矩阵高次幂的简单求法_图文_百度文库
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矩阵高次幂的简单求法
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提问者采纳
这里的X是一个列向量，对称矩阵A是二次型f的矩阵，因为这里写的是正定矩阵，所以X∧TAX＞0
至于为什么大于零，请查看正定矩阵的概念。
我说的是矩阵是一个矩阵而不是一个值，怎么大于0
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当x为列向量时，xTAx即为一个数而不是矩阵（xTA是一个行向量，行向量×列向量就是个标量）
举个例子行不，简单点的三阶方阵形的
例子都要别人举怎么上的大学。
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5-1.0 二次型及矩阵表示
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只有当矩阵 A的列数与矩阵 B的行数相等时 A× B才有意义。一个 m× n的矩阵 a（m, n)左乘一个 n× p的矩阵 b（n, p)，会得到一个 m× p的矩阵 c（m, p)，满足矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律一般的矩乘要结合快速幂才有效果。（基本上所有矩阵乘法都要用到快速幂的）在计算机中，一个矩阵说穿了就是一个二维数组。一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵，得到的结果是一个n行p列的矩阵，其中的第i行第j列位置上的数等于前一个矩阵第i行上的m个数与后一个矩阵第j列上的m个数对应相乘后所有m个乘积的和。比如，下面的算式表示一个2行2列的矩阵乘以2行3列的矩阵，其结果是一个2行3列的矩阵。其中，结果的那个4等于2*2+0*1：矩阵乘法的c语言程序：#includefloat main(){float a,b,c;//定义三个数组，分别存储矩阵A,B,Cint m1,n1,m2,n2,i1,j1,i2,j2,i3,j3,i4,j4,k;float s={0};//赋值使数组s元素初值全部为零printf("请输入矩阵A行数m1,列数n1:");//输入矩阵A行数，列数scanf("%d,%d",&m1,&n1);printf("请输入矩阵B行数m2,列数n2:");//输入矩阵B行数，列数scanf("%d,%d",&m2,&n2);printf("\n\n");//如果不可以相乘，下面将出现判断，在此换行，便于观看if(n1!=m2)printf("不可以相乘！！！");//判断是否可以相乘printf("\n\n");if((m1>100)||(n1>100))printf("数目过多！！！");//控制矩阵A元素数量在数组容纳范围内else{for(i1=1;i1<=m1;i1++){for(j1=1;j1<=n1;j1++){printf("a[%d][%d]=:",i1,j1);scanf("%f",&a[i1][j1]);//输入矩阵A元素}}}printf("\n");//分隔开A,B的元素输入，便于观看if((m2>100)||(n2>100))printf("数目过多！！！");else{for(i2=1;i2<=m2;i2++){for(j2=1;j2<=n2;j2++){printf("b[%d][%d]=:",i2,j2);scanf("%f",&b[i2][j2]);//输入矩阵B元素}}}printf("矩阵A:\n");//输出矩阵A，便于观看，检验for(i3=1;i3<=m1;i3++){for(j3=1;j3<=n1;j3++){printf("%f ",a[i3][j3]);if(j3==n1)printf("\n");}}printf("\n");//与矩阵B的输出结果隔开，便于观看printf("矩阵B:\n");//输出矩阵A，便于观看，检验for(i4=1;i4<=m2;i4++){for(j4=1;j4<=n2;j4++){printf("%f ",b[i4][j4]);if(j4==n2)printf("\n");}}printf("\n")；printf("矩阵C=A*B:\n");for(i4=1;i4<=m1;i4++){for(j4=1;j4<=n2;j4++){for(k=1;k<=n1;k++){s[i4][j4]=s[i4][j4]+a[i4][k]*b[k][j4];//定义矩阵乘法，相乘时，有一个指标是一样的，都用k}c[i4][j4]=s[i4][j4];//定义矩阵乘法printf("%f ",c[i4][j4]);if(j4==n2)printf("\n");//控制在列指标到达N时换行}}return 0;}图片展示程序运行结果示例： 一般矩乘的代码：function mul( a , b : Tmatrix ) : Tvari,j,k :c : Tbeginfillchar( c , sizeof( c ) , 0 );for k:=0 to n dofor i:=0 to m dofor j:=0 to p dobegininc( c[ i , j ] , a[ i , k ]*b[ k , j ] );if c[ i , j ] > ra then c[ i , j ]:=c[ i , j ]mul:=c;这里我们不介绍其它有关矩阵的知识，只介绍矩阵乘法和相关性质。矩阵乘法不要以为数学中的矩阵也是黑色屏幕上不断变化的绿色字符。在数学中，一个矩阵说穿了就是一个二维数组。一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵，得到的结果是一个n行p列的矩阵，其中的第i行第j列位置上的数等于前一个矩阵第i行上的m个数与后一个矩阵第j列上的m个数对应相乘后所有m个乘积的和。比如，下面的算式表示一个2行2列的矩阵乘以2行3列的矩阵，其结果是一个2行3列的矩阵。其中，结果的那个4等于2*2+0*1： 右面的算式则是一个1 x 3的矩阵乘以3 x 2的矩阵，得到一个1 x 2的矩阵：矩阵乘法的两个重要性质： 一，矩阵乘法不满足交换律；二，矩阵乘法满足结合律。为什么矩阵乘法不满足交换律呢？因为交换后两个矩阵有可能不能相乘。为什么它又满足结合律呢？假设你有三个矩阵A、B、C，那么(AB)C和A(BC)的结果的第i行第j列上的数都等于所有A(ik)*B(kl)*C(lj)的和（枚举所有的k和l）。
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1.结合性 （ AB) C= A( BC）．2.对加法的分配性 （ A+ B) C= AC+ BC， C( A+ B）= CA+ CB ．3.对数乘的结合性 k( AB）=（ kA) B = A( kB）．4.关于转置 (AB)'=B'A'．
矩阵乘法 -
给定n个点，m个操作，构造O(m+n)的算法输出m个操作后各点的位置。操作有平移、缩放、翻转和旋转这里的操作是对所有点同时进行的。其中翻转是以坐标轴为对称轴进行翻转（两种情况），旋转则以原点为中心。如果对每个点分别进行模拟，那么m个操作总共耗时O(mn)。利用矩阵乘法可以在O(m)的时间里把所有操作合并为一个矩阵，然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置，总共耗时O(m+n)。假设初始时某个点的坐标为x和y，下面5个矩阵可以分别对其进行平移、旋转、翻转和旋转操作。预先把所有m个操作所对应的矩阵全部乘起来，再乘以(x,y,1)，即可一步得出最终点的位置。给定矩阵A，请快速计算出A^n（n个A相乘）的结果，输出的每个数都modp。由于矩阵乘法具有结合律，因此A^4=A*A*A*A=(A*A)*(A*A)=A^2*A^2。我们可以得到这样的结论：当n为偶数时，A^n=A^(n/2)*A^(n/2)；当n为奇数时，A^n=A^(n/2)*A^(n/2)*A（其中n/2取整）。这就告诉我们，计算A^n也可以使用二分快速求幂的方法。例如，为了算出A^25的值，我们只需要递归地计算出A^12、A^6、A^3的值即可。根据这里的一些结果，我们可以在计算过程中不断取模，避免高精度运算。POJ3233题目大意：给定矩阵A，求A+A^2+A^3+...+A^k的结果（两个矩阵相加就是对应位置分别相加）。输出的数据modm。k<=10^9。这道题两次二分，相当经典。首先我们知道，A^i可以二分求出。然后我们需要对整个题目的数据规模k进行二分。比如，当k=6时，有：A+A^2+A^3+A^4+A^5+A^6=(A+A^2+A^3)+A^3*(A+A^2+A^3)应用这个式子后，规模k减小了一半。我们二分求出A^3后再递归地计算A+A^2+A^3，即可得到原问题的答案。VOJ1049题目大意：顺次给出m个置换，反复使用这m个置换对初始序列进行操作，问k次置换后的序列。m<=10,k<2^31。首先将这m个置换“合并”起来（算出这m个置换的乘积），然后接下来我们需要执行这个置换k/m次（取整，若有余数则剩下几步模拟即可）。注意任意一个置换都可以表示成矩阵的形式。例如，将1234置换为3124，相当于下面的矩阵乘法：置换k/m次就相当于在前面乘以k/m个这样的矩阵。我们可以二分计算出该矩阵的k/m次方，再乘以初始序列即可。做出来了别忙着高兴，得意之时就是你灭亡之日，别忘了最后可能还有几个置换需要模拟。《算法艺术与信息学竞赛》207页（2.1代数方法和模型，[例题5]细菌，版次不同可能页码有偏差）大家自己去看看吧，书上讲得很详细。解题方法和上一题类似，都是用矩阵来表示操作，然后二分求最终状态。给定n和p，求第n个Fibonacci数modp的值，n不超过2^31根据前面的一些思路，现在我们需要构造一个2x2的矩阵，使得它乘以(a,b)得到的结果是(b,a+b)。每多乘一次这个矩阵，这两个数就会多迭代一次。那么，我们把这个2x2的矩阵自乘n次，再乘以(0,1)就可以得到第n个Fibonacci数了。不用多想，这个2x2的矩阵很容易构造出来：VOJ1067我们可以用上面的方法二分求出任何一个线性递推式的第n项，其对应矩阵的构造方法为：在右上角的(n-1)*(n-1)的小矩阵中的主对角线上填1，矩阵第n行填对应的系数，其它地方都填0。例如，我们可以用下面的矩阵乘法来二分计算f(n)=4f(n-1)-3f(n-2)+2f(n-4)的第k项：利用矩阵乘法求解线性递推关系的题目我能编出一卡车来。这里给出的例题是系数全为1的情况。给定一个有向图，问从A点恰好走k步（允许重复经过边）到达B点的方案数modp的值把给定的图转为邻接矩阵，即A(i,j)=1当且仅当存在一条边i->j。令C=A*A，那么C(i,j)=ΣA(i,k)*A(k,j)，实际上就等于从点i到点j恰好经过2条边的路径数（枚举k为中转点）。类似地，C*A的第i行第j列就表示从i到j经过3条边的路径数。同理，如果要求经过k步的路径数，我们只需要二分求出A^k即可。矩阵乘法矩阵乘法矩阵乘法经典题目9用1x2的多米诺骨牌填满MxN的矩形有多少种方案，M<=5，N<2^31，输出答案modp的结果我们以M=3为例进行讲解。假设我们把这个矩形横着放在电脑屏幕上，从右往左一列一列地进行填充。其中前n-2列已经填满了，第n-1列参差不齐。现在我们要做的事情是把第n-1列也填满，将状态转移到第n列上去。由于第n-1列的状态不一样（有8种不同的状态），因此我们需要分情况进行讨论。在图中，我把转移前8种不同的状态放在左边，转移后8种不同的状态放在右边，左边的某种状态可以转移到右边的某种状态就在它们之间连一根线。注意为了保证方案不重复，状态转移时我们不允许在第n-1列竖着放一个多米诺骨牌（例如左边第2种状态不能转移到右边第4种状态），否则这将与另一种转移前的状态重复。把这8种状态的转移关系画成一个有向图，那么问题就变成了这样：从状态111出发，恰好经过n步回到这个状态有多少种方案。比如，n=2时有3种方案，111->011->111、111->110->111和111->000->111，这与用多米诺骨牌复盖3x2矩形的方案一一对应。这样这个题目就转化为了我们前面的例题8。后面我写了一份此题的源代码。你可以再次看到位运算的相关应用。经典题目10POJ2778题目大意是，检测所有可能的n位DNA串有多少个DNA串中不含有指定的病毒片段。合法的DNA只能由ACTG四个字符构成。题目将给出10个以内的病毒片段，每个片段长度不超过10。数据规模n<=。下面的讲解中我们以ATC,AAA,GGC,CT这四个病毒片段为例，说明怎样像上面的题一样通过构图将问题转化为例题8。我们找出所有病毒片段的前缀，把n位DNA分为以下7类：以AT结尾、以AA结尾、以GG结尾、以?A结尾、以?G结尾、以?C结尾和以?结尾。其中问号表示“其它情况”，它可以是任一字母，只要这个字母不会让它所在的串成为某个病毒的前缀。显然，这些分类是全集的一个划分（交集为空，并集为全集）。现在，假如我们已经知道了长度为n-1的各类DNA中符合要求的DNA个数，我们需要求出长度为n时各类DNA的个数。我们可以根据各类型间的转移构造一个边上带权的有向图。例如，从AT不能转移到AA，从AT转移到?有4种方法（后面加任一字母），从?A转移到AA有1种方案（后面加个A），从?A转移到?有2种方案（后面加G或C），从GG到?有2种方案（后面加C将构成病毒片段，不合法，只能加A和T）等等。这个图的构造过程类似于用有限状态自动机做串匹配。然后，我们就把这个图转化成矩阵，让这个矩阵自乘n次即可。最后输出的是从?状态到所有其它状态的路径数总和。
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传统算法：若依定义来计算A和B的乘积矩阵C，则每计算C的一个元素C[i][j]，需要做n次乘法和n-1次加法。因此，算出矩阵C的个元素所需的计算时间为O(n3)Strassen矩阵乘法：矩阵乘法矩阵乘法矩阵乘法T(n)=O(nlog7)=O(n2.81)时间复杂度有了较大改进！目前最好的计算时间上界是O(n2.376)
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