一个多电子系统,各量子态的能级已知,那么费米能级由什么决定?
电子是费米子,当然服从费米分布.f(E) = 1/ [exp(E－Ef)/kT + 1].如果知道总的电子数N,通过对f(E)*dE的积分(若能级不连续,即为对f(E)求和 )=N,即可算出费米能级Ef.
过了这么久才有人回答我，这个分给你吧，虽然你回答不到点上，问题的答案应该是由电子总数N及温度决定
当然是由电子总数N及温度决定的了。
上面公式写了嘛，你究竟要问什么？？
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扫描下载二维码量子隐形传态及量子态纠缠度的研究--《河北师范大学》2002年硕士论文
量子隐形传态及量子态纠缠度的研究
【摘要】：
量子信息学是量子力学理论和计算机理论相结合而产生的一门新的交叉学科，在量子隐形传态、量子纠缠态的描述及量子态的分类等领域取得了重要进展，本文围绕这几个方面开展了如下研究工作：
(1)在文章的第二章研究了多能级多粒子量子态的传输。利用N_1个多能级二粒子最大纠缠态，在一组正交基下通过N_1次测量，再经过N_1次幺正变换实现了对多能级多粒子任意量子态的传输，与二能级多粒子量子态传输相比较，它可以传输更多的信息。
(2)以前的量子隐形传态方案传输的二粒子量子态都是特殊的量子态，即只具有二分量的纠缠态，但由于要传输的量子态是未知的，所以真正的量子隐形传态要传输的二粒子量子态应是任意给定的量子态。为了实现这样量子态的传输，在文章的第三章中我们利用传输二能级任意自旋态的条件，证明了用二能级三粒子量子态及三分量量子态都不能实现对二能级二粒子任意自旋态的传输，并找出了能够用来传输这样量子态的四粒子四分量的量子态，最后用这些量子态实现了对二能级二粒子任意自旋态的传输。
(3)对于量子态的分类问题曾有人提出通过随机局域幺正变换把任意三粒子量子态密度矩阵转化为一种特殊的密度矩阵ρ_3的形式，并利用ρ_3这一特殊形式对三粒子量子态进行分类。考虑到局域变换的随机性以及实验仪器的性能，变换的几率可能会出现一些偏差，不再是1／2，本文在第四章对变换的随机性进行了一般化，得出变换后更一般的矩阵形式。
(4)量子纠缠是量子体系的最本质特征。近年来，量子信息蓬勃发展，而
河北师范大学硕士学位论文
纠缠在量子信息的每个领域都起着非常重要的作用，对多粒子量子态
的量子纠缠分析是一个长期困扰人们的难题，本文在第五章中给出了
多能级三粒子系统量子纯态纠缠度的一般描述，它对一般的量子纯态
采用密度矩阵的形式，这有利于使单粒子特性和多粒子特性间的关联
方便的分开，并使此纠缠度的意义更为明显．此外还证明了我们定义
的这种纠缠度除了满足Schlienz文中提到的三个条件以外，还满足部
分可加性原理。
【关键词】：【学位授予单位】：河北师范大学【学位级别】：硕士【学位授予年份】：2002【分类号】：O413.1【目录】：
第一部分 前言8-13
第二部分 多能级多粒子量子态的传输13-19
第三部分 二粒子任意自旋态的传输19-38
第四部分 三粒子量子态随机局域变换的一般化38-45
第五部分 多粒子量子态纠缠度的描述45-53
第六部分 总结与讨论53-54
第七部分 参考文献54-57
第八部分 研究生期间发表论文情况57
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京公网安备75号费米能级的不同理解
为了方便大家一其学习探讨——
关于费米能级的不同理解——总结（详见附件）
在大于0K时候，电子处于费米能级的几率是1/2，但并不是说有一半电子位于费米能级之下，另一半数量的电子位于费米能级之上。而是电子能量低于费米能级
的几率大于1/2，而高于费米能级的几率小于1/2，显然这意味着大多数电子优先排布于费米能级以下的位置，这就是为什么原子核外的电子优先占据内部能级
固体物理和半导体物理在这方面的内容没有什么差别。原子核外的电子可以拥有的能量当然可以高于费米能级，只不过具有这种能量的几率很小而已。这也正是为什么本征半导体虽然电导很低，但也不是无穷小的原因。
回复 ssmwjh2010 的帖子
& 费米能级不是一个真正存在的能级。它只是用于衡量一个系统的能级水平。
" B8 w3 K/ O) g5 C
对于一个系统来说，处处的费米能级相同。对于两个系统合并成为一个系统，则费米能级也会趋于处处相同（会有净电荷的流动）。
& 费米能级描述了各个能级上电子分布的概率。9 `2 T; W" ]" K: a1 z
- o&&j* d" L7 B%
Q&&e- ~# I4 A
& 费米能级随着温度和掺杂浓度而变化。具体来说如下：
& 对于N型半导体费米能级在禁带中央以上；掺杂浓度越大，费米能级离禁带中央越远，越靠近导带底部4
M3 |&&l9 n* o) M
2 z5 W' C% w% ]' d8 c
& 对于P型半导体费米能级在禁带中央以下；掺杂浓度越大，费米能级离禁带中央越远，越靠近价带顶部3
U+ p! J&&m$ l/ l+ `
个人总结。
当系统处于热平衡状态 且不对外做功的情况下 增加一个电子所引起系统自由能的变化 等于系统的化学势
也就是等于系统的费米能级即EF。
费米能级表征电子的填充情况 费米能级以上的量子态被电子占据的概率很小，费米能级以下量子态被电子占据的概率很大。
同时费米能级也表征了半导体掺杂水平 通常N型半导体掺杂越高费米能级越靠近导带 P型半导体掺杂越高费米能级越靠近价带
在固体物理中老师讲费米能级是电子占据概率为0.5的能级位置，可是学习半导体物理时，发现费米能级常常在半导体的禁带中，大家知道禁带中电子是不能占据的，那为何电子占据概率为二分之一的费米能级会出现在禁带里面呢？
费米能级(Fermi
level)是绝对零度下电子的最高能级。根据泡利不相容原理，一个量子态不能容纳两个或两个以上的费米子(电子)，所以在绝对零度下，电子将从低到高依次填充各能级，除最高能级外均被填满，形成电子能态的“费米海”。“费米海”中每个电子的平均能量为（绝对零度下）为费米能级的3/5。海平面即是费米能级。一般来说，费米能级对应态密度为0的地方，但对于绝缘体而言，费米能级就位于价带顶。成为优良电子导体的先决条件是费米能级与一个或更多的能带相交。
你那个说法是单纯从费米分布函数说的，没有考虑实际的物理体系。
什么是Fermi能级？为什么Fermi能级可以处于禁带中间？为什么本征半导体的Fermi能级位于禁带中央？为什么n型半导体的Fermi能级位于导带底附近？Fermi能级随着温度和掺杂浓度的改变而如何变化？
Fermi能级（EF）是一个非常重要的物理概念，它在半导体电子学中起着极其重要的作用。
（1）Fermi能级的概念：
在固体物理学中，Fermi能量(Fermi
energy)是表示在无相互作用的Fermi粒子的体系中加入一个粒子所引起的基态能量的最小可能增量；也就是在绝对零度时，处于基态的Fermi粒子体系的化学势，或者是处于基态的单个Fermi粒子所具有的最大能量——Fermi粒子所占据的最高能级的能量。
另一方面，按照Fermi-Dirac统计，在能量为E的单电子量子态上的平均电子数为：
式中的T为绝对温度，k为玻尔兹曼常数，EF是该Fermi-Dirac分布函数的一个参量（称为化学势）。在绝对零度下，所有能量小于EF的量子态都被电子占据，而所有能量大于EF的量子态都是空着的，则作为化学势的参量EF就是电子所占据的最高量子态的能量，因此这时系统的化学势也就与费米能量一致。从而，往往就形象地把费米能量和化学势统称之为Fermi能级。虽然严格说来，费米能级是指无相互作用的Fermi粒子系统在趋于绝对零度时的化学势，但是在半导体物理电子学领域中，费米能级则经常被当做电子或空穴的化学势来使用，所以也就不再区分费米能级和化学势了。
在非绝对零度时，电子可以占据高于EF的若干能级，则这时Fermi能级将是占据几率等于50%的能级。处于Fermi能级附近的电子（常称为传导电子）对固体的输运性质起着重要的作用。
（2）Fermi能级的含义：
作为Fermi-Dirac分布函数中一个重要参量的Fermi能级EF，具有决定整个系统能量以及载流子分布的重要作用。
①在半导体中，由于Fermi能级（化学势）不是真正的能级，即不一定是允许的单电子能级（即不一定是公有化状态的能量），所以它可以像束缚状态的能级一样，可以处于能带的任何位置，当然也可以处于禁带之中。
对于金属，其中的自由电子在k空间中将填充成一个球体，称为Fermi球；Fermi能量也就是Fermi球面对应的能量，该能量可以采用Fermi球的半径——Fermi半径kF来表示为
式中的 是Dirac常数，m是自由电子的质量。因此，金属中的Fermi能级也就是导带中自由电子填充的最高能级。pF=
kF称为Fermi动量，vF= kF/m称为Fermi速度。一般，金属的Fermi能量约为1.5～15eV。
对于绝缘体和半导体，Fermi能级则处于禁带中间。特别是本征半导体和绝缘体，因为它们的的价带是填满了价电子（占据几率为100%）、导带是完全空着的（占据几率为0%），则它们的Fermi能级正好位于禁带中央（占据几率为50%）。即使温度升高时，本征激发而产生出了电子-空穴对，但由于导带中增加的电子数等于价带中减少的电子数，则禁带中央的能级仍然是占据几率为50%，所以本征半导体的Fermi能级的位置不随温度而变化，始终位于禁带中央。
②Fermi能级实际上起到了衡量能级被电子占据的几率大小的一个标准的作用。在E&EF时，f(E)
&1/2；在E&EF时，f(E)
&1/2；在E=EF时，f(E)=1/2。譬如，当(E&EF)
&5kT时，f(E) &
0.07，即比EF高5kT的能级被电子占据的几率只有0.7%。因此，EF的高低（位置）就反映了能带中的某个能级是否被电子所占据的情况。Fermi能级上电子占据的几率刚好为50%。
在温度不很高时，EF以上的能级基本上是空着的（例如，导带就是如此，其中的自由电子很少），EF以下的能级基本上是被电子填满了的（例如，价带就填满了价电子，其中的自由空穴很少）；在EF以上、并越靠近EF（即E-EF越小）的能级，被电子所占据的几率就越大。对于n型半导体，因为导带中有较多的电子（多数载流子），则Fermi能级EF必将靠近导带底（EC）；同时，掺入施主杂质的浓度越高，Fermi能级就越靠近导带底。
③上述分布函数f(E)是指电子占据能带（导带）中某个能级的几率（电子的能量越往上越高）。如果是讨论空穴载流子的话（空穴的能量越往下越高），那么就应当是相应于价带中某个能级所空出（即没有被电子占据）的几率，所以空穴占据能带（价带）中某个能级的几率可以给出为
对于p型半导体，因为价带中有较多的自由空穴（多数载流子），则Fermi能级EF在价带顶（EV）之上、并必将靠近EV；这时，价带中越是靠近EF的的能级，就被空穴占据的几率越大；同时，掺入受主的杂质浓度越高，Fermi能级就越靠近价带顶。
总之，凡是EF靠近导带底的半导体必将是电子导电为主的n型半导体，凡是EF靠近价带顶的半导体必将是空穴导电为主的p型半导体。当然，如果EF处于禁带中央，即两种载流子分别占据导带能级和价带能级的几率相等，则两种载流子的数量也就差不多相等，那么这就必然是本征半导体，这时的Fermi能级特称为本征Fermi能级（用EFi表示，与禁带中央线Ei一致）。
④由于Fermi-Dirac分布函数是载流子体系处于热平衡状态下的一种统计分布规律。因此，也只有在（热）平衡情况下才可采用此分布函数，并且也只有在这时Fermi能级才有意义。实际上，Fermi能级本来就是热平衡电子系统的一个热力学函数——化学势。由于在热平衡状态下整个系统具有统一的化学势，因此整个电子系统、即使是复杂的混合体系，在热平衡时也必将具有统一的一条Fermi能级。
（3）Fermi能级与温度和掺杂的关系：
①Si和GaAs半导体的Fermi能级与掺杂浓度的关系见图1 。
对于n型半导体，因为掺入的施主越多，导带电子的浓度就越大，相应地少数载流子——空穴的浓度就越小，则Fermi能级也就越靠近导带底。对于p型半导体亦然，掺杂浓度越高，Fermi能级就越靠近价带顶。当掺杂浓度高到一定程度时，甚至Fermi能级还有可能进入到导带或者价带内部。
②Si和GaAs半导体的Fermi能级与温度的关系亦见图2 。
因为当温度升高到一定程度时，不管是n型半导体还是p型半导体，它们都将转变成为（高温）本征半导体。从而，半导体中Fermi能级也将是随着温度的升高而逐渐趋近于禁带中央。即随着温度的升高，n型半导体的EF将降低，p型半导体的EF将上升。
此外，在图1和图2中也示出了半导体的禁带宽度（Eg=EC－EV）随着温度的变化状况。Si和GaAs等半导体的禁带宽度具有负的温度系数。
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以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。量子Hall效应与拓扑绝缘体理论（III） | 日志 | 果壳网 科技有意思
交换统计单从形式上看是多体波函数的形式构造 ，m是奇数是源于电子的交换反对称性，且是填充数倒数。正是Laughlin抓住了FQH系统的元激发的分数统计性质，才使得他的理论大获成功。实际上这种形式也正是决定了其分数统计性质；我们可以反过来看待，若先不考虑具体的Laughlin波函数形式，从二维的分数统计出来看，Laughlin波函数的形式是必然的。我们考察的量子多体系统的交换统计。在全同粒子系统中，交换两个粒子坐标的操作用置换群描写。置换群包含 两个元素,单位算子(即不做变换)和置换算子。将置换算子作用在系统波函数上。由于，可知置换算子的本征值为，其对应的本征函数分别是对称的和反对称的,而相应的粒子分别是玻色子和费米子。 我们知道QHE多体系统中的低能激发产生的准粒子是任意子，带着个虚拟磁通，而任意子交换过程中而磁通会贡献相位的，而交换粒子的这个相位将决定统计性质，那么统计关系就会不一样：电子1的规范势是和电子2相关联的，可以类比为，电子1绕电子2转一圈就像绕着一个虚拟磁通转了一圈，那么1跟2电子的整体波函数就会多出一个与磁通相关的不可积相位，磁通决定着相位因子若取不同的值在统计上会有不一样的效果。整数量子统计：分数量子统计：在一般的量子统计中，我们从不考虑粒子交换的路径会对统计性质有什么影响。因为在三维空间，两个粒子无论以什么方式互相绕一圈，形成任意的闭合曲线，这条闭合曲线总可以连续收缩为一点，它们都是拓扑等价的，或说所有闭合曲线属于同一拓扑等价类。路径的不同不会对置换群的表示有任何影响。但在二维平面（空间），情况则截然不同。 考虑平面上的一条闭合曲线,该平面上它包围区域里有一个奇点。如果在三维空间中，这条曲线可以绕过奇点而收缩为一点,但如果在二维平面里，那么这条曲线在收缩过程中就不可避免地碰到这个点，从而永远无法收缩为一点。这 就造成了二维平面中置换两个粒子坐标时粒子所走过的路径并不属于同一等价类。因此必须对路径进行分类，这样一来置换群的概念也要推广以区分不同等价类的路径。描述这一问题的标准数学语言是同伦群。同伦群的精确定义比较抽象，我们这里用一个简单的例子来说明。考虑二维平面，由于绕一个点N圈的所有闭合曲线都是拓扑等价的，可以把绕点N周的所有闭合曲线组成的等价类作为同伦群的一个元素，很容易验证它们满足群的定义。这个群叫一阶同伦群，也称为基本群。 N个全同粒子系统的二维位形空间非常复杂，这个位形空间的同伦群是个无限群。位形空间分成若干不相连的区域，路径分成不相连的分支，每个分支作为一个元素组成所谓的辫子群。直观地说，两个全同粒子在二维平面中运动，它们划过的世界线相互缠绕，编成一条辫子，编辫子的不同方式就构成辫子群的元素。与此对应，任意子系统的波函数的Hilbert空间不再是置换群的表示，而是辫子群的表示，也就是说，在二维平面里只用置换群对路径分类是不够的，必须用辫子群做进一步的考查。现在以微分几何的角度来更细致地描述分数统计的数学结构。Hilbert空间中的波函数犹如普通向量空间中一个矢量的分量，因为，是基矢。维的位形空间是纤维丛的一个底流形，在的每一点上有一根一维的纤维，它是单分量的Hilbert空间 。局部地看总有，因此有时宽泛地把波函数 说成是纤维丛的截面，因为它是一个复函数，定义在底流形每一点的纤维上。但是实际上,比如说,对于一个切矢量丛，纤维是切平面，而截面是矢量场，它给出一个映照，或。因为见对应关系是 。所以是截面的整体的抽象表示,而则是截面的局域的具体表示。在不依赖于某基矢的局域性质这一点上来说是惟一的和普适的，但依赖于,就不能说是惟一的和普适的。不过通常量子力学系统会对波函数提出诸如单值性的要求，这是因为当某流形的拓扑性质是可缩的(con-tractible)时候，在它上面构造的纤维丛总是平庸的：我们总可以通过平移在整个流形上定义基矢而在每一点得到惟一的结果,即总有。当然，在考虑一般的切丛时候，纤维的截面是矢量场，因此态矢才是截面整体抽象表示不依赖于坐标基矢，波函数只能说是截面的局域依赖于基矢表示。 不过我们要讨论二维()平面有许多全同粒子的情形，存在多值波函数，这时候就不那么简单就认为波函数就和态矢一一对应了。那这时就要通过收缩约化底流形来讨论，就是接下来要讲的内容。考虑在的欧氏空间上有n个全同粒子在运动。物理组态空间并不简单地就是.首先,任何两个粒子的位置重合是不允许的，因此底流形从收缩到，表示中的对角点,即而其中对某个有。其次,即使在经典水平上也必须计入全同粒子的不可区别性，于是底流形进一步由缩到三一,表不任何两个组态若能通过粒子间的一个置换群联系起来时将被认为是等同的。考虑的情形：因为质心继标二是平庸的,只需要研究相对半标。在平面上,原点(对应于)必须作为一个奇点被除去。从原点沿一直线把此平面剪开,然后把它折成一个半角为的圆锥,如果将此具有两叶的圆锥面在剖线处交叉地连接两叶,使得到流形；若将上下两叶等同起来,便得到,它正是在上两个全同粒子的正确的物理组态空间。在上粒子坐标和可通过反钟向的旋转而交换(见下图，相当于在上绕锥顶的一个逆时针方向闭曲线；若位置的交换通过上一顺时针方向的转动而实现,它便相当于上一顺钟向的闭曲线。由于M2上存在奇点，和既不能通过连续变形互变，也不能缩成一点.事实上,， 还有(它可以连续变形收缩为一点)是一阶同伦群的3个基本生成元。上的和,它们又分别对应于图中的和。一般地，的一维幺正表示为：这里是模型的参数，称为缠绕数。借助前面引入的Hilbert丛的概念，首先定义记号：在上的某一个位置某矢记为，它表示第一个粒子在位置而第二个粒子在位置， 。另一方面,在上的一个位置某矢记为，它表示有一个粒子位于而另一个位于 。考虑在Hilbert空间两全同粒子的一个态矢,我们可以在整体上定义一个单值的截面,它取值在流形上的一根纤维上：展开写为：这里定义两类基矢之间的转换函数为: 对应于辫子群中的单位元是定义在基
上定义的多值波函数。进一步的位置交换 ,变为,它已经包含在前面的求和式表达式之中。的多值性可以在图上看出：那里引入虚拟的时间并用来表示两根弦相互缠绕数，从下面但标出发的弦不妨对应于第个粒子的"轨迹",故对应于流形上的坐标。另一方面，坐标 应当理解为在上位置的标记，因此不是对特定的粒子标记而是对位形坐标与，其交换为对称的。在流形 中引入联络，由平移不变条件：引入一个联络 ，其部分决定于系统的动力学，部分决定于规范选择。由此可从出发得到所有 ， 类比构造几何相位的方法，即像典型的A-B相位那样对规范势(联络)绕圈作积分：这样也就给出与辫子群同构的和乐群(给出一阶同伦群到规范群的映射，其本身也是辫子群的幺正一维表示，对于闭合路径，积分应该得到 ，并且在无外场时自然要求流形的曲率张量为零。为了得到这样的联络，使用平凡的Abelian联络——Kohno联络1形式:，鉴于我们只考察多体系统的统计性质，那么联络便只联系于同伦群 ，而不考虑外力场时， 的曲率为零：，换言之，除了流形中的奇点，物理组态空间是局域处处平坦的。然而正是那些奇点的存在，使得我们能上面平凡的联络得出非平凡的和乐群元。为了得到和乐群元，我们需要一个非平凡的Abelian Kohno联络：，有由之前提出的联络平移条件得出：解出：那么对于上一个闭合曲线 ，则有波函数与多值性正好相反保证了截面的单值性：自然得到Laughlin波函数形式这里就是底流形收缩约化掉交换后的新的底流形纤维的单值截面；是决定着统计性质的参数，称为统计角。如果比较Wilzeck的任意子模型的哈密顿量Hamiltonian和Chern-Simons场的作用量，会发现二者速途同归：前者是构造荷电带虚拟磁通的任意子，后者是荷电玻色子与Chern-Simons场耦合的结果。引入了C-S 场后，和荷电粒子耦合就会出现这种虚拟的磁通(规范势)，由此可见非零场强只定域在粒子世界线上，因此粒子间不存在经典的Lorentz力，这也就是为何称为虚拟规范势的原因。在二维平面上有磁通过的环形区域内一个带有分数电荷准拉必然带有非定域信息(因为这些准粒子是有效平均场的低能激发，是整体而非局域的)，从图中可看到 处有一条看不见的"奇异弦"。这样就模拟出Wilzeck的复合粒子（任意子）。Chern-Simons理论中的统计规范场没有独立的动力学自由度,因而并不描写有独立动力学的粒子，它的唯一作用在于给出分数统计所要求的额外相因子。从场方程可以明显地看出这一点：统计规范场的场量完全由物质流确定,因此它的方程确切地说是一个约束条件。引入Chern-Simons项另一个好处是可以清晰地讨论、破缺, 这里代表时间反演,代表宇称变换。从数学上可以证明， 具有分数统计性质的任意子体系会破坏空间、时间反演对称性，也就是存在C-S场耦合的系统其基态在反演下不对称。 因此，考查或的破缺与否是判断C-S理论是否正确的一个重要检验方法。值得注意的是QCD轴子场论的真空也会破坏、对称性。 II.拓扑不变量QHE与陈数我们已经知道Chern-Simons项是个拓扑不变量，其本质是第三陈类。那么回过头来我们发现量子霍尔效应的电导率包含的系数正是个第一陈类积分而得的陈数。在上世纪80年代以前人们对物质状态进行分类的主要依据是体系的对称性。依据传统的相变理论。不同的量子态可以通过Landau自发对称性破缺的原理来理解，对称性由序参量描述对称性破缺意味着序参量不为零的有序相的出现。举例来说，晶体破坏了空间连续平移对称性；铁磁体破坏了空间旋转对称性；超导体破坏规范对称性。而整数量子Hall效应与分数量子Hall效应的发现打破了传统的Landau相变理论。因为量子Hall态的产生并没有破坏任何对称性（不存在局域序参量），无法纳入Landau自发对称性破缺的理论框架中。因此要理解量子Hall态需要引入拓扑序的概念，相应的，量子Hall态就是一种拓扑相。而Hall电导是整数是量子化的 对样品的大小形状载流子密度甚至迁移率均不敏感这说明存在某种内在的不变量。我们知道数学上拓扑学是研究拓扑空间中的几何不变量的学问。在凝聚态物理上，拓扑的概念是针对有能隙系统（绝缘体超导体）而言。每个有能隙的多体系统都由相应的哈密顿量来描述，如果两个系统的哈密顿量可以通过连续形变（譬如调节哈密顿量里的参数）而光滑过渡；即形变过程中，不闭合体能隙。从动力学角度而言也就意味着对任何局部微扰都具有鲁棒性而呈现的拓扑保护性，任何的局部微扰指的是
形式的厄米算符，其中
只作用在有限范围区域（*依据这种定义，拓扑绝缘体并非真正意义上的“拓扑”，因其不具有对任何局部微扰都鲁棒的特性，就例如破坏 和时间反演对称性的情况；因此对于拓扑绝缘体更合适应称为“ 和时间反演对称性保护的绝缘体”，它是对称性保护(SPT)拓扑序系统的一个例子）。那么我们称这两个系统属于同一个拓扑等价类。关闭体能隙伴随着量子相变，体能隙的闭合意味着动量空间中出现奇点，也就是在BZ流形上产生“洞”（亏格不为零）。为了判断两个系统是否属于同一个拓扑等价类须要引入在同胚映射下不变的代数量：拓扑不变量。它可以是一个数（例如欧拉示性数、陈数）。也可以是构建在拓扑空间上的某种代数结构，如同伦群、同调群、上同调群等。具有不同的拓扑有序态的系统必须由不同的拓扑不变量来进行描述。在量子Hall效应中，人们研究时候发现其Hall电导系数正是刻画具有不同的拓扑有序态的系统必须由不同的拓扑不变量来进行描述拓扑序的量，具有拓扑不变性，就像某种“几何”内蕴的“示性数”；只不过这里的"几何"是在哈密顿量的赝自旋靶空间或者动量空间中诱导出来的纤维丛（Bloch丛）上（根据主丛的定义，就是纤维空间与底流形的直积结构；可类比于电磁场，所不同的是其底流形是 ）。我们知道微分几何中有 “Gauss-Bonnet定理” ： 对于一个无边界二维流形 ，定理表明有
是Gauss曲率， 是亏格。 对于环面， 并且积分为零。Gauss-Bonnet定理是讨论的是几何流形的拓扑。而与
有关的是环面流形上的纤维丛的拓扑； 或者说这是关于Bloch波函数怎样整体的表现的。真正起作用的是开头就提到的Chern-Weil理论，可以视为Gauss-Bonet定理的推广。 磁场 ，或者相当的场强 ，是 流形上
丛的几何曲率. Chern-Weil理论描述的是对该曲率的积分定义出陈类：它就是 丛上的拓扑不变量（再次类比电磁理论，开头提到电磁场是纤维丛上的联络，而A-B相则是其中的拓扑不变量）。 就像Gauss-Bonnet定理表述的是对Gauss曲率的积分是流形上的拓扑不变量。 因此这种对比也可以让人们对陈数
有更直观的几何理解：实际上是动量空间，经典的微分几何里面的Gauss-Bonnet定理是描述几何的位形空间，其Gauss曲率对应着曲率。类比于光滑流形，进一步推广到纤维丛的示性类 ，它是定义其底流形的上同调类， ；示性类在整个底流形上的积分成为示性数，它是与不依赖于联络选择的拓扑不变量。陈类则是针对复向量丛定义的，考虑k维复向量丛 ,其结构群
可约化为，纤维为k维复向量空间 ，联络(物理上为规范场)与曲率(场强张量)都取值于李代数上。取李代数的基础表示，则与分别为矩阵的1-形式与2-形式，关系为 曲率矩阵的不变多项式称为总陈类：是偶数维形式，即 ，称为第 j 陈类。因 是底流形上的2j 阶闭形式，因此它定义了上同调群 的群元：，可以证明陈类在整个底流形上的积分(复向量丛第j陈数)为整数：1982 年Thouless等人（TKNN）在一片奠基性文章中利用Kubo公式（线性响应理论）就算了二维周期性晶格系统的Hall电导发现其具有和Berry相一样的数学结构，因而进一步指出 系统自身变化的不敏感性来源于QHE体系的拓扑不变性，他们将该拓扑不变量称为 数，用整数表示。其能带的拓扑性与一般绝缘体截然不同，以第一陈类来对定义在复数域上的任意维哈密顿量进行拓扑分类。 QHE态中为非零的整数对应量子电导前的系数，普通绝缘体n为零，普通绝缘体和真空有相同的拓扑分类。因此整数量子霍尔系统的拓扑不变量就由第一陈数来表征。QHE态和真空拓扑性不同其和真空的界面上拓扑不变量必须发生变化这导致了无能隙导电的边缘态出现。Laughlin在对整数量子Hall效应时候，考虑到系统中的电子波函数整体相位相干性，引入横向周期性边界条件将位形空间构造成环带形状（torus: ），在此从近自由的单电子模型出发在系统的哈密顿量中加上磁场，解二维环带域（计入在相应的长宽两组周期性边界条件）Schr?dinger方程，得到能级Landau能级。实际的样品中，需要考虑存在杂质并束缚电子使之成为定域态，有掺杂的情况,每一Landau能级己扩展为能带（扩展边缘态）。一定范围内磁场变化时候电子落在定域束缚态中使得自由电子数目不增加，从而出现Hall电导平台。以TKNN（Thouless-Kohmoto-Nightingale-deNijs) 拓扑不变量角度去阐述IQHE则是更现代的凝聚态理论。二维IQHE系统的有效场理论哈密顿量(Haldane模型)为：解出的能谱中含有无能隙手征边缘态的谱线，其中的手性费米子不能反向散射，因而整数量子Hall系统是破坏时间反演对称的（Haldane哈密顿量中的磁场“质量”项使得零质量手征费米子激发破坏）。边界上的边缘态数量为： ，一般IQHE系统中 。*这里要顺带说一下，通俗的整数量子Hall效应的直观解释是这样说：电子在磁场中因为受到总是垂直于电子的运动方向的洛伦兹力，于是就形成一个圈。磁场很强的情况下，电子的轨道半径很小，因此电子都束缚在Landau态中成为束缚态，把所有这些轨道填满了就没地方可以去了（这也就是电子把逐个Landau能级填满）。但是当靠近样品边缘的时候，电子没有办法跑出一整个轨道了，于是只能沿着样品的边缘跳，画出一个接一个的半圆弧。也就是说，电流是可以沿着边缘传导的。而且因为电子只能沿着单一方向转圈，边缘上电流是“单行道”，只能沿一个方向传输，（也即上面所说的“手征边缘态”）。这种经典解释的图像看起直观，但并真的不是量子力学里面所描述的图像：显然量子力学里面没有什么一个个固定的圆形轨道，我们之前就讨论过Landau能级，再次需要再次提醒大家注意这个才是真正的物理图景。但这个通俗直观的解释也有其精妙的地方：我们知道在量子力学中，动量算符为 ，这个算符作用到波函数上最明显的意义并不是得到动量（经典意义下动量是 ），而是计算出了波函数的相位增加的梯度。那么回顾在对称规范条件下得到的一个个在平面上排列成WS晶格的Landau能级（见上面Landau states的图），每个点上的波函数其相位按逆时针方向增长，角动量算符为
。那么在这个意义下，电子也确实可以算是在“转圈圈”*对于电子在磁场中的偏转运动的量子层面解释是和相位有关。这里首先不妨考虑Landau规范：，矢势（就是Berry 联络）有不为零的旋度（就是Berry曲率）。现在让荷电粒子沿轴按平面波入射 ，等相面平行于x轴。因为粒子沿矢势平移要积累Berry相位，平移单位距离积累的Berry相位与矢势成正比。而等相面各点的矢势都不同，因此沿方向传播一段距离以后，各点积累了不同的相位，等相面就会倾斜。从而等相面一边沿轴推进一边倾斜，这就表现为荷电粒子的偏转。 如果让粒子沿着x轴入射， 此时等相面上积累的相位是相同的，波前不会“倾斜”，我们知道粒子依旧偏转。而这仍然可以从波函数解释。 在分析之前首先严格清晰地区分好三种不同的动量， 是正则动量，规范联络 A是电磁动量，质量乘速度
是机械动量，它们三者的关系是 。直接与波函数的相位变化相联系的是正则动量(这是显而易见的)，波函数的相位不存在梯度那么正则动量为零，但这并不意味着粒子没有偏转。这是因为在有磁场存在的情况下，不能简单地从波函数的等相面来分析粒子运动的方向。波函数等相面的法线方向（就是相位梯度的方向）是正则动量的方向（因为正则动量算符就是梯度算符），但是正则动量的方向未必是粒子运动的方向。直观的粒子运动的方向是机械动量决定的，而机械动量需要在正则动量的基础上扣除电磁动量得到。这个扣除电磁动量的过程对于波函数来说就是通过对波函数进行规范变换来消除等相面上的规范联络(Peierls substitution)。如上面提到的例子，粒子沿轴入射，等相面平行于轴，虽然等相面没有偏转，但是粒子实际上却是偏转了。 在等相面上，如前所述，波函数相位没有梯度意味着正则动量为零，但是因为沿等相面方向有非零的 ，因此电子的机械动量实际上并不为，而是与电磁动量锁定的 (动量匹配 momentum matching )：
(注意这个匹配成立的条件恰恰是波函数的等相面没有偏转)。当粒子沿x方向运动的时候， 越来越大，因此 也越来越大，也就是说粒子具有垂直于运动方向的加速度，这就是Lorentz 力。换言之就是因为有的存在，因此对机械动量来说，波函数的等相面并不是“等相”的，而是会有一个沿着的相位积累，所以机械动量看到等相面其实是偏转的。再或者我们可以不选取Landau规范而是对称规范，那么就可以更方便看到同样的电子偏转结果而呈现Lorentz力。这也是必然的，因为规范自由度并不会影响真实物理过程。这就是量子力学层次上Lorentz力的起源。
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拓扑绝缘体系统受时间反演对称性的保护存在，而磁场会破坏时间反演对称性。这意味着有外场的情况下金属表面态会被破坏，通过打开能隙或者其他的某种方式。那么，为什么我们还要外加磁场来研究拓扑表面态的性质呢？又或者说，当外加磁场出现霍尔电导平台或者震荡的时候，我们观测到的到底是谁的性质呢？
我是做实验的理论基础很差，关于您说的流形啊规范场什么的基本上没有了解，只是从简单的经典解释图像去理解。希望您能不吝赐教~
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