用心爱心专心
求数列通项公式的类型及方法
递推公式是给出数列的基本方式之一，在近几年高考题中占着不小的比重。2008年高考数学19
份理科试卷，共19道数列部分的解答题，其中有17道涉及递推数列，（福建卷理科有两道题涉及数
列问题，江苏卷、江西卷中数列题不涉及递推），说每卷都有数列问题，数列必出递推也不为过。
中各满足以下条件，请分别求出该数列的通项公式
方法一：公式法：有递推公式确定该数列的类型，根据条件求首项、公差或公比，直接利用公式求通
所以该数列的通项公式为
方法二：叠加法：递推式为
-1)是可求的，可用叠加法
所以该数列的通项公式为
方法三：累乘法：递推式为
，可用累乘法
用心爱心专心
为首项，2为公比的等比数列。
方法四：构造法：形如
此类问题可化为
是一个以p为公比的等比数列.
这种递推关系式还可演变为三种难度稍大的递推关系式:
它的解法是恰当地构造辅助数列,转化为该类型的解法.下面各举一
代入已知递推式中得:
小结：递推关系形如：
）的数列令
比较解出系数x，y构造等比数列
解:将已知递推式两边同除以
小结：形如：
比数列解出
用心爱心专心
(8).（2008年高考陕西理22）已知数列
的通项公式；
解：（Ⅰ）
为公比的等比数列．
小结：递推关系形如：
的数列，可采用取倒数方法转化成为
前面的方法解决。
由①-②可得
所以该数列是以1为首项，公比为
的等比数列，则可得
有关的数列通项时，通常用公式
作为桥梁，
的关系式求
的关系式先求S
作业：已知数列
，求该数列的通项公式
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求数列的通项公式常见类型与方法
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讲解数列通项公式的求法-15种类型
数列通项公式的求法
数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。小结：除了熟悉以上常见求法以外，对具体的数列进行适当的变形，一边转化为熟知的数列模型更是突破数列通项的关键。做题时要不断总结经验，多加琢磨。
总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中.
1.直接法2.公式法3.归纳猜想法4.累加（乘）法5.取倒（对）数法6.迭代法7.待定系数法8.特征根法9.不动点法10.换元法11.双数列12.周期型13.分解因式法14.循环法15.开方法
◆一、直接法
根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。
例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
（1）9，99，999，9999，…
916,4,? 1017
212（3）1,,,,? 325
1234（4）,?,,?,? ,2,31245
◆二、公式法
①利用等差数列或等比数列的定义求通项
②若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列?an?的通项an可用公式an??
(注意：求完后一定要考虑合并通项)
②已知数列?an?的前n项和Sn满足Sn
已知等比数列?an?的首项a1?1，公比0?q?1，设数列?bn?的通项为bn?an?1?an?2，求数列
通项公式。
?S1????????????????n?1求解. ?Sn?Sn?1???????n?2例2．①已知数列?an?的前n项和Sn满足Sn?2an?(?1),n?1．求数列?an?的通项公式. n?n2?n?1，求数列?an?的通项公式. ?bn?的
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高二必修数学求数列通项公式知识点总结
&　　数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的逻辑推理及对完美境界的追求。育路学习网为大家推荐了高二必修数学求数列通项公式知识点，请大家仔细阅读，希望你喜欢。
　　等差数列
　　对于一个数列{a n }，如果任意相邻两项之差为一个常数，那么该数列为等差数列，且称这一定值差为公差,记为从第一项 a 1 到第n项 a n
的总和，记为 S n 。
　　那么 ， 通项公式为，其求法很重要，利用了&叠加原理&的思想：
　　将以上 n-1 个式子相加， 便会接连消去很多相关的项 ，最终等式左边余下a n ,而右边则余下 a1和 n-1
个d,如此便得到上述通项公式。
　　此外， 数列前 n 项的和，其具体推导方式较简单，可用以上类似的叠加的方法，也可以采取迭代的方法，在此，不再复述。
　　值得说明的是，，也即，前n项的和Sn 除以 n 后，便得到一个以a 1 为首项，以 d /2 为公差的新数列，利用这一特点可以使很多涉及Sn
的数列问题迎刃而解。
　　等比数列
　　对于一个数列 {a n }，如果任意相邻两项之商(即二者的比)为一个常数，那么该数列为等比数列，且称这一定值商为公比从第一项 a 1 到第n项
a n 的总和，记为 T n 。
　　那么， 通项公式为(即a1 乘以q 的 (n-1)次方，其推导为&连乘原理&的思想：
　　a 2 = a 1 *q,
　　a 3 = a 2 *q,
　　a 4 = a 3 *q,
　　````````
　　a n = a n-1 *q,
　　将以上(n-1)项相乘，左右消去相应项后，左边余下a n , 右边余下 a1 和(n-1)个q的乘积，也即得到了所述通项公式。
　　此外， 当q=1时 该数列的前n项和 Tn=a1*n
　　当q&1时 该数列前n 项的和 T n = a1 * ( 1- q^(n)) / (1-q).
　　育路小编为大家提供的高二必修数学求数列通项公式知识点，大家仔细阅读了吗?最后祝同学们学习进步。
　　特别说明：由于各省份高考政策等信息的不断调整与变化，育路高考网所提供的所有考试信息仅供考生及家长参考，敬请考生及家长以权威部门公布的正式信息为准。
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北京育路互联科技有限公司版权所有| 京ICP备号-13求数列通项的九种类型及解法；1.形如an?1?an?f(n)型；（1）若f(n)为常数,即：an?1?an?d,；（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.；方法如下：由an?1?an?f(n)得：；n?2时，an?an?1?f(n?1)，；an?1?an?2?f(n?2)，；??；a3?a2?f(2)；a2?a1?f(1)；所以各式相加得an?a1?f(n?
求数列通项的九种类型及解法
1.形如an?1?an?f(n)型
（1）若f(n)为常数,即：an?1?an?d,此时数列为等差数列，则an=a1?(n?1)d.
（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.
方法如下： 由 an?1?an?f(n)得：
n?2时，an?an?1?f(n?1)，
an?1?an?2?f(n?2)，
a3?a2?f(2)
a2?a1?f(1)
所以各式相加得 an?a1?f(n?1)?f(n?2)???f(2)?f(1)
即：an?a1??f(k).
为了书写方便，也可用横式来写：
? n?2时，an?an?1?f(n?1)，
?an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1 =f(n?1)?f(n?2)???f(2)?f(1)?a1.
例 1. （2003天津文） 已知数列｛a?1,an?1
n｝满足a1n?3?an?1(n?2),
证明：由已知得：an?an?1n?1?3,故
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1 nn
=3n?1?3n?2???3?1?3?1
例2.已知数列?an?的首项为1，且an?1?an?2n(n?N*)写出数列?an?的通项公式.
例3.已知数列{an}满足a1?3，an?an?1?1
n(n?1)(n?2)，求此数列的通项公式.
答案：an?2?1
评注：已知a1?a,an?1?an?f(n)，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项an. ①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
例4.已知数列{an}中, an?0且Sn?1
an),求数列{an}的通项公式.
Sn?Sn?1解:由已知Sn?12(an?n
an)得Sn?12(Sn?Sn?1?),
化简有Sn2222?Sn?1?n,由类型(1)有Sn?S1?2?3???n,
又S12?a1得a1?1,所以Sn?n(n?1)
,又an?0,sn?2n(n?1)2, 则an?2n(n?1)?2n(n?1)
此题也可以用数学归纳法来求解.
2.形如an?1
an（1）当f(n)为常数，即：n?1?q（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，an=a1?q.
（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.
a1anan?1?f(n?1)， ?an?an?1an?2?????a1=f(n)f(n-1)??f(1)?a1.
例1.设?an?是首项为1的正项数列，且
解：已知等式可化为：(an?1?n?1?an2?1?nan2?an?1an?0（n=1，2， 3，?），则它的通项公式是an=________. ?an)?(n?1)an?1?nan??0
?an?0(n?N*)?(n+1)an?1?nan?0,
ananan?1??n?1n??? ?an?an?1a2
a1an?1an?2?a1=n?1n?211????1=nn?12n.
评注：本题是关于an和an?1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到an与an?1的更为明显的关系式，从而求出an.
例2.已知an?1
解：因为an?1
故an?1?nan?n?1,a1??1,求数列{an}的通项公式. ?nan?n?1,所以an?1?1?nan?n, ?1?n(an?1),又因为a1??1,即a1?1?0，
所以由上式可知an?1?0,所以an?1?1
an?1?n,故由累乘法得
=(nan?1an?1?1an?2?1?an?1?1???a3?1a2?1??(a1?1) a2?1a1?1?1)?(n?2)???2?1?(a1?1)?(n?1)!?(a1?1)
?(n?1)!?(a1?1)-1.
?nan?n?1,转化为 所以an评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式an?1
an?1?1?n(an?1),若令bn?an?1,则问题进一步转化为bn?1?nbn形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.
3.形如an?1?an?f(n)型
?an?d（d为常数），则数列{an}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论; （1）若an?1
（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为an?1?an?f(n)型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得an?1?an?1?f(n)?f(n?1)，，分奇偶项来分求通项.
例1. 数列{an}满足a1?0,an?1?an?2n,求数列{an}的通项公式.
?an?f(n)型 分析 1：构造 转化为an?1
解法1：令bn
则bn?1?(?1)nan ?bn?(?1)n?1an?1?(?1)nan?(?1)n?1(an?1?an)?(?1)n?1?2n.
?bn?bn?1?(?1)n?2(n?1)?n?1?bn?1?bn?2?(?1)?2(n?2)? n?2时,???
?2b?b?(?1)?2?121??b1??a1?0?
各式相加:bn?2(?1)n(n?1)?(?1)n?1(n?2)???(?1)3?2?(?1)2?1 ??当n为偶数时，bnn?2???2?(n?1)?(?1)???n. 2??
此时an?bn?n
当n为奇数时，bn
此时bn?2(?n?12)??n?1 ??an,所以an?n?1.
故 ?n?1,n为奇数,an??
?n,n为偶数.
?an?2n 解法2：?an?1
?n?2时，an?an?1?2(n?1)，
两式相减得：an?1?an?1?2.
?a1,a3,a5,?,构成以a1,为首项，以2为公差的等差数列; a2,a4,a6,?,构成以a2,为首项，以2为公差的等差数列 ?a2k?1?a1?(k?1)d?2k?2
a2k?a2?(k?1)d?2k.
?n?1,n为奇数, ?an?? n,n为偶数.?
评注：结果要还原成n的表达式.
例2.（2005江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足 Sn－Sn－2=3(?1
2)n?1(n?3),且S1?1,S2??3
2,求数列{an}的通项公式. 解：方法一：因为Sn
以下同例1，略 1?Sn?2?an?an?1所以an?an?1?3?(?)n?1(n?3), 2
1n?1?4?3?(),n为奇数,??2答案
an?? 1??4?3?()n?1,n为偶数.?2?
?an?f(n)型
?an?p(p为常数)，则数列{an}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;
?an?1?f(n?1)，两式相除后，分奇偶项来分求通项. 4.形如an?1（1）若an?1（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得an
例1. 已知数列{an}满足
注：同上例类似，略.
5．形如an?11a1?3,an?an?1?()n,(n?N*),求此数列的通项公式. 2?can?d,(c?0,其中a1?a)型
（1）若c=1时，数列{an}为等差数列;
（2）若d=0时，数列{an}为等比数列;
（3）若c?1且d?0时，数列{an}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
???c(an??), 方法如下：设an?1
得an?1?can?(c?1)?,与题设an?1?can?d,比较系数得 (c?1)??d,所以??
所以有：andc?1,(c?0) dc?1) ?d
c?1?c(an?1?
因此数列?an??
?d?d为首项，以c为公比的等比数列， ?构成以a1?c?1?c?1
即：an?dc?1?(a1?dc?1dc?1)?cn?1 dc?1. ?(a1?)?cn?1?
规律：将递推关系an?1?can?d化为an?1?d
c?1?c(an?d
c?1),构造成公比为c的等比数列{an?从而求得通项公式c?1d
1?c?cn?1(a1?d
有时我们从递推关系an?1
为c的等比数列{an?1
例1．已知数列{an}中，a1
?can?d中把n换成n-1有an?can?1?d,两式相减有an?1?an?c(an?an?1)从而化为公比?an},进而求得通项公式. an?1?an?cn(a2?a1),再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较?2,an?1?12an?12,求通项an.
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