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求解一道线性代数的题，试证:对于n阶方阵A,若R(A)=n,则R(A²)=n 求详细解答过程，谢谢O(∩_∩)O zmxncbv404 求解一道线性代数的题，试证:对于n阶方阵A,若R(A)=n,则R(A²)=n
有很多的方法 我说一种觉得简单的因为A的秩为n 故｜A｜不等于0 又｜A*A｜=｜A｜*｜A｜不等于0缉担光杆叱访癸诗含涧 所以R(A平方）=n求采纳~设A为n阶方阵,且|A|=2,A*为A的伴随矩阵,则|A*|=?
guibqr0084
设B为A的伴随矩阵,E为单位阵,AB=|A|E,|A||B|=|A|^n,|B|=|A|^(n-1)
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扫描下载二维码&>&&>&《线性代数》12-13期中试卷答案
《线性代数》12-13期中试卷答案 5198字 投稿：邹嫦嫧
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12至13学年第学期云南财经大学《线性代数》
课程期中考试试卷答案
一、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）5x123
1．行列式D=的展开式中含x3的系数是
2．若行列式x31的代数余子式A12=-1，则代数余子式A21=
4x53．如果n阶行列式D中等于零的元素个数大于n2-n，那么D=?a1
4．设矩阵A=??a2
?B,b2c2?=??a2?ab3c3???3
d1?d2??，且A=4，B=1，则A+B=d3??
?310??1-10?
?，??，则r(AB)=5．设矩阵A=?-121B=2-25????
?342??341?????
6．设A为n阶非奇异矩阵，E为n阶单位矩阵，α为n×1矩阵，b是常数，记分块矩阵
P=?T*，Q=??αT
αAA-||???α?
，则PQ=b??
A(-αAα+b)??
?2x1-x2+x3=0
7．齐次线性方程组?x1+kx2-x3=0有非零解，则k应满足k=-1或k=4；
?kx+x+x=0?1238．如A是n阶方阵，满足A2-3A+E=O，则(A+2E)-1=-
(A-5E)；11
9．若向量β=(1,2,t)T可由向量组α1=(2,1,1)T，α2=(-1,2,7)T，α3=(1,-1,-4)T线性表出，则t=
10．设n元非齐次线性方程组Ax=b有解，其中A为(n-1)×n矩阵，则|(A,b)|=
二、单选题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）
）11．下列选项中不属于五阶行列式|aij|（i,j=1,2,3,4,5）中的一项的是
-a51a12a43a34a25；
①a11a23a32a45a54；③-a13a52a34a21a45；
a55a44a33a22a11．
中元素aij的余子式与04
）12．设Mij，Aij分别是四阶行列式D=|aij|=
代数余子式（i,j=1,2,3,4），则D=①A31+A32+A33+A34；③A13+A33+5A43；（
②-A31+2A32+5A33+4A34；
④(-1)5M14+(-1)6M24+(-1)7M34+(-1)8M44．
13．）设Aj表示四阶行列式|aij|(i,j=1,2,3,4)的第j列(j=1,2,3,4)，已知|aij|=-2，
那么|A3-2A1,3A2,A1,-A4|=①3；（
）14．设A是任一n阶矩阵，则下列交换错误的是
②AmAp=ApAm（m,p为正整数）；④(A+E)(A-E)=(A-E)(A+E)．
?a13a12a13?
a23?，B=?a23a22
?a33a32a33???
①A*A=AA*；③ATA=AAT；
）15．设A=?a21a22
?a31a32?a11+a12??100?
??，a21+a22?，P1=?110??
??a31+a32??001??
?110??001?
?，??，则B=P2=?010P=0103????
?001??100?????①AP1P2；（
）16．设A，B为n阶方阵，则下列结论中正确的是
①若AB=O，则A=O或B=O；②若A≠O且B≠O，则AB≠O；③若AB=O，则A=0或B=0；④若AB≠O，则A≠0且B≠0．（的是
①）17．设A为n阶可矩逆阵，A*是A的伴随矩阵，k为实数，则下列结论中不正确
①(kA)*=knA*；③(A*)T=(AT)*；（
④(A*)-1=(A-1)*．
）18．设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩为r，则Ax=0有非零解
的充分必要条件是①r=n；（
）19．若存在一组数k1=k2=?=km=0，使得k1α1+k2α2+?+kmαm=0成立，则向
量组α1，α2，…，αm
①线性相关；
③可能线性相关也可能线性无关；
②线性无关；④部分线性相关．
?，B是秩为2的三阶矩阵，且r(AB)=1，则k=
）20．已知A=?2k1??
三、计算题（要写解答过程．本大题共2个小题，每小题6分，共12分）21．若a1a2?an≠0，计算n
a1a+?+1a2an00?0
0?00a3?00???0?0an
?aa=?1+a1+1+?+1
??1?aa?a=aaa?a1+?23?∑n123n?
?，求(A*)-1．22．设A-1=?121??
解：AA*=A*A=AE??
A=A*?E(A*)-1=A又A?A=????A?A?A?
?111?100??111?100??→?010?-110?E)=?121?010????
?113?001??002?-101?????
??110?320-12?
-110?????001?-12012????
-110?001?-12012?
?100?52-1-12?
?=(E,(A-1)-1)→?010?-110??
?001?-12012???
=(A-1)-1=?-110??
?-12012???
于是有|A|=
?52-1-12??5-2-1?
(A*)-1=A=-110=-220???A12??-120??12??-101???
四、计算题（要写解答过程．本大题共2个小题，每小题8分，共16分）1
23．设D=|aij|=
，若Aij是元素aij的代数余子式，Mij是元素aij的余子
式．求：（1）A14+A24+A34+A44；（2）M11+M12+M13+M14．
解：（1）A14+A24+A34+A44=
（2）M11+M12+M13+M14=(-1)1+1A11+(-1)1+2A12+(-1)1+3A13+(-1)1+4A14
=A11-A12+A13-A14=
24．设α=(1,2,3,4)，β=(1,1,1,1)均为1×4矩阵，试求：（1）A=αTβ；（2）B=βαT；（3）An（n为正整数）．解：
（1）A=αβ=?
?(1,1,1,1)=?22??33????44
（2）B=βαT=(1,1,1,1)?
?=(1×1+1×2+1×3+1×4)=(10)
（3）由矩阵的幂及矩阵乘法的结合律，并利用（1）、（2）的结果，得
An=(αTβ)=(αTβ)(αTβ)?(αTβ)=αT(βαT)(βαT)?(βαT)β?
=αT(βαT)n-1β=αT(10)n-1β=10n-1αTβ=10n-1?
1??2?.3??4?
五、计算题（要写解答过程．本大题共2个小题，每小题10分，共20分）?301?
?，并计算矩阵B．25．设矩阵方程AB=A+2B，且矩阵A=?110??
?014???解：由题设，知
AB-2B=A(A-2E)B=A
?301??100??101?
?-2?010?=?1-10?A-2E=?110??????
?014??001??012???????因
于是，矩阵(
=1-10=0-1-1=0-1-1=-
A-2E)B=A有唯一解
A-2E,A)作一系列行初等变换，将其左半部分化为单位矩阵E，这
A-2E)-1A，即
故，矩阵方程(
B=(A-2E)-1A
对分块矩阵(时右半部分就是X=(
?101?301??101?301?
???(A-2E,A)=?1-10?110→0-1-1?-21-1????
?012?014??012?014??????101?301?
??→?0-1-1?-21-1??001?-223???
?100?5-2-2?
??0-10?-432???001?-223???
?100?5-2-2?
?=(E,(→?010?4-3-2??
?001?-223???求出矩阵方程(
A-2E)X=A的解为
=(A-2E)-1A=?4-3-2?
26．讨论a,b为何值时，线性方程组
?x1+x2+x3+x4=0
?x+2x+2x=1?234?
?-x2+(a-3)x3-2x4=b??3x1+2x2+x3+ax4=-1
无解，有唯一解，有无穷多解?有解时求其所有解．
解：（1）由增广矩阵得
0?11??11??1?0122?
?0-1a-3-2b??
??-1??0-1-2a-3?1?0?
2?1?0?b+1?
因此，当a=1，且b≠-1时，r(A)=2≠r()=3该方程组无解；
12-2a12a-10
当a≠1时，r(A)=r(A)=3该方程组有唯一解；
0??1?b??-1?
当a=1，且b=-1时，r(A)=r()=2<3该方程组有无穷多组解。
（2）“回代”求解：对其有解的情形，利用高斯（Gauss）消元法，对其增广矩阵施行初等行变换化为行简化梯矩阵，再导出同解方程组。讨论如下①当a≠1时，有
11?0?1?11?11
????????→??→?00a-10?00a-1?b+1????000a-1?00???00
10?0??11?1110?
?????????→??→?00a-10?
b+1??0010?
???0001?0???0001?
-(b+1)(a-1)??1100?
??(b+1)(a-1)???→?
(b+1)(a-1)???0001?0???1000?(b+1)(a-1)-1???(b+1)(a-1)???→?
?0010?(b+1)(a-1)???0001?
即，该方程组的唯一解为
?x1=(b+1)(a-1)-1?x=1-2(b+1)(a-1)?2?
?x3=(b+1)(a-1)??x4=0②当a=1，且b=-1时
????010??1?b+1?
(b+1)(a-1)?
?0??0?1?0??→?
a-100a-1-1-1?22?00?00?
????-1??1?0??0?
0??1??1??0
0??1?0??0?
?x=-1+x3+x4
导出同解方程组?1
?x2=1-2x3-2x4
令x3=c1,x4=c2（c1,c2为任意数），求出原方程组的无穷多组解为
?x1=-1+x3+x4
?x=1-2x-2x?234
（c1,c2为任意数）。?
x=c?31??x4=c2
六、证明题（本大题共3个小题，每小题4分，共12分）27．设A是n阶可逆矩阵，且AT=-A，求证：
?(E-A)(E+A)-1???(E-A)(E+A)-1?=E．
????证明：
[(E-A)(E+A)-1][(E-A)(E+A)-1]T=[(E-A)(E+A)-1][(E+A)-1]T(E-A)T=(E-A)(E+A)-1[(E+A)T]-1(ET-AT)=(E-A)(E+A)-1(ET+AT)-1(ET-AT)=(E-A)(E+A)-1(E-A)-1(E+A)=(E-A)[(E-A)(E+A)]-1(E+A)=(E-A)[(E+A)(E-A)]-1(E+A)=(E-A)(E-A)-1(E+A)-1(E+A)=[(E-A)(E-A)-1][(E+A)-1(E+A)]=EE=E
28．设A为n阶矩阵(n≥2)，若r(A)=n－1，证明：r(A*)=1．
证明：因为r(A)=n－1，所以A中至少有一个n－1阶子式不为零，即A*中至少有一个元素不为零，故r(A*)≥1．
又因r(A)=n－1，A不是满秩矩阵，于是|A|=0．
由AA*=|A|E知，AA*=O，有r(A)+r(A*)?n，把r(A)=n－1代入，得r(A*)≤1．综上所得r(A*)=1．
12至13学年第学期云南财经大学《线性代数》课程期中考试试卷答案一、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）5x123xx121．行列式D=的展开式中含x3的系数是12x3x122x1022．若行列式x31的代数余子式A12=-1，则代数余…
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免费下载文档：A*A=|A|E是A*A*=|A|E笔误吧？
另外A*A*=|A|E总是成立，不管|A|是否为0
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此答案摘自别处，并非我写的：
这个式子我也研究很久了,感觉好像没有简单的通项公式.不过有一类与上面类似的递推式有简洁的通项公式.
如a[n+1]=a[n]...
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