切线斜率为-3f'(0) = -3-3a=-3a=1f(x) = x^3 - 3xf‘(x) = 3x^2 - 3 = 3(x+1)(x-1)x＜-1时，f(x)单调增；-1＜x＜1时，单调减；x＞1时单调增又：f''(x)=6xf''(0)=0，x=0为拐点x＜0时，f''(x)＜0，上凸；x＞0时，f''(x)＞0，下凹x=2在f(x(的下凹段所以点A（2，m）b必须在点f(2)下方时才能做f(x)的三条切线即m＜f(2)=2^3-3*2=2∴m∈（-∞，2）
荐斜率:函数|斜率:正负|斜率:直线|斜率:公式|斜率:方程其他答案解：（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2bx+c依题意{f′(1)=3a+2b+c=0f′(-1)=3a-2b+c=0⇒{b=03a+c=0又f'（0）=-3∴c=-3∴a=1∴f（x）=x3-3x（Ⅱ）设切点为（x0，x03-3x0），∵f'（x）=3x2-3∴f'（x0）=3x02-3∴切线方程为y-（x03-3x0）=（3x02-3）（x-x0）又切线过点A（2，m）∴m-（x03-3x0）=（3x02-3）（2-x0）∴m=-2x03+6x02-6令g（x）=-2x3+6x2-6则g'（x）=-6x2+12x=-6x（x-2）由g'（x）=0得x=0或x=2g（x）极小值=g（0）=-6，g（x）极大值=g（2）=2画出草图知，当-6＜m＜2时，m=-2x3+6x2-6有三解，所以m的取值范围是（-6，2）．
已知函数f（x）=xlnx． （Ⅰ）求函数f（x）的极值点； （Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程；（Ⅲ）设函数g（x）=f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数） 最佳答案(1)求导，f'=1+lnx=0,x=1/e.f(1/e)=-1/e(2)设为y=kx+b,把(0,-1)代入，b=-1,求导，y'=k=1+lnx,y=kx-1=xlnx。求得x=1，k=1y=x-1(3)求导，g'=1+lnx-a=0，x=exp(a-1)，可分类讨论求结果
荐极值点:下标|极值点:区间|极值点:定义|极值点:求实|函数:常用公式其他答案评论一个玩劲舞的少女,前几天晚自习回家,被一辆卡车给撞死了,司机丧尽天良,把她的尸体拖进猪球场旁的小巷内奸污,随即逃跑.你看到这条消息后,请将它转发到3个百度贴吧,如果没发,你妈妈会在1个月后被汽车撞死,你爸爸会在1年后得绝症凄惨而亡,以后你的孩子一出生就是怪胎! 如果照上面的做了,全家平安,5天后,你喜欢的人会来找你!千万别怪我,不知道是哪个王八蛋发的!!!热心网友 可分类讨论求结果
17已知函数F（X）=X的4次方-3X的平方+6 （1）讨论FX的单调性 （2） 设点P在曲线Y=F（X）上若该曲线在点P处的切线L通过坐标原点 求L的方程18 设函数F（X）=X的三次方+AX的平方+BX+C和G（X）=4X的平方-7X+2满足以下列两个条件 求ABC的值 FX在X的-1处有极限值填空题 1已知过曲线Y=X的三次方-3X的平方+X+1的点P的切线与直线Y=10X+3平行 点P的坐标2函数Y=三分之一X的三次方+二分之一X的平方+X-4与X轴的交点个数是谢谢大家阿 帮忙阿 寒假作业 做不来了 谢谢谢谢 最佳答案1 ) y'=4x³-6x切点(a,b)则b=a^4-3a²+6k=4a³-6a所以切线y-(a^4-3a²+6)=(4a³-6a)(x-a)过原点-a^4+3a²-6=-4a^4+6a²3a^4-3a²-6=0a²0所以a²=2a=±√2代入y-(a^4-3a²+6)=(4a³-6a)(x-a)所以2√2x-y=0和2√2+y=0 2) 18 设函数F（X）=X的三次方+AX的平方+BX+C和G（X）=4X的平方-7X+2满足以下列两个条件 求ABC的值 FX在X的-1处有极限值解: 1、f(x)在x=-1处有极值，说明f'(-1)=0f'(x)=3x^2+2ax+bf'(-1)=3-2a+b=0即2a-b=32、说明f'(2)=g'(2)f'(2)=12+4a+bg'(x)=8x-7g'(2)=16-7=9即4a+b=-3两式联立解得a=0,b=-3从而f(x)=x^3-3x+c可知f(x)过点(2,4)f(2)=8-6+c=4c=23)已知过曲线Y=X的三次方-3X的平方+X+1的点P的切线与直线Y=10X+3平行 点P的坐标: y'=3x^2-6x+1 p(x0,y0)y0=103x0^2-6x0+1 =10x0^2-2x0-3=0x0=-1 或 x0=3所以 p为（-1,-4）或 （3，4）4）2函数Y=三分之一X的三次方+二分之一X的平方+X-4与X轴的交点个数是1个 这个根在1和2 之间
其他答案1 ) y'=4x³-6x切点(a,b)则b=a^4-3a²+6k=4a³-6a所以切线y-(a^4-3a²+6)=(4a³-6a)(x-a)过原点-a^4+3a²-6=-4a^4+6a²3a^4-3a²-6=0a²0所以a²=2a=±√2代入y-(a^4-3a²+6)=(4a³-6a)(x-a)所以2√2x-y=0所以2√2+y=0
已知函数f(x)=lnx,偶函数g(x)=ax²+bx+c（a≠0）在y轴上的截距为﹣½已知函数f(x)=lnx,偶函数g(x)=ax²+bx+c（a≠0）在y轴上的截距为﹣½，函数y=g(x)的图像与直线y=x-1仅有一个共同点。（1）求g(x)的表达式；（2）令h(x)=f(x)-g(x),求h（x）的单调区间和极值。问题补充：……求回答第二问……第一问已经明白了……请详细点……让我可以清楚明白……QAQ 最佳答案因为 g(x)=ax²+bx+c 是偶函数，所以可知道b=0，且 在Y轴上的截距为﹣½ ，所以c=﹣½ ，所以g(x)=ax²﹣½ ，又因为y=g(x)与直线y=x -1仅有一个公共点，所以ax²﹣½ =x -1 ，化简，即ax² - x +½=0，Δ=b²-4ac=1-2a=0，所以a=½ ，所以g(x)=½x²-½ ，f(x)=lnx，所以h(x)=lnx - ½x²+½ ，所以h（x）的导数是h＇（x）= 1∕x — x，导数为零时有极值，令h＇（x）=0，解得X=±1，由f(x)=lnx，可知X的取值范围为（0，+∝）所以X=1，此时h＇（x）=0 ，h(x)=lnx - ½x²+½ 有极值，且如图可知h（x）=的单调增区间是（0,1】，此时有极大值，单调减区间是【1，+∝），极值为 0 。注：求出极值点后，一般要【列表讨论】极大值和极小值，你自己看课本如何【列表讨论】，画图就浪费时间了，特别是考试的时候。
其他答案1 因为是偶函数所以b=0因为在y轴上的截距为﹣½，所以c=-1/2因为函数y=g(x)的图像与直线y=x-1仅有一个共同点所以ax²-1/2=x-1ax²-x+1/2=0Δ=0a=1/2所以g(x)=﹙1/2﹚x²-1/2 h(x)=Inx-(1/2)x²+1/2呃，。。。我不会了== h（x）的导数h＇（x）=1∕x
已知函数f（x）=x^3+ax^2+bx+c在x=2处取得极值，并且它的图像与直线y=-3x+3在点（1,0）处相切 求abc的值。 推荐答案函数f（x）=x^3+ax^2+bx+c在x=2处取得极值说明f（x）的导数f（x）'在x=2时 为0 f（x）' =3x²+2ax+b 12+4a+b=0 ①它的图像与直线y=-3x+3在点（1,0）处相切说明在（1 ，0）点的斜率为-3 3+2a+b =-3 ②联立得a=-3 b=0函数过（1 ，0）代入 f（0）=c =0所以a=-3 b=0 c=0
其他答案先求导，f'(x)=3x^2+2ax+b由题意得，f'(-2)=0,所以12-4a+b=0因为其与直线y=-3x+3相切,切点是（1，0），因此可知其过点（1,0）,且当x=1时，导函数的值为-3所以1+a+b+c=0,3+2a+b=-3联立这三个方程，可解得a=1,b=-8,c=6很高兴为您解答，祝你学习进步！有不明白的可以追问！如果您认可我的回答。请点击下面的【选为满意回答】按钮，谢谢！ 求导，f'(x)=3x^2+2ax+b因在x=2处取得极值，故f'(2)=12+4a+b=0由f(x)与y=-3x+3在点（1,0）处相切，故f'(1)=3+2a+b=-3，且f(1)=1+a+b+c=0根据以上三式，解得a=-3，b=0，c=2
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