例7-11设f(x)在[0,；上连续，f′(x)在(0,内连续，且满足22；cos2x?f(x)dx=0,证明:存在ξ∈(0；)与η∈(0,；，分别使得；f′(ξ)=2f(ξ)tanξ与f′(η)=f(；【证】首先由分部积分，；20；cosx?f(x)dx=?∫2x(?2cosxs；由被积函数的连续性，则存在ξ∈(0,；)，使得；ξ(?2cosξsinξ?f
例7-11 设f(x)在[0,
上连续，f′(x)在(0,内连续，且满足 22
cos2x?f(x)dx=0, 证明: 存在ξ∈(0,
)与η∈(0,
，分别使得
f′(ξ)=2f(ξ)tanξ 与 f′(η)=f(η)tanη。
【证】首先由分部积分，
cosx?f(x)dx=?∫2x(?2cosxsinx?f(x)+cos2x?f′(x))dx=0，
由被积函数的连续性，则存在ξ∈(0,
ξ(?2cosξsinξ?f(ξ)+cos2ξ?f′(ξ))=0，
其次，ξcosξ≠0, 必有 ?2sinξ?f(ξ)?cosξ?f′(ξ))=0， 即有 f′(ξ)=2f(ξ)tanξ。另由分部积分得到：
即有 f′()=f()tan
例7-12 设f(x)在[a,b](a&b)上连续，且存在两点
．ｗcosx?f(x)dx=∫cosx?f(x)dsinx=?∫sinx(cosx?f′(x)?sinxf(x))dxｗｗ（
=?(cosη?f′(η)?sin区η?f(η))∫sinx?dx=0
1≠0,ηηηηη∫sinx?dx=研考
宝f(x)dx=0∫xf(x)dx=0∫识x知,x∈(a,b),x≠xf(x)=f(x)
因此cos?f′()?sin?f())=0，
，证明：至少
【证】 设F(x)=又
f(t)dt，则F(a)=F(b)=0，
xf(x)dx=∫xdF(x)=xF(x)ba?∫F(x)dx
=?∫F(x)dx=?F(ξ)(b?a)=0
但b?a≠0，可知?ξ∈(a,b)，使得F(ξ)=0，又F'(x)=f(x)， 可知?x1∈(a,ξ),x2∈(ξ,b)，使得f(x1)=f(x2)=0。
例7-13 设f(x)是[?a,+a]上的连续偶函数，且f(x)&0，
∫tf(t)dt=A，设
F(x)=∫|x?t|f(t)dt。
（1）证明当x∈[?a,a]时，F′(x)单调增加。
（2）证明F(x)在[?a,+a]上有最小值，并求出最小值； 【解】（１）x∈[?a,a]，
F(x)=∫(x?t)f(t)dt+∫(t?x)f(t)dt
=x∫f(t)dt?∫tf(t)dt+∫tf(t)dt?x∫f(t)dt
F′(x)=xf(x)+∫f(t)dt?xf(x)?xf(x)+xf(x)?∫f(t)dt
=∫f(t)dt+∫f(t)dt
F′′(x)=f(x)+f(x)=2f(x)&0,
故F′(x)单调增加。 （２）F′(x)=
f(t)dt+∫f(t)dt=∫
=?∫f(t)dt+∫f(t)dt=∫f(t)dt=2∫f(t)dt
因为f(x)&0，故F′(x)=0有唯一解x=0。又F′′(0)&0，故x=0是F(x)的唯一极小值点．且为F(x)在[?a,+a]上的唯一最小值。以下求此最小值F(0)=minF(x)。
F(0)=?∫tf(t)dt+∫tf(t)dt。
tf(t)dt取变换u=?t, 则dt=?du，
?∫tf(t)dt=?∫uf(?u)du=∫uf(u)du=A，
f(?u)d(?u)+∫f(t)dt
所以F(x)的最小值F(0)=?
tf(t)dt+∫tf(t)dt=2A。
例7-14 设f(x)是连续函数，且有f(x)+
(x?t)f(t)dt=e+2x∫f(xt)dt, 求f(x).
【解】首先f(0)=1。其次， 对 原方程化为
∫f(xt)dt取变换u=xt则有 ∫f(xt)dt=∫f(u)du。
f(t)dt?∫tf(t)dt=e+2∫f(t)dt
求导一次得：f′(x)+xf(x)+
f(t)dt?xf(x)=ex+2f(x)， f′(0)=3
再次求导得到： f′′+f=e+2f′。
该方程以f(0)=1与f′(0)=3为初始条件的为 f(x)=?1+2x+
8. 三十六技之八：用积分表达与计算应用问题的技巧, 广义积分问题
8.1 技巧描述
数学物理累加量，积分处理是正道。正确表达背景量，合理简化选坐标。遇到含参问题时，区间变换是技巧。
广义积分有两类，掌握尺度最重要，收敛分析用比较，搞错方向最糟糕！
计算方法与定积分计算相雷同，只需注意极限运算。 8.2掌握要点
基本几何应用，包括面积、弧长旋转体体积与侧面积，简单物理应用，包括质量中心问题、作功问题与压力问题。
对广义积分问题，应掌握两把尺度，重点掌握直接比较法与极限比较法（比阶法）。还应注意混合性广义积分问题。
为奇点时，
f(x)dx=∫f(x)dx+
f(x)dx为混合型广义积分
8.3相关知识点
函数的极坐标与参数方程的表达，积分定义与性质，变限积分与含有参数的积分，极限概念与方法。 8.4典型例题
例8-1 设曲线族y=cx，其中c为正的常数，为自然数，0&a&b。
曲线y=cx（1）设曲线y=cx与直线x=ξn∈(a,b)，y=ca围成的区域面积为S1，
n与直线x=ξn，y=cb围成的区域面积为S2，证明存在唯一一点ξn∈(a,b)，使得
（2）求limξn。
【解】（1）
?ξ知S=∫c(x?a)dx=c?
?an(ξn?a)?
?ξnn+1?bn+1?
+bn(b?ξn)?
S2=∫c(b?x)dx=c?
nbn+1?an+1
，移项造辅助函数，考虑零点问题，令 由S1=S2可得 ξn=
?tn+1?an+1????tbnn
S(t)=S1(t)?S2(t)=c??a(t?a)??c?+b(b?t)?
11++nn????????
??bn+1?an+1
+an+1?bn+1+(bn?an)t?。
S′(t)=c(bn?an)&0，则S(t)是严格单调增函数，因此ξn是S(t)的唯一零点。 nbn+1?an+1
（2）limξn=lim=b。
n→+∞n→+∞n+1bn?an
y=kx2与y=cosx(0≤x≤
在x=t处相交，记 S1为y=kx2与
y=cost及x=0 围成的面积，S2为 y=cost,y=cosx 与 x=
试证：S(t)=S1+S2 在(0,
围成的面积。
)内必有唯一最大值。 2
【证】 首先，曲线交点为(t,cost)，且cost=kt，因此，k=2，t∈(0,)
S1(t)=∫(cost?2x2)dx=tcost，
?t)cost?sint，t∈[0,， 2322
′(0)=&0，S?′(=?&0 ，因此存在t0∈(0,)使得 且S+
3223S(t)=1+(
S′′(t)=?sint?(?t)cost，
且S′(t)单调，驻点唯一，因此S(t0)为(0,
例8-3 设曲线y=f(x)由
ｚS(t)=∫(cost?cosx)dx=(?t)cost?1+sint１．2
ｗｗ（πππ
区S′(t)=0
研π考库宝
识x(t)=∫esinuy(t)=∫ecos2udu
)时，S′′(t)&0，因此S(t0)为(0,
)内的极大值。 2
)内的唯一最大值。 2
确定.则该曲线当t=
时 的法线方程为y=x。
?dt?uu?t?uut
【解】 x′(t)=?e∫esin?=e∫esin+sin
dt?π3?33π
y′(t)=?e∫ecos2udu?=e∫e?ucos2udu+cos2t
=f′()=?2，法线斜率为k=，方程y=x。
* 绕x轴旋转生成的旋转体的体积（小圆台法）
平面区域D=(x,y)a≤x≤b,0≤y≤f(x)绕x轴旋转体的体积为
Vx=∫πf2(x)dx
* 绕y轴旋转生成的旋转体的体积（薄壁筒法） Vy=* 曲线y=f(x),
2xπf(x)dx。
a≤x≤b绕x轴旋转生成的旋转体的侧面积为
A=2π∫f(x)+f′(x)dx。A=2π∫y(t)x′(t)++y′(t)dt。
例8-4 设有曲线y=x?1, 过原点作
其切线, 求此曲线,切线及x轴围成的平面区域绕x轴旋转一周所得到的旋转体表
面积。 【解】 y′=
，设切点为
(x0,x0?1)，则切线为y=
切点应满足x0?1=
可以求得切点为
旋转体表面积由两部分组成:
由曲线绕x轴旋转一周所得到的旋转体表面积为
，切线为y=
A1=2π∫y+y′2dx=π∫
5?1 由切线绕x轴旋
转一周所得到的旋转体表面积为A2=2π所以旋转体表面积A=A1+A2=
15xdx=5π， 22
* 设f(x),g(x)在区间[a,b]上可积, 则平面图形
包含各类专业文献、幼儿教育、小学教育、专业论文、高等教育、中学教育、各类资格考试、应用写作文书、2008年考研数学冲刺班36技之微积分(2)47等内容。　
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shitouwa5450
用分部积分法嘛,
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扫描下载二维码不定积分习题 【范文十篇】
不定积分习题
范文一：第一节 不定积分的概念与性质
例题：计算下列不定积分：
3．设曲线通过点?1,2?，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程 4．
9．??3cosx?dx 22xx
11．tanxdx
xxsin2cos2
2x4?x22x4?x2?3
15．?214．?2
1．利用求导运算验证下列等式：
?ln(x?x2?1)?C
?arctanx??C ?(x2?1)(x?1)x?1
（4）secxdx?lntanx?secx?C （5）xcosxdx?xsinx?cosx?C
(sinx?cosx)?C ?2
2．求下列不定积分
（2）?xxdx
（6）esinxdx?
（8）(x?3x?2)dx
（g是常数）
（13）?2e?
（14）dx???1?x2?x2
（16）?3edx ?
（15）?e??1?x
（18）?secx?secx?tanx?dx （17）?x
（20） ??21?cos2xcos2xcos2x
（22）? （21）?
cosx?sinxcos2xsin2x
（23）cotxdx
（24）cos??tan??sec??dx
（26）?dx （25）?2
3．一曲线通过点e,3，且任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程．
1?2x)和24．证明函数arcsin(2x?1)、arccos(
都是的原函数．
第二节 换元积分法
求下列不定积分
1、2cos2xdx
2xedx 3、?
?a2?x2dx 1
x(1?2lnx)x
11、sinxdx
12、sinxcosxdx
13、tanxdx
14、cosxdx
15、sinxcosxdx
16、secxdx
17、tanxsecxdx
18、cscxdx
19、secxdx
20、cos3xsinxdx 21、
1x?adx4x?9
1、在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立：
（4）xdx?d(5x)； 322
（6）xdx?d(3x?4)；
（7）edx?d(e)
（8）e（9）sin（11）
33dxdx?d(cosx)
（10）?d(5lnx) 22x
?d(3?5lnx) x
（13）d(arctan3x)?d(1?arcsinx)
2、求下列不定积分
（2）?(3?2x)3dx
x?1x2?2x?5
?sinxcos3x
tan10x?sec2
?lntanxcosxsinx
（25）?cos2
8）?xcos(x2)dx
10）?1?x4 12）?
cos2(?t??)sin(?t??)dt 14）?sinx?cosx
2arccosx18）
20）?arctanxx(1?x)dx 22）?dxsinxcosx （24）?cos3
xdx （26）?
sin2xcos3xdx
sin5xsin7xdx
（ （ （ （（ （ （ （ （ （
（32）?229?x9?4x
（34）?2x2?1?(x?1)(x?2)
（36）?（35）?2
x?x?2（37）
（43）?x?1x2?2x?3
例题 求下列不定积分
1、?xcosxdx
3、?xlnxdx
5、?xarctanxdx
7、?sec3xdx
练习 求下列不定积分
（3）?arcsinxdx
（9）?x2arctanxdx
（44）?x3?1
第三节 分部积分法
（2）?lnxdx
（8）?xcosx2
（13）lnxdx
（14）xsinxcosxdx
（16）?xln(x?1)dx （15）?2
（17）(x?1)sin2xdx
（18）?2dx
（20）?coslnxdx
（21）(arcsinx)dx
（22）esinxdx
（23）xlnxdx
其他有关有理函数与无理函数的不定积分计算问题：
2、?x2?5x?6?(2x?1)(x2?x?1)dx
4、?sinx(1?cosx) ?(x?1)(x2?1)
6、?x1?x?2
（2）?2（1）?
x?3x?10x?3
（4）?x2?2x?5?x(x2?1)
（6）?（5）?3 2
x?1(x?1)(x?1)
x5?x4?8xdx
(x?1)(x?2)(x?3)x3?x
（10）?x4?1 ?(x2?1)(x2?x)
（12）?2 2
(x?1)(x?x?1)(x?1)dx?x2?2
（14） 2?2
3?sinx(x?x?1)
（16）?3?cosx?2?sinx dxdx
1?sinx?cosx2sinx?cosx?5
（22）?x?xx?1?1
241?xx(x?1)(x?1)
本章复习题
计算下列不定积分：
2、3、?5?4cosx?x4x2?9?(3x?4)24、?sinxdx
2x?9dx3x?2dx 7、8、?x2?2x?5??
9、ecosxdx10、xarcsin
xdxdx11、?212、 32?2sinx(x?9)
13、esin3xdx14、sin3xsin5xdx15、lnxdx16、
cos18、19、20、?xdx ?(1?x2)2?xx2?1?(2?3x)2
x2?2dx22、?
23、?224、?dx
2?5cosx1?xx2x?1
x?5dxx4xdx
26、?25、?227、?28、 2x?x?2x?2x?1e?e25?4x?x?x1?cosxlnlnxx2x
29、?30、31、
32、??66?3
x?sinxxa?x(1?x)
sinxcosxa?xdx4
tanxdx34、35、36、??1?sin4x?x(x6?4)?a?xdx
38、xcosxdx39、
41、?442、?xsinxdx43、?ln(1?x)dx44、?2
cos3xx(1?x)
45、arctan
x11?cosxx3
47、?dx48、?8
sinxx?3x?2(1?x)
dxsinxx?sinxsinxxcosx?sinx51、?52、?e
49、?50、?42
1?sinx1?cosx16?xcosx
e3x?exdxxex
dx56、?x53、?55、?4x 54、?2xx22e?e?1(1?e)(e?1)x(x?x)
57、ln(x??x)dx58、
?xarcsinxdx60、
x3arccosx?x
cotxdxsinxcosxdx
62、63、64、?1?sinx?sin3xcosx?(2?cosx)sinx?sinx?cosxdx
范文二：第四章
不定积分习题
不定积分的概念与性质
(1) 已知∫f(x)dx=
+C（C为任意常数），则f(x)=________________； x-1
(2) 若f′(sin)=cosx+1，则f′(x)=_________，
f(x)=________________；
(3) 设F′(x)=f(x)，f(x)为可导函数，且f(0)=1，又F(x)=xf(x)+x2，则f′(x)=________________， f(x)=________________；
(4)在积分曲线族y=∫4xdx中，与直线y=2x+1相切的曲线经过切点________________，其方程为________________； 2.判断下列式子的对错 (1)
∫f′(x)dx=f(x)
)； )； )；
(2) ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx
(3) 的一个原函数是e2x
(4) 若在区间I上有f(x)<g(x)，则∫f(x)dx<∫g(x)dx
)； (5) ∫2xdx=
(6) 设F1(x)，F2(x)是区间I内连续函数f(x)的两个不同的原函数，且f(x)≠0，则在区间I内必有F1(x)-F2(x)=C (C为常数)
3.计算下列不定积分
(2) ∫2dx；
x(1+x2)2×3x-5×2x
(4) ∫dx； x
∫sin2xcos2x；
e2x-1(3) ∫xdx；
∫cscx(cscx-cotx)dx；
∫sin2xcos2xdx；
∫cosx-sinxdx.
第二节 换元积分法
1.填入适当的系数，使下列等式成立.
(1) sinxdx=____________d(cosx)；
dx=____________d(3-5lnx)； (2) xdx
(3) =____________d(arctan3x)；
=____________.
.∫xx=____________ .
3.若∫f(x)dx=F(x)+C，则
=F[g(x)]+C. (A)
∫f[g(x)]dx
∫f[g(x)]g(x)dx
∫f[g(x)]g′(x)dx
4.计算下列不定积分
(4) ∫ln2xdx；
?∫ln(sinx)sinxdx；
∫ex(1+ex)；
4cos∫xdx.
5.计算下列不定积分
∫dx(x>a>0)；
分部积分法
____________1.求下列不定积分时，采用分部积分法， ____________选u=x2，选dv=x2dx. (1)
arctanxdx；(3)
2.计算下列不定积分 (1) ∫x2
x； (5) x；(7)
∫arcsinxdx；
1.计算下列不定积分 (1)
x(1+x)2； (3) ∫dx
2.计算下列不定积分
； (3) ∫dx
； 3.计算下列不定积分
ln(x+1)dx.
(4) ∫arctanex
有理函数的积分
x2+3x-10dx；
1+cosxdx；
1+sin2xdx.
不定积分总习题
1.计算下列不定积分 (1)
∫x+6cos2x
1+cos2xdx；
cos2xtan3xdx；
2.计算下列不定积分
(1) ∫cosx-sinx
1+sinxcosx
sin4x+cos4x
3.利用以前学过的方法计算下列不定积分 (1)
cosx?sinxdx；
(5) ∫x2+1
为f(x)的一个原函数，求∫xf′(x)dx.
∫cos(lnx)dx；
(10) ∫x2e3xdx. (2)
sinx+cosxdx；
(4) ∫(cos3x+cos2x)dx .
1+sinxcosxdx.
范文三：不定积分习题课资料
1. 填空题 （1） 若e
是f(x)的原函数，则?xf(lnx)dx?____________。
解：因为f(x)?(e?x)???e?x，所以f(lnx)??e
（2） 设f(x)是e
的原函数，则?
dx?____________。
解：因为f?(x)?e，所以f(x)??e?C0，
（3） 设积分?xf(x)dx?
解：因为xf(x)??
dx?____________。
??(1?x)2，所以?x(1?x)2， ?f(x)?
（4） 设F(x)是f(x)的原函数，F(0)?1，当x?0时，有f(x)F(x)?sin2x，
F(x)?0，则f(x)?____________。
解：因为F?(x)?f(x)，所以F(x)F?(x)?sin2x，
F(x)F?(x)dx?
由F(0)?1，得1=F(0)?C，又F(x)?0，有
所以f(x)?F?(x)?
（5） 设In?
dx,n?2,则In?x
?______In?2.
解：（分部积分，求出递推公式）
?(n?1)In?2
2. 求下列不定积分： （1）?
解：（方法：凑微分）
ln(x??x)?5?x
解：（方法：凑微分）
原式=?ln(x??x)?5d[ln(x?1?x)?5]?
[ln(x??x)?5]2?C
解：（方法：凑微分）
?x?arctane?C
解：（方法一）
（方法二）
dtt2t?2t?1
?du(u?1)?1
??ln(1?u?(u?1)?1)?C
?2e?1)?x?C
（5）?xsin2xdx 解：（方法：分部积分法）
?cos2xdx??
解：（方法：分部积分法）
?1?x(1?x)e
解：（方法一）令t?
?x，则tdt?xdx，
?t?ln?t?C?
?ln(1??x)?C
（方法二）令x?tant，则dx?sectdt，
sintdtt?1)cosdu
11?1?????uu21?uu1?
??C ?du?ln
??x?ln(1??x)?C
（方法三）令x?sht，则dx?chtdt，
shtchtdt1?cht
chtdcht1?cht
?cht?ln?cht?C
?ln(1??x)?C
x?sinx1?cosx
解：（方法：分部积分，凑微分）
?xtan??tandx?
解：（方法：分部积分）
d(cosx)cos1cosx
解：（方法：分部积分，凑微分）
arctanedx??e
arctane?x?
arctane?x?
1?e2?e3?e6
解：（方法：变量代换，有理函数积分法）
令t?e6，则x?6lnt，dx?
t(t?1)(t2?1)?6??1?t?12(t?1)?t?1?2(t2?1)?dt ??
?6lnt?3lnt?1?
?1)?3arctant?C
?1)?3arctane
3cosx?sinxcosx?sinx
解：（方法：凑微分）
令3cosx?sinx?A(cosx?sinx)?B(cosx?sinx)?
3cosx?sinx?A(cos
x?sinx)?B(?sinx?cosx) ?(A?B)cosx?(A?B)sinx
得A?1,B?2，
3cosx?sinx?(cosx?sinx)?2(cosx?sinx)? 原式=?
(cosx?sinx)?2(cosx?sinx)?
d(cosx?sinx)
?x?2lncosx?sinx?C
acosx?bsinx
ccosx?dsinx
dx 令acosx?bsinx?A(ccosx?dsinx)?B(ccosx?dsinx)?，即可
（13）I1=?
sinxacosx?bsinx
cosxacosx?bsinx
解：（方法：凑微分）
bsinx)2?aIbcosx1?
d(acosx?acosx?bsinx
?lnacosx?bsinx?C2由（1），（2）两式，解得
(bx?alnacosx?bsinx)?C
(ax?blnacosx?bsinx)?C
，（n为自然数）
解：（方法：变量代换，化为有理函数的积分）
(x?a)(x?b)x?ax?b
n(a?b)tna?b
dx(x?a)(x?b)n
（15）I?解：
设F?(x)?x?1??
?x?C1,?x?1,?2
xx?1,???x?C2,??2
因为F(x)在x?1处连续，F(1)?F(1)?F(1)，有?C1?1?C2，令C?C2，则C1?1?C，故
?x?1?C,??2
x???x?C,?2?
范文四：第二节
微积分基本定理
求下列函数y=y(x)的导数
edt+∫costdt=0;
?x=tsinudu,
∫etdt+∫costdt=0.
x=cosu2du,?∫0 ?
y′=sinx2.
dx3=3x2-2x (2)
y′=x4e-x?2x-x2e-x=x2(2x3e-x-e-x).
2xsinx41+e
?cosx-ecos
?(-sinx)=esinxcosx+ecosxsinx.
方程两边对x求导得
+cosx=0, dx
所以y对x的导数
dycosx=-y. dxe
∵xt'=sint,yt'=cost,
∴===cott. dxxtsint(8)
=cost4?2t=2tcost4, dt
=cost4?4t3=4t3cost4, dt
dy4t3cost42
方程两边对x求导得
+cos(xy)?(y+x?=0, dxdxdyy?cos(xy)
=-. dxe+xcos(xy)
所以y对x的导数为
求下列极限: (1)
ln(1+t)dtx2
ln(1+t)dtln(1+x)∫0
=lim=lim解
cos2x=lim=1.
2∫etdt?ex
(1)edt=lim+t
x→∞x∫0x→∞
(1+t2)etdtx
(1+t2)etdtxe
=lim x→∞1+2x2
1+121x=lim=.
设f(x)=, 找ξ∈(-1,1), 使∫f(x)dx=2f(ξ).
f(x)dx表示曲线f(x)=与x轴在[-1,1]内所围的面积, 显然是圆
x2+y2=1的面积的
又由积分中值定理, 存在ξ∈(-1,1), 使得
f(x)dx=2f(ξ)=
设f(x)=∫te-tdt, 求f(x)的极值点与拐点.
f′(x)=xe-x,f′′(x)=e-x-2x2e-x=e-x(1-2x2).
令f′(x)=0得x=0. 当x<0时,f′(x)0时,f′(x)>0,故x=0为f(x)的唯一极值点且为极小值点.
令f′′(x)=0得x=±, 故f(x
)图形的拐点为25.
设f(x)连续, 且∫f(t)dt=x2(1+x), 求f(2).
对方程∫f(t)dt=x2(1+x)两边关于x求导, 有
f(x)=2x(1+x)+x2=3x2+2x.
令x=2, 则f(2)=16.
计算下列各定积分:
tan3θdθ;
∫0x2-x+1x;
(x+)2dx=∫(x2+2+2x=(x3+2x-=
+x=∫+x)dx=(
+x+x11+2x21)dx x=x=++x)x(1+x)x1+x
x=-∫1lnxdlnx+∫lnxdlnx
=-ln2x+ln2x=+=1.
常见错误是∫
x=ln2x, 产生错误的原因是忽略了lnx的取值范
事实上当≤x<1时, lnx<0, 因此取掉绝对值号前面要加负号, 1<x≤e时,
003x4+3x2+11π23
x=(3x+x=(x+arctanx)=1+∫-1-1-141+x21+x2
∫tgθdθ=∫
sin3θsin2θ1-cos2θ44θ=-∫cosθ=-∫cosθ
0cos3θ0cos3θcos3θ
11)(1-ln2).
2cos2θ02=ln1-lne=-1.
=(lncosθ+(9)
sinxdx=-2∫=4
2(cosx)2dcosx 0
∫sinx-cosxx=∫
-sinx)dx+∫
-(sinx+cosx)
1dxdx41dx==∫023∫02 0x-x+1
(x-)+1+(x-)
411? ∫3201+2=π.
=+π(-cosx)dx
=x-sinxπ)=
∫0-xx=∫0(1-x)dx+∫1∫1
(x-1)dx=(x-x2)+(x2-x)=1.
()dx x=-∫22221x(1+x)x1+x
=(--arctgx)
=1--arctge-.
已知f(x)=?
?sinxcos3x,??
4 计算2f(x)dx.
ππ<x≤.420≤x≤
f(x)dx=∫tanxdx+π40
xdcosx=(tanx-
设m、n为正整数, 证明下列各式: (1)
∫sinmxdx=0;
∫-πcosmxdx=0;
∫-πsinmxsinnxdx=0(m≠n);
∫sinmxcosnxdx=0;
∫cosmxcosnxdx=0(m≠n);
∫cos2mxdx=π.
∫sinmxdx=-
1πcosmx-π m
(cosmπ-cosmπ)=0. m
∫cosmxdx=
1πsinmx-π m
(sinmπ+sinmπ)=0. m
(3) 因为sinmxcosnx是奇函数, 故
∫-πsinmxcosnxdx=0.
∫sinmxsinnxdx=-
[cos(m+n)x-cos(m-n)x]dx=0(m≠n) 2∫-π
1sin(m+n)xsin(m-n)x
2m+nm-n-π(5)
∫cosmxcosnxdx=
[cos(m+n)x+cos(m-n)x]dx 2∫-π
1sin(m+n)xsin(m-n)x
2m+nm-n-π(6)
∫sin2mxdx=
(1-cos2mx)dx ∫π-2
=(x-π)-(sin2mx-π)=π.
∫cos2mxdx=
(1+cos2mx)dx 2∫-π
1π1π =(x-π)+(sin2mx-π)=π.
??sinxcosx,
x∈[0,1),x∈[1,2].
求Φ(x)=∫f(t)dt在[0,2]上的表达式,
并讨论Φ(x)在(0,2)内的连续性.
当x∈[0,1)时,
f(t)dt=∫tdt=(t)=x-x=;
当x∈[1,2]时,
Φ(x)=∫f(t)dt=∫f(t)dt+∫f(t)dt
tdt=(t)+(t)=
?x∈[0,1),?3
?x-1,x∈[1,2].??26
==Φ(1), 因为
lim-Φ(x)=lim-
x→1x→133
limΦ(x)=lim+(-==Φ(1), x→1+x→1263
故Φ(x)在x=1处连续. 显然在(0,1),(1,2)内Φ(x)为初等函数, 故连续.
综上有Φ(x)在(0,2)内连续.
10. 设f(x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导, 且f′(x)≤0, F(x)=证明: 在(a,b)内F′(x)≤0.
由条件知f(x)在[a,b]上单调递减, 对F(x)=
f(t)dt两边关于x求
f(t)dt. ∫ax-a
)′?∫f(t)dt+?(∫f(t)dt)′
ax-ax-aax1f(x)
x-a(x-a)2∫a
[(x-a)?f(ξ)]-
f(x)f(ξ)1
[f(x)-f(ξ)], -=
(a≤ξ≤x)
>0, 又由于f(x)在[a,b]上单调递减, 并且x-a
ξ≤x, 所以有
f(ξ)≥f(x), 即f(x)-f(ξ)≤0,
[f(x)-f(ξ)]≤0.
范文五：第五章 定积分习题
第一节 定积分的概念与性质
1．应用定积分换元法的有关结论，填空： （1
（2）∫2πcosxdx=2∫2cosxdx
2.试用定积分表示：
（1）曲线y=sinx,x∈[0,π]与x轴所围成图形的面积
； （2）曲线y=cosx,x∈[0,π],x=0,x=π及x轴所围成图形的面积3.估计下列各定积分的值.
4.根据定积分的性质，比较积分大小.
（1）∫xdx和∫xdx
（2）∫xdx和∫ln(1+x)dx
微积分基本公式
（1） 若f(x)在[a,b]上连续,x0为(a,b)内任一固定点，则
（2） 设f(x)=e-x，则f(x)的一个原函数F(x)=
（3） 设函数φ(x)=∫xe-xdx的φ′(x)=φ(X)的驻点为，
（4）设由∫etdt+∫costdt=0确定y是x的函数,则
=.(并写出计dx
2.计算下列导数.
dx2dx3(1)t
(2)dx∫0dx∫x23. 求下列极限
4.计算下列定积分
ln(cost)dtx3
(4)∫sinxdx
(5)∫(x+dx
?1x?sinx,0≤x≤π5.设f(x)=?2,求F(x)=∫f(x)dx在(-∞,+∞)内的表达式.
?0,x<0或π<x?
第三节 定积分的换元法和分部积分法
1. 应用定积分换元法的有关结论，填空：
（1）∫xsin3xdx.
（2）设f(x)在[-a,a]上连续，g(x)=f(x)=-f(-x)，则∫g(x)dx=.
2.计算下列定积分 （1
3.利用函数的奇偶性计算下列积分. （1）∫
dx 4cosxdx
4.设f(x)是以T为周期的连续函数，证明∫
f(x)dx的值于无关.
5.设f(x)在[a,b]上连续，证明∫f(x)dx=∫f(a+b-x)dx.
6.证明：∫sinxdx=2∫sinnxdx
（1）设f(x)具有二阶连续导数，且f(0)=2,f(2)=3,f′(2)=5，计算I=∫xf′′(2x)dx=0π
（2）若f(x)具有连续的导数，且
f(x)sinxdx=k,则
f′(x)cosxdx=8.计算下列积分 （1
（2）∫sin(lnx)dx
（3）∫1lnxdx
1. 计算反常积分的值 （1）∫（3
2.利用递推公式计算广义积分In=∫
第五章 定积分总习题
（1）函数f(x)在[a,b]上有界是f(x)在[a,b]上可积的
条件，而f(x)在[a,b]上连续是f(x)在[a,b]上可积的
（2）对[a,+∞)上非负、连续的函数f(x)，它的变上限积分∫f(t)dt在[a,+∞)上
有界是广义积分∫
f(x)dx收敛的条件.
（3）函数f(x)在[a,b]上有定义且f(x)在[a,b]上可积，此时积分∫f(x)dx
2.若函数f(x)具有连续的导数，计算
(x-t)f′(t)dt. ∫0dx
3.计算下列定积分.
（1）∫e-xdx；
ax+sinxdx；
4.设f(x)为连续函数，证明∫f(t)(x-t)dx=∫(∫f(u)du)dt.
5.设f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)>0，F(x)=∫f(t)dt+∫
，x∈[a,b]， f(t)
证明：（1）F′(x)≥2;（2）方程F(x)=0在区间（a，b）内有且仅有一根. 6.设f(x)在（-(-∞,+∞)上连续、可导，不恒为零，f(x)=∫f(t)
7.计算下列定积分：
（1）∫sintcostdt；
（2）Im=∫xsinmxdx
（3）∫x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)dx；
(1+cos2x)dx；
?xtf(t)dt?∫0
其中f(x)连续，且f(0)=0，8.设F(x)=?试确定c使F(x)连x2
范文六：定积分习题
2.设f(x)∈C[-a,a],求I=
(x+x2)f(x)+(x-x2)f(-x)dx.
(tanx+1)sin22xdx.
5.设f(x)可导，f(0)=0,F(x)=6.讨论函数
tf(x2-t2)dt，求lim
2(1-cosx)????x??1f(x)=?∫x???1??cost2dtx0
在x=0处的连续性与可导性.
f(x)dx=f(ξ)(b-a).a
f(x)dx=f(b)。证明?ξ∈(a,b)8.设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)可导，且
使得f′(ξ)=0.
f(x)dx=0.证明?ξ∈(0,1)使得f(1-ξ)+f(ξ)=0.9.设f(x)∈C[0,1],且
7.设f(x)∈C[a,b],证明?ξ∈(a,b)使得
f(x)dx≥λ
10.设f(x)在[0,1]上连续且单调递减，证明当λ∈(0,1)时，
)f(t)dtdx=
11.设f(x)∈C[0,+∞),a>0,证明：
12.判断广义积分
13.反常积分
f(x)(a-x)dx.
dx的敛散性，若收敛，求其值。xdx
是否收敛？若收敛，求其值。
(1-x)14.求曲线ρ=3,ρ=2(1+cosθ)所围成的图形的面积S。
15.求平面曲线y=f(x),x轴及x=a,x=b所围成的平面图形绕y轴旋转一圈所得立体的体积V。
16.求由y=ex,x轴，y轴及x=1围成的平面图形绕y轴旋转一圈所得立体的体积V。
不定积分的习题（一）
常用的积分法有换元法（第一，第二两种），分部积分法，对于特殊的函数，还可采用特殊方法。如何灵活运用这些方法，没有套路，全靠“灵感”和熟练地计算，所谓“灵感”是指能否透过变面看到内部的联系，这种功夫不是一个晚上能够形成的。当然，常用的求导数公式和基本积分公式，必须熟记！没有讨价还价的余地。学数学，勤奋是必须的，懒人绝不能学好数学。
我发现，很多学习跟不上的同学，其实是从进入大学后没有方向开始的，高考前还有个目标：考上一个大学——如果考不进去，还能干什么呢？于是，他还能努力，不管是应试式的学习还是跟上大家，忙乎了高中时代。终于进了大学，他就不知道还有什么可作为自己的努力方向，于是，就混个日子吧，反正有父母提供吃的穿的，父母有不再眼前，谁也管不着，多么舒服，从出生到今天，从来没有这么自由自在过。
还有些人，不知是什么心态，一进大学就为四年后的就业纠结着，一会儿调专业，一会儿听说我的“老总们”的创业历史，却把自己大学的主业忘个一干二净。你不想想，你连个大学生的起码的科学训练都没有受到，以后怎么可能去承担大学生的工作？
学生学生，学习是你的主业，你的人生任务。
有人天真地问我，那到底该怎么办呢？
天哪，还是不明白。
从每天的学习开始，从每门课，每节课开始吧！那么对每门课，每节课，又怎么能学好呢？主动的学习！在上每堂课前，你得知道要上什么？你有什么想法？你对其中的疑问是什么？你有哪些特别需要仔细听或与老师讨论的？等等；课后，你觉得解决了你心中的哪些疑问，又产生了什么新的疑问？你对课后的习题能做吗？为什么做不下去?与你班上的同学讨论过没有？ 人家愿不愿意与你讨论？如果人家不愿意，是你的问题还是别人的问题？每上了一章，你能否把知识结构有自己的语言总结出来，写成知识的网络图？能否把这一章与前面的几章的内容串起来，变为自己脑子里的东西。等等。
你当然只是起码的一些要求。对于一个有志向的人来说，仅仅学好一门门课程是不够的，因为我们要培养的是全面发展的，将来对社会对国家能担当写责任的人，是国家需要的知识分子，你要有视野，有见识，有观点，等等，所以仅仅学好规定的几门课是不够的。你每天关注了什么？你自己对自己回答吧。
不管是怎样的人生层次，在学数学的路上，现在走到了积分学习，如果你看懂了上面的话，那么就开始做积分吧！把积分积出来是硬道理，而且还要科学地积分！从每道题开始！
一，二，三，开步走！
做在哪里？做在你自己的练习本上！你有吗？
1．（1997年考研题）求
； 2. 求（1）
（4）?tanxsecxdx。 x； （3）?x； （2
）1?sinx23. 求（1）xsinxdx；
（2）xedx； （3）??3x2arctanx2x2e(tanx+1)dx。 x；（4）??x2(x2?1)
（3）?x；4. 求（1）?xearctanx
(x?1)2；（2
）x（2003年考研题）32lnxdx. 2(1?x)
5. 已知f(lnx)?ln(1?x)，求?f(x)dx. x
6. (1)（1999年考研题）求1x?5x；（2）求?x2?6x?13?x2(x4?1)x。
7. 求 （1）
8. 求 （1）11x；
（2）?sin4x?cos4x?sin2x?2sinxx。 arccotxlnx?1xdx；
）?ex?x2x。
）cos2xxdx； （3）x。 x；
（2）?32?sinx(3x?4)10. 求（1）1x；
）?5?4cosxx。
11. （1996年考研题）设xf(x)dx?arctanx?c，求??1x。 f(x)
2x?1?5x?1x； （3）?secx(secx?tanx)dx。 x；
（2）?x1013. 已知一台曲线在任一点(x,y)处的切线的斜率为3x?2，曲线还经过点(2,3)，求该曲线方程。
14. 已知一质点研直线运动的加速度是x?5?2t，其中的t以秒为计，x以米为计，当t?0时，x?0，x?2。求质点运动的规律。
15. 已知一条曲线在任意点处的斜率与该点的横坐标成正比，曲线经过点(1,3)，且在该点处的切线倾角为45?，求该曲线的方程。
x3dxdxdx16. 求（1）?2； （2）；
（3）；（4）?|x|dx。 222??x?x?2x?9(x?2)(x?3)
?x4?x6?x(xn?4)?18. 求（1）1x； （2
）xtanx。 ?sinx?cosx?dx； （2
）。 ?ex?e?x （注意符号）19. 求 （1）
20. 求 （1
）21. 求 （1
）?x； （3
） x22. 求 （1）coshxcosh3xdx， （coshx可简记为chx）；(2) 223. 求 （1）(arcsinx)dx；
（2）?tan3xsecxdx. ?13(lnx)dx； （3
24. 求 （1
）x； （2）?arcsinxxarctanx； （3）x?(1?x2)3/2?(1?x2)3/2x。
?2x25. 求（1）cos(lnx)dx；（2）(x?4x?1)e
26. 求（1）??2x2xdx；（3）?3x；（4）?3x。 x?1x?1dxdx； （2）?1???(1?x)(1?x)2?为参数； （3）?sec2xsin3xdx。
）dxdx；（2
）；（3）； （4）xx?3?sin2x?3?cosx。 x2dxsinxcosxx28. 求（1）?； （2）；
）?x。 43?1?sinx(1?x)29. 求 （1
）x； （2）?1sinxxxx； （3）；（4）?1?sinx?1?cosx?(1?ex)x。
x2?1xdx； （3）?4x。 x?130. 求（1
）ln(x??x； （2
）x11lnx?1xxx31. 求（1）?8；
（3）??(xlnx)2x。 x?3x4?2
32. 求（1）x?1tanx11?xlnxx；
（3）?1?x21?xx。 ?x(1?xex)?ln(cosx)
（2）?sin2xcos2x?sinx?cosxx， （本题将在课堂上讲解）
33. 求（1）
?1?sin2x?sin3x?sinx?cosx(2?sin2x)35. 求（1）5?4cosxsinxx；
（2）；（3
）x?sin3x?cos3x?(2?cosx)2sinxx。
）?ln(xx； （3
）x。 37. 求（1）?1?sinx
1?cosxexdx；
38. 求（1）?xtan2xdx；
）2x； （3）?xarctanxln(1?x2)dx。2
范文八：·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用
定积分的概念
1. 用定积分的几何意义画图说明下列等式： （1）
a 2 ? x 2 dx ?
cos xdx ? 2 ? cos xdx.
sin xdx ? 0
2. 利用定积分定义计算下列定积分：
·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用
定积分的性质
1. 不算出积分值，比较下列各组积分的大小，并说明理由. （1） I1 ?
（2） I1 ?
?1 ? x ? dx.
2. 证明不等式 ?2e ?
3. 设 f ?x ? 在[0，1]上连续， 在（0，1）内可导，且 5 （0，1）内存在一点 ? ，使 f ??? ? ? 0.
?1? f ? x ? dx ? f ? ? ， 证明在 ?2?
·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用
1. 求下列函数的导数： （1）
微积分基本公式
d x3 dx ? 0
1 ? t 2 dt.
d cos x 2 ? sin x cos ?? t ? dt dx
et dt ? ? cos tdt ? 0 所决定的隐函数 y ? y?x ? 的导数
（4）设 F ? x ? ?
? ? x ? u ? f ?u ? du ，其中 f ?x ? 连续，求 F ???x?
2. 当 x 为何值时， I ? x ?
te?t dt 取得极值？
3. 求极限： lim
·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用
4. 设 f ?x ? ? ?
2 ? x 2 , x ? ?0,1? ，计算 ? f ? x ?dx 0 x ? ?1,2? ?x
5. 证明：当 x ? 0 时，
1 dt dt ? x ?? ? 0 1? t2 0 1? t2 ? 2
6. 计算下列积分： （1）
dx ? a ? 0? a ? x2
·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用
1. 计算下列定积分： （1）
定积分的换元法
1 ? x2 dx x2
1 ? sin 2 xdx （参看后面第 4 题结论）
dx x ? a2 ? x2
dx 1? x ?1
cos x ? cos3 xdx
cos x cos 2 xdx.
? 1 ?1 ? x , x ? 0 ? f ? x ? 1? dx ，其中 f ? x ? ? ? ? 1 ,x ? 0 ?1 ? e x ?
·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用
2. 利用函数的奇偶性计算： （1）
x 2 ? sin x ? 5x 2 ? dx
cos x ? cos x ? sin x ? dx
sin10 x sin10 x ? cos10 x
4. 设 f ?x ? 是以 T 为周期的连续函数，证明：
f ? x ? dx ? ? f ? x ? dx.
·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用
1. 计算下列定积分： （1）
定积分的分部积分法
x dx cos2 x
xan tan xdx
ln ?1 ? x ? dx
e x sin xdx
·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用
2. 利用递椎公式计算：
I100 ? ? x sin100 xdx
3. 设 f ? x ? 连续，证明：
? u f ? t ? dt ? du ? x ? x ? u ? f ? u ? du ? 0 ?? 0 ?0 ? ? ?
·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用
广义积分与Γ-函数
1. 判别下列广义积分的收敛性，如收敛，则计算广义积分的值： （1）
e? kt e pt dt
e?t sin tdt
dx x ? 2x ? 2
? ?1 ? x ?
·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用
dx x 1 ? ? ln x ?
2. 利用Γ -函数计算： （1） I n ?
（n xne? x dx ， 为自然数）
3. 当 k 为何值时，广义积分 散？
dx ? ? x ? a ? ?b ? a ? 收敛？又当 k 为何值时，此广义积分发
4. I ? k ? ?
dx x ? ln x ?
，求函数 I（k）的定义域，当 k 取何值时，I（k）取得最小值？
·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用
定积分的几何应用（一）
1. 求由下列各曲线所围成的图形的面积： （1） y ? ex , y ? e? x , x ? 1；
（2） y ? 3 ? x2 , y ? 2 x
（3） y ? ln x, y ? ln a, y ? ln b ?b ? a ? 0? , x ? 0.
2. 求位于曲线 y ? e x 下方，该曲线过原点的切线的左方以及 x 轴上方之间的图形的面 积.
·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用
3. 求曲线 y ? x2 与直线 y ? kx ? 1 所围平面图形的面积，问 k 为何时，该面积最小？
4. 现有抛物线 y ? x2 ? 0 ? x ? 1? 和直线 y ? a ? 0 ? a ? 1? ，它们与直线 x ? 0 围成的面 积为 A1 ，与直线 x ? 1 围成的面积为 A2，求 A ? A ? A2 的最小值. 1
·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用
1. 求 y ? 体积.
定积分的几何应用（二）
x3 , x ? 0, y ? 8 所围成的图形分别绕 y 轴及直线 x ? 4 旋
转所得的旋转体的
2. x ? y ? a 绕直线 x ? a 旋转的旋转体的体积.
3. 有一立体以抛物线 y 2 ? 2 x 与直线 x ? 2 所围成图形为底，而垂直于抛物线轴的截面 都是等边三角形，求其体积.
·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用
4. 证明曲线 y ? f ? x ? ? 0, y ? 0, x ? a, x ? b ?b ? a ? 0? 所围曲边梯形绕 y 轴旋转的旋 转体的体积公式为：
V ? 2? ? xf ? x ? dx
5. 求半径为 R 的球体中高为 h ? h ? R? 的球缺的体积.
·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用
1. 已知边际成本为 C ? ? x ? ? 7 ?
定积分的经济应用
25 ，固定成本为 1000，求总成本函数. x
2. 已知边际收益 R? ? x ? ? a ? bx ，求收益函数.
3. 已知边际成本为 C? ? x ? ? 100 ? 2x ，求当产量由 x ? 20 增加到 x ? 30 时，应追加的 成本数.
4. 已知边际收益为 R? ? x ? ? 60 ? 2x ，边际成本为 C? ? x ? ? 30 ? 4x （固定成本为 0） ， 求最大利润.
·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用
5. 某地区居民购买商品房的消费支出 W ? x ? 的变化率是居民总收入 x 的函数，
1 ， 当地居民的总收入由 x ? 4 亿增加到 x ? 9 亿元时， 购买商品房的支出增 200 x
6. 某公司按利率 10% （连续复利） 贷款 100 万元购买某设备， 该设备使用 10 年后报废， 公司每年可收入 b 万元 （1）b 为何时公司不会亏本？ （2）当 b ? 20 万元时，求收益的资本价值.
范文九：微积分定积分练习题
1、函数f(x)＝?
的图象与x轴所围成的图形面积S为(
2．用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是(
A．?cf(x)dx
B．|?cf(x)dx| ?a?a
C．?bf(x)dx＋?cf(x)dx
D．?cf(x)dx－?bf(x)dx ?a?b?b?a
3．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1所围成的图形面积是(
4． ?0(2x?4)dx=
6． 若?(2x?)dx?3?ln2，且a＞1，则a的值为
7． ?(ex?e?x)dx=
8． 曲线y?cosx,x?[0,?]与坐标轴围成的面积
9． 曲线y?x2与直线y?x?2所围成的图形（阴影部分）的面积等于． 10．若?0(3x2?4x?5)dx=a3-2（a＞1），则a=
。 11．计算下列定积分的值
（1）?(4x?x)dx；
（2）?2(x?sinx)dx；
（ 3）?2?cos2xdx。
12．求定积分：?x(9?x)dx
范文十：高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
一、选择题
1．(2010·山东日照模考)a＝?2xdx，b＝?2exdx，c＝?2sinxdx，则a、b、c的大小关系是(
C．c<b2，c＝?2sinxdx＝－cosx|02＝1－cos2
2．(2010·山东理，7)由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为(
12[答案] A 1
?y＝x2由??y＝x3
得交点为(0,0)，(1,1)．
∴S＝?1(x2－x3)dx＝
?x－4??0＝???12
[点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：
(2010·湖南师大附中)设点P在曲线y＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP，直线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记作S1，S2.如图所示，当S1＝S2时，点P的坐标是(
?39??415?C.?，
?416B.? ?59??413?D.? ?57?
[解析] 设P(t，t2)(0≤t≤2)，则直线OP：y＝tx，∴S1＝?
t(tx－x2)dx＝
；S2＝?2(x2－tx)dx＝63
2t＋S1＝S2，则t＝P?.
3．由三条直线x＝0、x＝2、y＝0和曲线y＝x3所围成的图形的面积为(
[解析] S＝?2x3dx＝
4．(2010·湖南省考试院调研)?1－1(sinx＋1)dx的值为(
C．2＋2cos1
[答案] B [解析]
D．2－2cos1
1－1(sinx＋1)dx＝(－cosx＋x)|－1＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2. ??
5．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1所围成的图形面积是(
2[答案] A [解析] 如右图，
B．3π D．π
S＝∫02π(1－cosx)dx
＝(x－sinx)|02π＝2π. [点评]
此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为?，π?，则对称
性就无能为力了．
6．函数F(x)＝?xt(t－4)dt在[－1,5]上(
A．有最大值0，无最小值 B．有最大值0和最小值－
C．有最小值－
D．既无最大值也无最小值 [答案] B
[解析] F′(x)＝x(x－4)，令F′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4， 73225
∵F(－1)＝－，F(0)＝0，F(4)＝－，F(5)＝－33332
∴最大值为0，最小值为－3
[点评] 一般地，F(x)＝?xφ(t)dt的导数F′(x)＝φ(x)．
7．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n，函数
f(x)＝?t，若f(x)<a3，则x的取值范围是(
B．(0，e21)
C．(e－11，e)
D．(0，e11)
[解析] f(x)＝?xdt＝lnt|1x＝lnx，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，0<x<e11.
8．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(
该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是(
π[答案] A
[解析] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S＝?πsinxdx＝－cosx|0π
＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P＝
S矩形OABC2ππ
?x＋－2≤x
9．(2010·吉林质检)函数f(x)＝?π
的图象与x轴所围成的图形面积S为(
[解析] 面积S－2f(x)dx＝?0－2(x＋2)dx＋∫2cosxdx＝2＋2＝4.
10．(2010·沈阳二十中)设函数f(x)＝x－[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g(x)＝－f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m，f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n，
3则?ng(x)dx的值是(
[解析] 由题意可得，当0<x<1时，[x]＝0，f(x)＝x，当1≤x<2时，[x]＝1，f(x)＝x－1，所以当x∈(0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函数有4个交点，所以m＝1，n＝4，
则?g(x)dx＝??－dx＝?m?1?3?
11．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b、c可以相等)，若关于x的方程x2＋2bx＋c＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为(
[解析] 方程x2＋2bx＋c＝0有实根的充要条件为Δ＝4b2－4c≥0，即b2≥c，
由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p＝
12．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y＝x2(x≥0)与x轴，直线x＝1构成区域M，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M内的概率是(
[解析] 如图，正方形面积1，区域M的面积为S＝?1x2dx＝x3|01
11＝，故所求概率p＝33
二、填空题
13．(2010·芜湖十二中)已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若?1－1f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.
1[答案] －1或3
[解析] ∵?1－1f(x)dx＝?1－1(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|－11＝4，?1－1f(x)dx＝2f(a)，∴6a2＋
4a＋2＝4，
∴a＝－1或3
14．已知a＝∫(sinx＋cosx)dx，则二项式(2[答案] －192
[解析] 由已知得a＝∫(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)|＝(sin－cos－(sin0－cos0)＝2，
6的展开式中含x2项的系数是________．
)6的展开式中第r＋1项是Tr＋1＝(－1)r×C6r×26－r×x3－r，令3－r＝2得，r＝1，故其系数
为(－1)1×C61×25＝－192.
15．抛物线y2＝2x与直线y＝4－x围成的平面图形的面积为________． [答案] 18
解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y作为积分变量x＝、x
∴S＝?2－4[(4－y)－＝(4y－－)|－42＝18.
16．(2010·安徽合肥质检)抛物线y2＝ax(a>0)与直线x＝1围成的封闭图形的面积为l与抛
3物线相切且平行于直线2x－y＋6＝0，则l的方程为______．
[答案] 16x－8y＋1＝0 [解析] 由题意知?
axdx＝a＝1，
设l：y＝2x＋b代入y2＝x中，消去y得， 4x2＋(4b－1)x＋b2＝0， 1
由Δ＝0得，b＝，
8∴l方程为16x－8y＋1＝0.
17．(2010·福建福州市)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为
，则a的值为________．
[答案] －1
[解析] f ′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f ′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝
S阴影＝－?0(－x3＋ax2)dx＝
，∴a＝－1.
三、解答题
18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，试在此区间内确定t的值，使图中阴影部分的面积S1＋S2最小．
[解析] 由题意得S1＝t·t2－?tx2dx＝t3，
S2＝?1x2dx－t2(1－t)＝3－t2＋，
所以S＝S1＋S2＝3－t2＋(0≤t≤1)．
33又S′(t)＝4t2－2t＝4t?t－
令S′(t)＝0，得t＝或t＝0.
因为当0<tS′(t)0.
所以S(t)在区间?0，上单调递减，在区间?，1?上单调递增．
所以，当t＝Smin＝. 24