在四棱锥p abcd中-ABCD中，PE：PC=2...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-09-30 09:20 标签： 四棱锥p abcd中
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2 2 ,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC． （Ⅰ）证如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2 2,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED_百度作业帮
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2 2 ,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC． （Ⅰ）证如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2 2,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2 2 ,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC． （Ⅰ）证如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2 2,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小．
方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形,所以BD⊥AC,又PA⊥底面ABCD,所以PC⊥BD.设AC∩BD＝F,连结EF.因为AC＝2,PA＝2,PE＝2EC,故PC＝2,EC＝,FC＝,从而＝,＝.因为＝,∠FCE＝∠PCA,所以△FCE∽△PCA,∠FEC＝∠PAC＝90°,由此知PC⊥EF.PC与平面BED内两条相交直线BD,EF都垂直,所以PC⊥平面BED.(2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB,G为垂足．因为二面角A－PB－C为90°,所以平面PAB⊥平面PBC.又平面PAB∩平面PBC＝PB,故AG⊥平面PBC,AG⊥BC.BC与平面PAB内两条相交直线PA,AG都垂直,故BC⊥平面PAB,于是BC⊥AB,所以底面ABCD为正方形,AD＝2,PD＝＝2.设D到平面PBC的距离为d.因为AD∥BC,且AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,故AD∥平面PBC,A、D两点到平面PBC的距离相等,即d＝AG＝.设PD与平面PBC所成的角为α,则sinα＝＝.所以PD与平面PBC所成的角为30°.方法二：(1)以A为坐标原点,射线AC为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.设C(2,0,0),D(,b,0),其中b>0,则P(0,0,2),E,B(,－b,0)．于是＝(2,0,－2),＝,＝,从而·＝0,·＝0,故PC⊥BE,PC⊥DE.又BE∩DE＝E,所以PC⊥平面BDE.(2)＝(0,0,2),＝(,－b,0)．设m＝(x,y,z)为平面PAB的法向量,则m·＝0,m·＝0,即2z＝0且x－by＝0,令x＝b,则m＝(b,0)．设n＝(p,q,r)为平面PBC的法向量,则n·＝0,n·＝0,即2p－2r＝0且＋bq＋r＝0,令p＝1,则r＝,q＝－,n＝.因为面PAB⊥面PBC,故m·n＝0,即b－＝0,故b＝,于是n＝(1,－1,),＝(－,－,2),cos〈n,〉＝＝,〈n,〉＝60°.因为PD与平面PBC所成的角和〈n,〉互余,故PD与平面PBC所成的角为30°.G6
三垂线定理
如图，作F点，使PF等于三分之一PC，AC与BD交与H，连接EH、AF。因为PE=2EC，所以EC=EF=PF,又因为EH为三角形FAC的中位线，所以EH平行EA，如果PC垂直平面BEO，则PC垂直EF,所以PC垂直FA,所以AF为三角形PCA的高，又因为AC=PA=2，所以三角形的高应该在PC中点，与上面所证矛盾呀！是不是条件给错了？不过也有可能是我看错了，错了请原谅
尼玛，真纠结，寒假作业也是这条不会做第二问
哥们儿，给张图啊！！拿windows自带的画图工具画上一下吧如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2 2 ，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC． （Ⅰ）证_百度知道
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2 2 ，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC． （Ⅰ）证
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2 2，PA=2，E是PC上的一缉定光剐叱溉癸税含粳点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．
解：方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝2，PA＝2，PE＝2EC，故PC＝2，EC＝，FC＝，从而＝，＝.因为＝，∠FCE＝∠PCA，所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°，由此知PC⊥EF.PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED.(2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC.又平面PAB∩平面PBC＝PB，故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所以底面ABCD为正方形，AD＝2，PD＝＝2.设D到平面PBC的距离为d.因为AD∥BC，且AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，故AD∥平面PBC，A、D缉定光剐叱溉癸税含粳两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝.设PD与平面PBC所成的角为α，则sinα＝＝.所以PD与平面PBC所成的角为30°.方法二：(1)以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.设C(2，0,0)，D(，b,0)，其中b&0，则P(0,0,2)，E，B(，－b,0)．于是＝(2，0，－2)，＝，＝，从而·＝0，·＝0，故PC⊥BE，PC⊥DE.又BE∩DE＝E，所以PC⊥平面BDE.(2)＝(0,0,2)，＝(，－b,0)．设m＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，则m·＝0，m·＝0，即2z＝0且x－by＝0，令x＝b，则m＝(b，，0)．设n＝(p，q，r)为平面PBC的法向量，则n·＝0，n·＝0，即2p－2r＝0且＋bq＋r＝0，令p＝1，则r＝，q＝－，n＝.因为面PAB⊥面PBC，故m·n＝0，即b－＝0，故b＝，于是n＝(1，－1，)，＝(－，－，2)，cos〈n，〉＝＝，〈n，〉＝60°.因为PD与平面PBC所成的角和〈n，〉互余，故PD与平面PBC所成的角为30°.G6
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如图，作F点，使PF等于三分之一PC，AC与BD交与H，连接EH、AF。因为PE=2EC，所以EC=EF=PF,又因为EH为三角形FAC的中位线，所以EH平行EA，如果PC垂直平面BEO，则PC垂直EF,所以PC垂直FA,所以AF为三角形PCA的高，又因为AC=PA=2，所以三角形的高应该在PC中点，与上面所证矛盾呀！是不是条件缉定光剐叱溉癸税含粳给错了？不过也有可能是我看错了，错了请原谅
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