已知函数$f（x）=\frac{1}{{{4^x}+2}}（x&R）$．
（Ⅰ）证明$f（x）+f（1-x）=\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）若数列{a
n}的通项公式为${a_n}=f（\frac{n}{m}）（m&{N^*}，n=1，2，&，m）$，求数列{a
n}的前m项和S
（Ⅲ）设数列{b
n}满足：${b_1}=\frac{1}{3}，{b_{n+1}}=b_n^2+{b_n}$，设${T_n}=\frac{1}{{{b_1}+1}}+\frac{1}{{{b
试题及解析
学段：高中
学科：数学
已知函数$f（x）=\frac{1}{{{4^x}+2}}（x∈R）$．
（Ⅰ）证明$f（x）+f（1-x）=\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）若数列{a
n}的通项公式为${a_n}=f（\frac{n}{m}）（m∈{N^*}，n=1，2，…，m）$，求数列{a
n}的前m项和S
（Ⅲ）设数列{b
n}满足：${b_1}=\frac{1}{3}，{b_{n+1}}=b_n^2+{b_n}$，设${T_n}=\frac{1}{{{b_1}+1}}+\frac{1}{{{b_2}+1}}+…+\frac{1}{{{b_n}+1}}$，若（Ⅱ）中的S
m满足对任意不小于2的正整数n，S
n恒成立，试求m的最大值
点击隐藏试题答案:
（Ⅰ）证明：∵$f（x）=\frac{1}{{{4^x}+2}}$，
∴$f（1-x）=\frac{1}{{{4^{1-x}}+2}}=\frac{4^x}{{4+2o{4^x}}}=\frac{4^x}{{2（{4^x}+2）}}$，
∴$f（x）+f（1-x）=\frac{1}{{{4^x}+2}}+\frac{4^x}{{2（{4^x}+2）}}=\frac{{2+{4^x}}}{{2（{4^x}+2）}}=\frac{1}{2}$．
故答案为$\frac{1}{2}$．．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知$f（x）+f（1-x）=\frac{1}{2}$，
∴$f（\frac{k}{m}）+f（1-\frac{k}{m}）=\frac{1}{2}（1≤k≤m-1）$，
即$f（\frac{k}{m}）+f（\frac{m-k}{m}）=\frac{1}{2}$．
∴${a_k}+{a_{m-k}}=\frac{1}{2}$，
${a_m}=f（\frac{m}{m}）=f（1）=\frac{1}{6}$，
①+②得$2{S_m}=（m-1）&\frac{1}{2}+2{a_m}=\frac{m}{2}-\frac{1}{6}$，
∴答案为${S_m}=\frac{1}{12}（3m-1）$；
（Ⅲ）解：∵${b_1}=\frac{1}{3}，{b_{n+1}}=b_n^2+{b_n}={b_n}（{b_n}+1）$③
∴对任意n∈N
$\frac{1}{{{b_{n+1}}}}=\frac{1}{{{b_n}（{b_n}+1）}}=\frac{1}{b_n}-\frac{1}{{{b_n}+1}}$，
∴$\frac{1}{{{b_n}+1}}=\frac{1}{b_n}-\frac{1}{{{b_{n+1}}}}$，
∴${T_n}=（\frac{1}{b_1}-\frac{1}{b_2}）+（\frac{1}{b_2}-\frac{1}{b_3}）++（\frac{1}{b_n}-\frac{1}{{{b_{n+1}}}}）=\frac{1}{b_1}-\frac{1}{{{b_{n+1}}}}=3-\frac{1}{{{b_{n+1}}}}$
n}是单调递增数列．∴T
n关于n递增，
∴当n≥2，且n∈N
∵${b_1}=\frac{1}{3}，{b_2}=\frac{1}{3}（\frac{1}{3}+1）=\frac{4}{9}，{b_3}=\frac{4}{9}（\frac{4}{9}+1）=\frac{52}{81}$，
∴${T_n}≥{T_2}=3-\frac{1}{b_3}=\frac{75}{52}$．（14分）
由题意${S_m}＜\frac{75}{52}$，即$\frac{1}{12}（3m-1）＜\frac{75}{52}$，
∴$m＜\frac{238}{39}=6\frac{4}{39}$∴m的最大值为6．
故答案为6．
点击隐藏答案解析:
此题主要考查数列求和和数列恒成立的问题，属于综合性题目难度较大，计算量要求较高，需要仔细分析．
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答案不给力已知x=1是函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．（Ⅰ）求m与n的关系表达式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．分析：（Ⅰ）求出f′（x），因为x=1是函数的极值点，所以得到f'（1）=0求出m与n的关系式；（Ⅱ）令f′（x）=0求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；（Ⅲ）函数图象上任意一点的切线斜率恒大于3m即f′（x）＞3m代入得到不等式即3m（x﹣1）[x﹣（1+）]＞3m，又因为m＜0，分x=1和x≠1，当x≠1时g（t）=t﹣，求出g（t）的最小值．要使＜（x﹣1）﹣恒成立即要g（t）的最小值＞，解出不等式的解集求出m的范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+n．因为x=1是f（x）的一个极值点，所以f'（1）=0，即3m﹣6（m+1）+n=0．所以n=3m+6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+3m+6=3m（x﹣1）[x﹣（1+）]当m＜0时，有1＞1+，当x变化时f（x）与f'（x）的变化如下表：由上表知，当m＜0时，f（x）在（﹣∞，1+）单调递减，在（1+，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（Ⅲ）由已知，得f′（x）＞3m，即3m（x﹣1）[x﹣（1+）]＞3m，∵m＜0．∴（x﹣1）[x﹣1（1+）]＜1．（*）10x=1时．（*）式化为0＜1怛成立．∴m＜0．20x≠1时∵x∈[﹣1，1]，∴﹣2≤x﹣1＜0．（*）式化为＜（x﹣1）﹣．令t=x﹣1，则t∈[﹣2，0），记g（t）=t﹣，则g（t）在区间[﹣2，0）是单调增函数．∴g（t）min=g（﹣2）=﹣2﹣=﹣．由（*）式恒成立，必有＜﹣?﹣＜m，又m＜0．∴﹣＜m＜0．综上10、20知﹣＜m＜0．点评：考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，利用导数研究函数极值和单调性的能力，以及掌握不等式恒成立的条件．天津市蓟县2013届高三第一次模拟检测数学（文）试题解析版答案
考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．分析：（Ⅰ）求出′（），因为是函数的极值点，所以得到（）求出与的关系式；（Ⅱ）令′（）求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；（Ⅲ）函数图象上任意一点的切线斜率恒大于即′（）＞代入得到不等式即（﹣）﹣（）]＞，又因为＜，分和≠，当≠时（）﹣，求出（）的最小值．要使＜（﹣）﹣恒成立即要（）的最小值＞，解出不等式的解集求出的范围．解答：解：（Ⅰ）′（）﹣（）．因为是（）的一个极值点，所以（），即﹣（）．所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知′（）﹣（）（﹣）﹣（）]当＜时，有＞，当变化时（）与（）的变化如下表：由上表知，当＜时，（）在（﹣∞，）单调递减，在（，）单调递增，在（，∞）单调递减．（Ⅲ）由已知，得′（）＞，即（﹣）﹣（）]＞，∵＜．∴（﹣）﹣（）]＜．（）时．（）式化为＜怛成立．∴＜．≠时∵∈﹣，]，∴﹣≤﹣＜．（）式化为＜（﹣）﹣．令﹣，则∈﹣，），记（）﹣，则（）在区间﹣，）是单调增函数．∴（）（﹣）﹣﹣﹣．由（）式恒成立，必有＜﹣?﹣＜，又＜．∴﹣＜＜．综上、知﹣＜＜．点评：考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，利用导数研究函数极值和单调性的能力，以及掌握不等式恒成立的条件．相关试题主屏尺寸：5.2英寸
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什么手机好编辑在线答分析：（1）在Y中取a1=（x，2），根据数量积的坐标公式，可得Y中与a1垂直的元素必有形式（-1，b），所以x=2b，结合x＞2，可得x的值．（2）取a1=（x1，x1），a2=（s，t）根据a1&&#，化简可得s+t=0，所以s、t异号．而-1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为-1，另一个数是1，从而证出1∈X，最后通过反证法，可以证明出当xn＞1时，x1=1．（3）[解法一]先猜想结论：xi=qi-1，i=1，2，3，…，n．记Ak═{-1，x1，x2，…，xk}，k=2，3，…，n，通过反证法证明出引理：若Ak+1具有性质P，则Ak也具有性质P．最后用数学归纳法，可证明出xi=qi-1，i=1，2，3，…，n；[解法二]设a1=（s1，t1），a2=（s2，t2），则a1&#等价于s1t1=-t2s2，得到一正一负的特征，再记B={st|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则可得结论：数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称．又注意到-1是集合X中唯一的负数，B∩（-∞，0）={-x2，-x3，-x4，…，-xn}，共有n-1个数，所以B∩（0．+∞）也有n-1个数．最后结合不等式的性质，结合三角形数阵加以说明，可得xnxn-1=xn-1xn-2=…=x2x1，最终得到数列的通项公式是xk=x1&#8226;（x2x1）k-1=qk-1，k=1，2，3，…，n．解答：解：（1）选取a1=（x，2），则Y中与a1垂直的元素必有形式（-1，b），所以x=2b，又∵x＞2，∴只有b=2，从而x=4．（2）取a1=（x1，x1）∈Y，设a2=（s，t）∈Y，满足a1&&#，可得（s+t）x1=0，s+t=0，所以s、t异号．因为-1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为-1，另一个数是1，所以1∈X，假设xk=1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜xn．再取a1=（x1，xn）∈Y，设a2=（s，t）∈Y，满足a1&&#，可得sx1+txn=0，所以s、t异号，其中一个为-1①若s=-1，则x1=txn＞t≥x1，矛盾；②若t=-1，则xn=sx1＜s≤xn，矛盾；说明假设不成立，由此可得当xn＞1时，x1=1．（3）[解法一]猜想：xi=qi-1，i=1，2，3，…，n记Ak═{-1，x1，x2，…，xk}，k=2，3，…，n先证明若Ak+1具有性质P，则Ak也具有性质P．任取a1=（s，t），s、t∈Ak，当s、t中出现-1时，显然有a2满足a1&#当s、t中都不是-1时，满足s≥1且t≥1．因为Ak+1具有性质P，所以有a2=（s1，t1），s1、t1∈Ak+1，使得a1&#，从而s1、t1其中有一个为-1不妨设s1=-1，假设t1∈Ak+1，且t1&#8713;Ak，则t1=xk+1．由（s，t）（-1，xk+1）=0，得s=txk+1≥xk+1，与s∈Ak矛盾．所以t1∈Ak，从而Ak也具有性质P．再用数学归纳法，证明xi=qi-1，i=1，2，3，…，n当n=2时，结论显然成立； 假设当n=k时，Ak═{-1，x1，x2，…，xk}具有性质P，则xi=qi-1，i=1，2，…，k当n=k+1时，若Ak+1═{-1，x1，x2，…，xk+1}具有性质P，则Ak═{-1，x1，x2，…，xk}具有性质P，所以Ak+1═{-1，q，q2，…，qk-1，xk+1}．取a1=（xk+1，q），并设a2=（s，t）∈Y，满足a1&&#，由此可得s=-1或t=-1若t=-1，则xk+1=qs＜q，不可能所以s=-1，xk+1=qt=qj≤qk且xk+1＞qk-1，因此xk+1=qk综上所述，xi=qi-1，i=1，2，3，…，n[解法二]设a1=（s1，t1），a2=（s2，t2），则a1&#等价于s1t1=-t2s2记B={st|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称注意到-1是集合X中唯一的负数，B∩（-∞，0）={-x2，-x3，-x4，…，-xn}，共有n-1个数．所以B∩（0，+∞）也有n-1个数．由于xnxn-1＜xnxn-2＜xnxn-3＜…＜xnx2＜xnx1，已经有n-1个数对以下三角形数阵：xnxn-1＜xnxn-2＜xnxn-3＜…＜xnx2＜xnx1，&&&&&&&&&&&&&&&&& xn-1xn-2＜xn-1xn-3＜xn-1xn-4＜…＜xn-1x1&&&&&&&&&&&&&&&& …&&&&&&&&&&&&&&&&& x2x1注意到xnx1＞xn-1x1＞xn-2x1＞…＞x2x1，所以xnxn-1=xn-1xn-2=…=x2x1从而数列的通项公式是xk=x1&#8226;（x2x1）k-1=qk-1，k=1，2，3，…，n．点评：本题以向量的数量积的坐标运算为载体，着重考查了数列的通项公式的探索、集合元素的性质和数列与向量的综合等知识点，属于难题．本题是一道综合题，请同学们注意解题过程中的转化化归思想、分类讨论的方法和反证法的运用．
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科目：高中数学
（;上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y=1249x2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
科目：高中数学
（;上海）若不等式x2-kx+k-1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是（-∞，2]．
科目：高中数学
（;上海模拟）若函数f（x）定义域为R，满足对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2），则称f（x）为“V形函数”．（1）当f（x）=x2时，判断f（x）是否为V形函数，并说明理由；（2）当f（x）=lg（x2+2）时，证明：f（x）是V形函数；（3）当f（x）=lg（2x+a）时，若f（x）为V形函数，求实数a的取值范围．
科目：高中数学
（;上海二模）已知向量m=(sin(2x+π6)，sinx)，n=（1，sinx），f（x）=m&#8226;n．（1）求函数y=f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f（B2）=2+12，b=5，c=3，求a的值．
科目：高中数学
（;上海）已知数列{an}、{bn}、{cn}满足(an+1-an)(bn+1-bn)=cn(n∈N*)．（1）设cn=3n+6，{an}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设cn=n3，an=&n2&-8n．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有bn≥bk；（3）设cn=2n&+n，an=1+(-1)n2．当b1=1时，求数列{bn}的通项公式．
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