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设x=m和x=n是函数f(x)=lnx+12x2-(a+2)x的两个极值点，其中m＜n，a∈R．（Ⅰ）&求f（m）+f（n）的取值范围；（Ⅱ）&若a≥e+1e-2，求f（n）-f（m）的最大值．注：e是自然对数的底数．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=1x+x-(a+2)=x2-(a+2)x+1x．依题意，方程x2-（a+2）x+1=0有两个不等的正根m，n（其中m＜n）．故(a+2)2-4＞0a+2＞0，∴a＞0，并且m+n=a+2，mn=1．所以，f(m)+f(n)=lnmn+12(m2+n2)-(a+2)(m+n)=12[(m+n)2-2mn]-(a+2)(m+n)=-12(a+2)2-1＜-3故f（m）+f（n）的取值范围是（-∞，-3）．&&&…（7分）（Ⅱ）当a≥e+1e-2时，(a+2)2≥e+1e+2．若设t=nm&&(t＞1)，则(a+2)2=(m+n)2=(m+n)2mn=t+1t+2≥e+1e+2．于是有t+1t≥e+1e，∴(t-e)(1-1te)≥0，∴t≥e∴f(n)-f(m)=lnnm+12(n2-m2)-(a+2)(n-m)=lnnm+12(n2-m2)-(n+m)(n-m)=lnnm-12(n2-m2)=lnnm-12(n2-m2mn)=lnnm-12(nm-mn)=lnt-12(t-1t)构造函数g(t)=lnt-12(t-1t)（其中t≥e），则g′(t)=1t-12(1+1t2)=-(t-1)22t2＜0．所以g（t）在[e，+∞）上单调递减，g(t)≤g(e)=1-e2+12e．故f（n）-f（m）的最大值是1-e2+12e．&&&&&&&&…（15分）
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据魔方格专家权威分析，试题“设x=m和x=n是函数f(x)=lnx+12x2-(a+2)x的两个极值点，其中m＜n，a..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的单调性与导数的关系函数的最值与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
发现相似题
与“设x=m和x=n是函数f(x)=lnx+12x2-(a+2)x的两个极值点，其中m＜n，a..”考查相似的试题有：
772055526569621836300645874451429471求(x 1)=x2x 1\n’；’\t’；’\a’各起什么作用_百度知道
求(x 1)=x2x 1\n’；’\t’；’\a’各起什么作用
=3*3*3*(-5)=-135a&0,f(x)=loga(x^2-ax)在(-1/2
提问者采纳
Aax b|&gtx=1 rcosA;c(c&gt,r&0;0,y=-1 rsinA;0)对比(x^2)^2 2*5*x^2 5^2-[(5x)^2-2*1*5x 1^2]=0对比x=1 rcosA,r&gt,y=-1 rsinA
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出门在外也不愁已知整数X1,X2,X3,...X2008满足①-1≤Xn≤2,n=1,2,...2008；②X1+X2+...X；③X1+X2+...X.求X1+X2+...X2008的最大值与最小值.
函数最值问题．专题：计算题．分析：根据设x1,x2,…,x2008中有q个0,r个-1,s个1,t个2,可得出等式即可求出x13+x23+…+x20083取最大值2408．设x1,x2,…,x2008中有q个0,r个-1,s个1,t个2．（2分）则-r+s+2t=200 r+s+4t=2008 ①（5分）两式相加得s+3t=1104．故0≤t≤368．（10分）由x13+x23+…+x20083=-r+s+8t=6t+200,（12分）得200≤x13+x23+…+x28+200=2408．（15分）由方程组①知：当t=0,s=1104,r=904时,x13+x23+…+x20083取最小值200； （17分）当t=368,s=0,r=536时,x13+x23+…+x20083取最大值2408．（20分）点评：此题考查了函数的最值问题．解题的关键是通过已知分析求解得到x1=x2=x3=…=x2008=1．
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扫描下载二维码【答案】分析：（1）在Y中取=（x，2），根据数量积的坐标公式，可得Y中与垂直的元素必有形式（-1，b），所以x=2b，结合x＞2，可得x的值．（2）取=（x1，x1），=（s，t）根据，化简可得s+t=0，所以s、t异号．而-1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为-1，另一个数是1，从而证出1∈X，最后通过反证法，可以证明出当xn＞1时，x1=1．（3）[解法一]先猜想结论：xi=qi-1，i=1，2，3，…，n．记Ak═{-1，x1，x2，…，xk}，k=2，3，…，n，通过反证法证明出引理：若Ak+1具有性质P，则Ak也具有性质P．最后用数学归纳法，可证明出xi=qi-1，i=1，2，3，…，n；[解法二]设=（s1，t1），=（s2，t2），则等价于，得到一正一负的特征，再记B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则可得结论：数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称．又注意到-1是集合X中唯一的负数，B∩（-∞，0）={-x2，-x3，-x4，…，-xn}，共有n-1个数，所以B∩（0．+∞）也有n-1个数．最后结合不等式的性质，结合三角形数阵加以说明，可得==…=，最终得到数列的通项公式是xk=x1•（）k-1=qk-1，k=1，2，3，…，n．解答：解：（1）选取=（x，2），则Y中与垂直的元素必有形式（-1，b），所以x=2b，又∵x＞2，∴只有b=2，从而x=4．（2）取=（x1，x1）∈Y，设=（s，t）∈Y，满足，可得（s+t）x1=0，s+t=0，所以s、t异号．因为-1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为-1，另一个数是1，所以1∈X，假设xk=1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜xn．再取=（x1，xn）∈Y，设=（s，t）∈Y，满足，可得sx1+txn=0，所以s、t异号，其中一个为-1①若s=-1，则x1=txn＞t≥x1，矛盾；②若t=-1，则xn=sx1＜s≤xn，矛盾；说明假设不成立，由此可得当xn＞1时，x1=1．（3）[解法一]猜想：xi=qi-1，i=1，2，3，…，n记Ak═{-1，x1，x2，…，xk}，k=2，3，…，n先证明若Ak+1具有性质P，则Ak也具有性质P．任取=（s，t），s、t∈Ak，当s、t中出现-1时，显然有满足当s、t中都不是-1时，满足s≥1且t≥1．因为Ak+1具有性质P，所以有=（s1，t1），s1、t1∈Ak+1，使得，从而s1、t1其中有一个为-1不妨设s1=-1，假设t1∈Ak+1，且t1∉Ak，则t1=xk+1．由（s，t）（-1，xk+1）=0，得s=txk+1≥xk+1，与s∈Ak矛盾．所以t1∈Ak，从而Ak也具有性质P．再用数学归纳法，证明xi=qi-1，i=1，2，3，…，n当n=2时，结论显然成立； 假设当n=k时，Ak═{-1，x1，x2，…，xk}具有性质P，则xi=qi-1，i=1，2，…，k当n=k+1时，若Ak+1═{-1，x1，x2，…，xk+1}具有性质P，则Ak═{-1，x1，x2，…，xk}具有性质P，所以Ak+1═{-1，q，q2，…，qk-1，xk+1}．取=（xk+1，q），并设=（s，t）∈Y，满足，由此可得s=-1或t=-1若t=-1，则xk+1=，不可能所以s=-1，xk+1=qt=qj≤qk且xk+1＞qk-1，因此xk+1=qk综上所述，xi=qi-1，i=1，2，3，…，n[解法二]设=（s1，t1），=（s2，t2），则等价于记B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称注意到-1是集合X中唯一的负数，B∩（-∞，0）={-x2，-x3，-x4，…，-xn}，共有n-1个数．所以B∩（0，+∞）也有n-1个数．由于＜＜＜…＜，已经有n-1个数对以下三角形数阵：＜＜＜…＜，&&&&&&&&&&&&&&&&& ＜＜＜…＜&&&&&&&&&&&&&&&& …&&&&&&&&&&&&&&&&& 注意到＞＞＞…＞，所以==…=从而数列的通项公式是xk=x1•（）k-1=qk-1，k=1，2，3，…，n．点评：本题以向量的数量积的坐标运算为载体，着重考查了数列的通项公式的探索、集合元素的性质和数列与向量的综合等知识点，属于难题．本题是一道综合题，请同学们注意解题过程中的转化化归思想、分类讨论的方法和反证法的运用．
请在这里输入关键词：
科目：高中数学
（;上海）对于数集X={-1，x1，x2，…，xn}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定义向量集Y={a|a=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意a1∈Y，存在a2∈Y，使得a1&•a2=0，则称X具有性质P．例如{-1，1，2}具有性质P．（1）若x＞2，且{-1，1，2，x}具有性质P，求x的值；（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn＞1时，x1=1；（3）若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1，x2，…，xn的通项公式．
科目：高中数学
来源：2012年普通高等学校招生全国统一考试上海卷理科数学
对于数集X＝{－1，x1，x2，…，xn}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定义向量集Y＝＝{|＝(s，t)，s∈X，t∈X}，若对任意∈Y，存在∈Y，使得·＝0，则称X具有性质P．例如{－1，1，2}具有性质P．
(1)若x＞2，且{－1，1，2，x}具有性质P，求x的值；
(2)若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn＞1时，x1＝1；
(3)若X具有性质P，且x1＝1、x2＝q(q为常数)，求有穷数列x1，x2，…，xn的通项公式．
科目：高中数学
来源：高考真题
题型：解答题
对于数集X={-1，x1，x2，…，xn}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定义向量集Y={=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P。例如{-1，1，2}具有性质P。（1）若x＞2，且{-1，1，2，x}具有性质P，求x的值；（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn＞1时，x1=1；（3）若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1，x2，…，xn的通项公式。
科目：高中数学
来源：2012年上海市高考数学试卷（理科）（解析版）
题型：解答题
对于数集X={-1，x1，x2，…，xn}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定义向量集Y={=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．例如{-1，1，2}具有性质P．（1）若x＞2，且{-1，1，2，x}具有性质P，求x的值；（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn＞1时，x1=1；（3）若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1，x2，…，xn的通项公式．
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