已知函数y x平方a∈R,函数f(x)=a/x+ln...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-09-30 14:52 标签： 已知函数y x平方
已知函数f(x)=x+a/x+lnx(a属于R)求函数的单调区间与极值点合肥三模的理科数学第十九题
天才暖暖50f
答：定义域为x∈(0,+∞),f'(x)=1-a/x²+1/x=(x²+x-a)/x²f'(x)=0时x²+x-a=0(x+1/2)²=a+1/4因为x∈(0,+∞),g(x)=(x+1/2)²在x∈(0,+∞)上递增,所以g(x)值域为(1/4,+∞).所以(x+1/2)²=a+1/4>1/4,即a>0.①当a≤0时f'(x)=0无解,此时f'(x)恒>0,f(x)在定义域上为增函数,即单调增区间为(0,+∞),无减区间,无极值点.②当a>0时,f(x)=0当且仅当x=(√(4a+1)-1)/2（另外一根为负值不在定义域内舍去）.x (0,(√(4a+1)-1)/2) ,(√(4a+1)-1)/2 ,((√(4a+1)-1)/2,+∞)f'(x) 0f(x) 递减 ,极小值 ,递增f((√(4a+1)-1)/2)=√(4a+1)+ln((√(4a+1)-1)/2)所以f(x)的单调增区间为((√(4a+1)-1)/2,+∞),减区间为(0,(√(4a+1)-1)/2),极小值点为((√(4a+1)-1)/2) ,√(4a+1)+ln((√(4a+1)-1)/2),无极大值点.
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f(x)定义域为(0,+∞),f'(x)=2(x-1)+a/x.不论a是多少,f(1)=0.若a=0,f(x)只有1个零点.若a0,且f'(x)=0在定义域内只有一个零点,该零点大于1.因此f(x)只有一个大于1的极值点.再考虑到lim(x→+∞)f(x)>0,此时f(x)有两个零点.若a>0,lim(x→0)f(x)=-∞.当a＞1/2时f'(x)恒为正,f(x)只有1个零点.当a=1/2时f(x)有1个极值点1/2此时依然只有1个零点.要想有3个零点,就必须是的f(x)有两极值点u,v(u0,f(v)<0.显然u=[1+√(1-2a)]/2设g(a)=f(u),不难发现f(u)是随着a增大递减的,而g(4/9)=4/9+4/9·ln(1/3)0,必须有0<a<4/9
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答：定义域为x∈(0,+∞),f'(x)=1-a/x&#178;+1/x=(x&#178;+x-a)/x&#178;f'(x)=0时x&#178;+x-a=0(x+1/2)&#178;=a+1/4因为x∈(0,+∞),g(x)=(x+1/2)&#178;在x∈(0,+∞)上递增,所以g(x)值域为(1/4,+∞).所以(x+1/2)&#178;=a+1/4>1/4,即a>0.①当a≤0时f'(x)=0无解,此时f'(x)恒>0,f(x)在定义域上为增函数,即单调增区间为(0,+∞),无减区间,无极值点.②当a>0时,f(x)=0当且仅当x=(√(4a+1)-1)/2（另外一根为负值不在定义域内舍去）.x (0,(√(4a+1)-1)/2) ,(√(4a+1)-1)/2 ,((√(4a+1)-1)/2,+∞)f'(x) 0f(x) 递减 ,极小值 ,递增f((√(4a+1)-1)/2)=√(4a+1)+ln((√(4a+1)-1)/2)所以f(x)的单调增区间为((√(4a+1)-1)/2,+∞),减区间为(0,(√(4a+1)-1)/2),极小值点为((√(4a+1)-1)/2) ,√(4a+1)+ln((√(4a+1)-1)/2),无极大值点.
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第-1小题正确答案及相关解析
（1）∵f（x）=-x-ln（-x）f′(x)=-1-=-∴当-e≤x＜-1时，f′（x）＜0，此时f（x）为单调递减当-1＜x＜0时，f'（x）＞0，此时f（x）为单调递增∴f（x）的极小值为f（-1）=1（2）∵f（x）的极小值，即f（x）在[-e，0）的最小值为1∴|f（x）|min=1令h(x)=g(x)+=-+又∵h′(x)=当-e≤x＜0时h′（x）≤0，h（x）在[-e，0）上单调递减∴h(x)max=h(-e)=+＜+=1=|f(x)|min∴当x∈[-e，0）时，|f(x)|＞g(x)+（3）假设存在实数a，使f（x）=ax-ln（-x）有最小值3，x∈[-e，0）f′(x)=a-①当a≥-时，由于x∈[-e，0），则f′(x)=a-≥0∴函数f（x）=ax-ln（-x）是[-e，0）上的增函数∴f（x）min=f（-e）=-ae-1=3解得a=-＜-（舍去）②当a＜-时，则当-e≤x＜时，f′(x)=a-＜0此时f（x）=ax-ln（-x）是减函数当＜x＜0时，f′(x)=a-＞0，此时f（x）=ax-ln（-x）是增函数∴f(x)min=f()=1-ln(-)=3解得a=-e2

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