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已知函数f x ax-3 g 已知函数f(x)=2x^3+ax与g(x)=bx^2+c
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已知函数f(x)=2x^3+ax与g(x)=bx^2+cf(x) = 2x^3 + ax, f(x) = 6x^2 + ag(x) = bx^2 + c,g(x) = 2bx16 + 2a = 0,4b + c = 0,24 + a = 4b.a = -8,b = 6 + a/4 = 4,c = -4b = -16.F(x) = 2x^3 + ax + bx^2 + c= 2x^3 + 4x^2 - 8x - 16,F(x) = 6x^2 + 8x - 8 = 2[3x^2 + 4x - 4] = 2(3x - 2)(x + 2)x & -2 时,F(x)&0. F(x)单调递增-2 & x & 2/3时,F(x) & 0. F(x)单调递减x & 2/3时,F(x)&0. F(x)单调递增
F(x)单调递增 F(x)单调递增。已知函数f(x)=ax-3,g(x)=bx^(-1)+cx^(-2)(a,b属于R)且g(-0.5)-g(-1)=f。(1)g(-0.5)=-2b+4c g(-1)=-b+c f(0)=-3 g(-0.5)-g(-1)=f(0) -2b+4c-(-b+c)=-3 3c-b=-3 (2)b=0c=-1 g(x)=-x^(-2) f(x)=g(x) ax-3=-x^(-2) ax^3-3x^2+1=0 令f(x)=ax^3-3x^2+1 因为f(x)=0,有唯一解 所以f(x)在x&0上单调 即f(x)在x&0上恒为正或恒为负 f(x)=3ax^2-6x=3x(ax-2) f(x)=0x=0,x=2/a 所以a0,即g(x)递增 g(x)g(x) 所以f(x)&0 ax-3&0 a&0,x&3/a 与x。函数问题求解:已知函数f(x)=ax-3,g(x)=bx^-1 + cx^-2 (a,b∈R) 。b=1时,由g(-1/2)-g(1)=f(0) 得:g(x)=1/x+c/(x^2) [-2+4c]-[1+c]=-3 -3+3c=-3 ∴c=0 即g(x)=1/x集合A可表示为{x|ax-3&1/x,且1/x&0} 解不等式组,当a≥0时,x&0,集合A={x|x&0} 当a
有难度,这里面也不好说!高中数学已知函数f(x)=ax-3,g(x)=bx^(-1)+c - 爱问知识人由b=1,b-c-1=0,可得c=0,A={x|f(x)&g(x)且 g(x)1/x且x0时, A=(3-√(9+4a)/2a,0); 当a=0时, A=(-1/3,0); 当 a。已知函数f(x)=ax方-2X乘以根号下(-b方+4b-3),g(x)=x方(2a方-x。最佳答案1：解:f(x)=ax-2x√-b+4b-3 g(x)=x(2a-x) (a为正整数,b为整数) 要使f(x)有意义,必须使-b+4b-3≥0 即为b-4b+3≥0,得1≤b≤3,b为整数,即b只能取1、2、3三个数 g(x)=-x^4+2ax=-(x-a)+a^4 f(x)=a(x-1/a√-b+4b-3)-(-b+4b-3)/a 若使f(x)有最小值,则a&o,且当x=1/a√-b+4b-3时,f(x)取的最小值, 而当x=a时,g(x)取得最大值。 题目说存在xo,使f(x0)为f(x)的最小值,g(x0)为g(x)的最大值,则a=1/a√-b+4b-3 即 a=√-b+4b-3 a^6=-b+4b-3 b只能取1、2、3这三个数 当b=1时,a=0 不满足已知条件,舍去 当b=2时,a=1满足 当b=3时,a=0不满足,舍去 综上所述,(a,b)即为(1,2) 最佳答案2：动了。已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),g(x)=-x2-3且f(x)+g(x)为奇函数。f(x)+g(x)为奇函数,f(x)+g(x)不含偶次项,则a-1=0,c-3=0,所以a=1,c=3.(2)f(x)=x^2-2x+3,需要分类讨论,这里就不写过程了。已知函数f(x)=x^3-ax,g(x)=1/2x^2-lnx-2/5.若对一切x属于(0,。由2f(x)≥g(x),有2xlnx≥-x^2+ax-3,则a≤2lnx+x+3/x,设h(x)=2lnx+x+3/x (x&0),则h′(x)=(x+3)(x-1)/x^2,①x∈(0,1),h(x)0,h(x)单调递增,所以h(x)min=h(1)=4,对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,所以a≤h(x)min=4;另外,存在x是指在规定区间内有符合条件的x,可能只有一个数符合,也可能有多个数符合。任意是指在规定区间内的所有数都符合。已知函数f(x)=ax*3+3bx-b和g(x)=-x*3+x*2-ln(x+1)若0小于 a小于。解:f(x)=ax^3+3bx-bf‘(x)=3ax^2+3bf‘(-1)=3a(-1)^2+3b=3a+3b即:切线的斜率是3(a+b)f(-1)=a×(-1)^3+3b×(-1)-b=-a-3b-b=-a-4b即:切点坐标是(-1,-a-4b)切线方程是:y-(-a-4b)=3(a+b)[x-(-1)]整理,有:-3(a+b)x+y-2a+b=0已知:切线方程是3x+y+6=0因此,有:a+b=-1……………………(1)-2a+b=6……………………(2)(1)-(2)有:3a=-7,解得:a=-7/3代入(1)有:-7/3+b=-3,解得:b=-2/3
二次函数到还好说,为什么是三次的,连韦达定理都没法用
你的题目有问题啊
我也不清楚,因为我还是小学生,你去问别人吧
额。。你确定没打错题???????已知函数f(x)=ax三次方+x平方+bx(其中a,b属。解:(1)f(x)=3ax2+2x+bg(x)=f(x)+f(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b∵g(x)是奇函数∴g(-x)=-g(x)即a(-x)3+(3a+1)(-x)2+(b+2)(-x)+b=-[ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b]解得a=-1/3,b=0∴f(x)=-1/3x3+2x
g(x)=ax^3+(3a+1)x^2+(b+2)x+bg(x)为奇函数则g(0)=0 b=0 (1)g(-x)=-g(x)即-ax^3+(3a+1)x^2-(b+2)x+b=-ax^3-(3a+1)x^2-(b+2)-b(3a+1)x^2。
f(x)=ax三次方+x平方+bxf(x)=3ax^2+2x+bg(x)=f(x)+f’(x)=ax^3+(1+3a)x^2+(2+b)x+b奇函数没有常数项和偶次方项所以1+3a=0 a=-1/3 b=。已知函数f(x)=ax-3(a属于R),g(x)=-x-2由f(x)=g(x),得(a+1)x=1,因为只研究x&0的部分,所以x不等于0,a+1=1/x,而x&0,所以1/x&0,所以1+a&0,a&-1。即实数a的取值范围是(-1,+无穷大)。祝你好运~_~
解:由函数解析式可得:x≠0,如果关于x的方程f(x)=g(x)有且仅有一个正实数解,由于ax-3+x-2=0?ax3-3x2+1=0.即方程ax3-3x2+1=0有。
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& 2016年文科数学考纲专题解读与考点题组训练：专题2 函数概念及其基本性质
2016年文科数学考纲专题解读与考点题组训练：专题2 函数概念及其基本性质
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资料概述与简介
1．(2015·湖北，6，易)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
C．(2，3)∪(3，4]
D．(－1)∪(3，6]
【答案】　　要使函数有意义则
解得＜x≤4且x≠3
所以定义域为(2)∪(3，4]．
(2015·课标Ⅰ中)已知函数f(x)＝且(a)＝－3则f(6－a)＝(　　)
【答案】　　若a≤1(a)＝2－1－2＝－3；若a＞1得－(a＋1)＝－3解得a＝7所以f(6－a)＝f(－1)＝－选
3．(2015·山东中)设函数f(x)＝若＝4则b＝(　　)
【答案】　　f ＝－b.若－b＜1即b＞时－b＝4解得b＝不符合题意故舍去；若－b≥1即b≤时得2－b＝4解得b＝故选
思路点拨：先计算出f 的值再根据的取值范围进行讨论最后解方程求得b的值．
(2015·湖北中)设x∈R定义符号函数＝则(　　)
C．|x|＝|x|＝x
【答案】　　当x＜0时＝x＜0排除；
＝x＜0排除；
＝－|x|排除故选
5．(2015·浙江易)已知函数f(x)＝则(f(－2))＝________(x)的最小值是________．
【解析】　∵f(－2)＝4
∴f(f(－2))＝f(4)＝－
当x≤1时(x)＝x
求得f(x)0.
当x＞1时(x)＝x＋－6≥2－6当且仅当x＝时取“＝”．
(x)min＝2－6＜0.
(x)的最小值是2－6.
【答案】　－　2－6
(2014·山东易)函数f(x)＝的定义域为(　　)
C．(2，＋∞)
【答案】　　要使函数有意义
须满足解得x>2.
(2012·福建中)设f(x)＝(x)＝则f(g())的值为(　　)
【答案】　　因为为无理数所以g()＝0故(g(π))＝f(0)＝0.
方法点拨：分段函数求值的关
3．(2011·福建中)已知函数f(x)＝若f(a)＋(1)＝0则实数a的值等于(　　)
【答案】　　依题意(a)＝－f(1)＝－2＝－2.
＞0(a)＝a＋1＝－2故a＝－3故选
思路点拨：首先由f(a)＋f(1)＝0求f(a)的值再根据(a)的值判断出f(a)对应的解析式求出a的值．
(2014·浙江中)已知函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c且(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3则(　　)
【答案】　　由已知得f(－1)＝－1＋a－b＋c＝(－2)＝－8＋4a－2b＋c所以3a－b＝7.①
(－1)＝－1＋a－b＋c＝f(－3)＝－27＋9a－3b＋c所以4a－b＝13.②
联立①②解得a＝6＝11
所以f(x)＝x＋6x＋11x＋c.
又0<f(－1)≤3即0<c－6≤3
∴6或=>或=>或1≤x≤8=>.
【答案】　(－∞]
考向1　求函数的定义域
常见基本初等函数定义域的基本要求
(1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数二次函数的定义域均为R.
4)y＝x的定义域是{x|x≠0}．
(5)y＝a(a＞0且a≠1)＝＝os x定义域均为R.
(6)y＝(a＞0且a≠1)的定义域为(0＋∞)．
(7)y＝的定义域为
(1)(2013·山东)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
C．(－∞－3)∪(－3]
D．(－∞－3)∪(－3]
(2)(2014·广东佛山模拟)已知f(x－1)的定义域为[0]，则函数y＝f(x)的定义域为________．
【解析】　(1)由题意知解得－3＜x≤0所以函数f(x)的定义域为(－3]．
(2)∵0≤x≤3
∴－1≤x－1≤8
∴函数y＝f(x)的定义域是[－1]．
【答案】　(1)　(2)[－1]
【点拨】　解题(1)的关键是正确利用指数函数单调性求解不等式1－2；解题(2)的关键是正确理解函数定义域的概念及函数的三要素．
函数定义域的求法
(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集合在求解时要把各个部分自变量的限制条件列成一个不等式组这个不等式组的
(2)对于实际问题中求得的函数解析式在确定定义域时除了要考虑函数解析式有意义外还要使实际问题有意义．
(3)抽象函数的定义域
求抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系．
若已知函数f(x)的定义域为[a]，则复合函数(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出；
若已知函数f(g(x))的定义域为[a]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a]时的值域．
(1)求定义域时对于解析式先不要化简；
(2)求出定义域后一定要将其写成集合或区间的形式．
(1)(2015·山西大同质检)已知函数f(x)的定义域为(0]，则函数f()的定义域(　　)
(2)(2013·安徽)函数y＝＋的定义域为________．
(1)【答案】　　根据题意得0<即0<x＋1≤4解得－1<x≤3故选
(2)【解析】　由题意得解得
【答案】　(0]
考向2　求函数的解析式
(1)函数的表示方法：解析法、列表法、图象法．
(2)函数的解析式是表示函数的一种方法对于不是y＝(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式．
(3)求函数的解析式时一定要注意函数的定义域的变化特别是利用换元法求出的解析式不注明定义域往往导致错误．
(1)(2014·陕西)如图修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分则该函数的解析式为(　　)
(2)(2013·安徽)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时(x)＝x(1－x)则当－1≤x≤0时(x)＝________.
(3)(2014·山东青岛模拟)已知f(x)＋＝x(x≠0)则f(x)＝________.
【解析】　(1)(待定系数法)设该函数解析式为f(x)＝ax＋bx＋cx＋d则f′(x)＝3ax＋2bx＋c
由题意知解得
(x)＝－－x.
(2)(代入法)∵－1≤x≤0＋1≤1
∴f(x)＝(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]
(3)(函数方程法)令代替f(x)＋2f ＝x中的x得＋2f(x)＝
解得f(x)＝－＋
【答案】　(1)　(2)－(x＋1)　(3)－＋
【点拨】　解题(1)的关键是设出三次函数的解析式y＝ax＋bx＋cx＋d(a≠0)然后根据题目条件确定参数的值；解题(2)的关键是将所求函数解析式的定义域向已知函数解析式的定义域转化；解题(3)的关键是变换得到一个关于f(x)和为未知数的新的方程通过解方程组求出f(x)的解析式．
求函数解析式的常见方法
(1)代入法：将g(x)代入f(x)中的x即得到f(g(x))的解析式．
(2)构造法：已知f(h(x))＝g(x)求f(x)的问题往往把右边的g(x)整理构造成只含(x)的式子用x将h(x)替换．
(3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)根据函数类型设出函数解析式根据题设条件列出方程组解出待定系数即可．
(4)换元法：已知f(h(x))＝g(x)求f(x)时往往可设(x)＝t从中解出x代入g(x)进行换元求出f(t)的解析式再将t替换为x即可．
(5)函数方程法：已知f(x)满足某个等式这个f(x)是未知量外还有其他未知量如f(－x)、f 则可根据已知等式再构造其他等式组成方程组通过解方程组求出(x)．
(1)(2014·山东泰安二模)已知f(x)是二次函数且f(0)＝0(x＋1)＝f(x)＋x＋1则f(x)＝________________
(2)(2015·山东潍坊11)已知f ＝x＋＋2则f(x)的解析式为________________．
(3)(2015·安徽黄山模拟)已知3f(x)＋5f ＝＋1则函数f(x)的解析式为________________．
(1)【解　设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)
由f(0)＝0知c＝0(x)＝ax＋bx.
又因为f(x＋1)＝f(x)＋x＋1
所以a(x＋1)＋b(x＋1)＝ax＋bx＋x＋1
即ax＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax＋(b＋1)x＋1
解得a＝b＝
故f(x)＝＋
【答案】　＋
(2)【解析】　把解析式按自变量x＋进行变形则
令t＝x＋则t≤－2或t≥2得
(t)＝(t2－3)＋2＝t－3t＋2所以f(x)＝x－3x＋2(－∞－2]∪[2＋∞)．
【答案】　f(x)＝x3x＋2(－∞－2]∪[2＋∞)
(3)【解析】　x用代替则有3f ＋5f(x)＝2x＋1
消去f 得f(x)＝－＋(x≠0)．
【答案】　f(x)＝－＋(x≠0)
考向3　分段函数及其应用
分段函数的相关概念
(1)若函数在其定义域的分段函数虽由几个部分组成但它表示的是一个函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集其值域等于各段函数的值域的并集．
解决分段函数问题的注意事项
分段函数是一个函数而不是几个函数处理分段函数问题时首先确定自变量的取值属于哪个区间再选取相应的对应法则离开定义域讨论分段函数是毫无意义的．
分段函数是为了研究问题的需要而进行的分类讨论相当于求“并集”不可与方程组或不等式组的求“交集”相混淆．
(1)(2013·福建)已知函数f(x)＝则＝________．
(2)(2014·浙江)设函数f(x)＝
若f(f(a))＝2则a＝________.
【解析　(1)f ＝－＝－10则f(a)＝－a
∴f(f(a))＝a－2a＋2
由f(f(a))＝2得a－2a＋2＝2
解得a＝(舍负)．
若a≤0则f(a)＝a＋2a＋2＝(a＋1)＋1>0
∴f(f(a))＝－(a＋2a＋2)
【答案】　(1)－2　(2)
【点拨】　解题(1)的思路是根据自变量的取值代入不同的解析式；解题(2)要注
分段函数两种题型的求解策略
(1)根据分段函数的解析式求函数值
首先确定自变量的值属于哪个区间其次选定相应的解析式代入求解．
(2)已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)
应根据每一段的解析式分别求解但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围．
当分段函数的自变量范围不确定时应分类讨论．
(1)(2012·陕西)设函数f(x)＝则f(f(－4))＝________．
(2)(2011·江苏)已知实数a≠0函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)则a的值为________． (1)【解析】　f(－4)＝＝16.
又f(16)＝＝4
∴f(f(－4))＝4.
【答案】　4
(2)【解析】　①当a>0时－a1.
这时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a
f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.
由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a＝－1－3a
不符合题意舍去．
当a1＋a<1.
这时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝1－a
f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a.
由f(1－a)＝f(1＋a)得－1－a＝2＋3a解得a＝－
综合①②知a的值为－
【答案】　－
1(2015·江西南昌二模)函数y＝－的定义域为(　　)
C．{x|x≥1或x＜0}
【答案】　　由得x≥1.故选
2．(2015·河北秦皇岛一模)设函数y＝的定义域为A＝{x||x－m|<6}且A∪B＝R则实数m的取值范围为(　　)
．－1<m0解得x5所以A＝{x|x5}．因为B＝{x||x－m|<6}＝{x|－6＋m<x<6＋m}且A∪B＝R所以有解得－1<m<4.
(2015·四川成都高三月考)设f(x)＝则(f(－2))的值为(　　)
【答案】　　∵－2≤0(－2)＝10－2
∴f(f(－2))＝f(10－2)＝－2＝－2.
(2015·安徽合肥三模)已知函数f(x)＝则f(2 015)等于(　　)
【答案】　　由题意知当x≥0时(x＋1)＝f(x)＋1(x＋1)－f(x)＝1
∴f(2 015)＝f(1)＋2 014×1.
又f(0)＝f(－1)＋1＝＋1＝(1)＝f(0)＋1＝
∴f(2 015)＝＋2 014＝
5．(2014·辽宁沈阳质检)设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　)
C．[1＋∞)
【答案】　　f(x)≤2或或x＞1故x的取值范围是[0＋∞)．
(2015·山东滨州二模)具有性质f ＝－f(x)的函数我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：①y＝x－；②y＝x＋；③y＝中满足“倒负”变换的函数是(　　)
【答案】　　(逐项验证法)对于①＝－x＝－f(x)满足条件；
对于②＝＋x≠－f(x)不满足条件；
对于③＝　
满足＝－f(x)．故③满足“倒负”变换故选
7．(2015·云南昆明统一检测)已知函数f(x)的定义域为(－∞＋∞)如果f(x＋2 014)＝那么·f(－7 986)＝(　　)
【答案】　　f ＝＝1
f(－7 986)＝f(2 014－10 000)＝＝4则f (－7 986)＝4.
(2015·河南开封模拟)若一次函数y＝f(x)满足(f(x))＝9x＋1则f(x)＝________________．
【解析】　设f(x)＝ax＋b(a≠0)
则f(f(x))＝(ax＋b)＋b＝＋ab＋b
＝9且ab＋b＝1
∴f(x)＝3x＋或f(x)＝－3x－
【答案】　3x＋或－3x－
(2015·黑龙江大庆第二次质检)设函数f(x)＝则使f(x)＝的x的集合为________．
【解析】　由题意知若x≤0则2＝解得x＝－1；若x>0则|＝
解得x＝2或x＝2－
故x的集合为
【答案】　
1．(2015·陕西易)设f(x)＝x－则f(x)(　　)
既是奇函数又是减函数
既是奇函数又是增函数
是有零点的减函数
是没有零点的奇函数
【答案】　　f(x)的定义域为R
∵f(－x)＝－x－(－x)
＝－x＋＝－f(x)
∴函数f(x)为奇函数．
∴f(x)在R上为增函数．
(0)＝0函数f(x)有零点．
2．(2015·课标Ⅱ中)设函数f(x)＝1＋|x|)－则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是(　　)
B.∪(1，＋∞)
【答案】　　易判断f(x)是偶函数当x＞0时(x)＝(1＋x)－(x)＝＋＞0(x)在(0＋∞)是增函数不等式可化为f(|x|)＞(|2x－1|)即＞|2x－1|即3x4x＋1＜0解得＜x＜1.
思路点拨：由于f(x)是偶函数故先研究x＞0的情况当x＞0时(x)＝(1＋x)－利用导数判断(x)在(0＋∞)是增函数转化为|x|＞－1|进而求得x的取值范围．
(2014·北京易)下列函数中定义域是R(　　)
C．y＝＝|x|
【答案】　　选项＝－x＝在R上为减函数；
选项＝x在R上为增函数；
选项＝定义域为(0＋∞)且在(0＋∞)上为增函数；
选项＝|x|＝在[0＋∞)上为增函数在(－∞)上为减函数．
(2014·湖南易)下列函数中既是偶函数又在区间(－∞)上单调递增的是(　　)
(x)＝(x)＝x2＋1
(x)＝x(x)＝2－x
【答案】　　选项由于y＝x在(－∞)上单调递减所以f(x)＝在(－∞)上单调递增；选项(x)＝x＋1是偶函数但在(－∞)上单调递减；选项(x)＝x为奇函数；选项(x)＝2－x为非奇非偶函数综上选
3．(2014·陕西中)下列函数中满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是(　　)
(x)＝x(x)＝3
C．f(x)＝(x)＝
【答案】　B　(根据函数满足的条件和函数性质逐一判断)f(x)＝x(x＋y)＝(x＋y)不满足f(x＋y)＝f(x)f(y)错误．(x)＝3(x＋y)＝3＋y＝3满足(x＋y)＝f(x)f(y)且f(x)＝3是增函数正确．f(x)＝(x＋y)＝(x＋y)·，不满足f(x＋y)＝f(x)(y)，C错误．f(x)＝(x＋y)＝＝，满足f(x＋y)＝f(x)f(y)但f(x)＝不是增函数错误．
方法点拨：解抽象函数的有关试题的关键是对对应法则的理
4．(2013·北京中)下列函数中既是偶函数又在区间(0＋∞)上单调递减的是(　　)
【答案】　　(逐项验证法)中y＝是奇函数不正确；中y＝－x＝是非奇非偶函数不正确；中y＝－x＋1是偶函数且在(0＋∞)上是单调递减的正确；中y＝在(0＋∞)上是增函数不正确．故选
5．(2012·辽宁中)函数y＝－的单调递减区间为(　　)
C．[1，＋∞)
D．(0＋∞)
【答案】　　(根据函数的导数小于0的解集就是函数的单调减区间求解)由题意知函数的定义域为(0＋∞)又由y′＝x－解得0<x≤1所以函数的单调递减区间为(0]．
考向1　确定函数的单调性(单调区间)
单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地设函数f(x)的定义域为I如果对于定I内某个区间D上的任意两个自变量x
当x时都有(x1)f(x2)，那么就说函数(x)在区间D上是减函数
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(1)函数的单调性只能在函数的定义域内讨论所以求函数的单调区间时必须先求函数的定义域．
(2)函数是增函数还是减函数是对定义域内某个区间而言的．有的函数在其定义域的一个区间上是增函数而在另一个区间上不是增函数．例如函数y＝x当x∈[0＋∞)时是增函数当x∈(－∞]时是减函数．
(3)一个函数在不同的区间可以有不同的单调性同一单调性的区间用“和”连接(或用“隔开)不能用“∪”连接．
(1)(2015·浙江金华十校调研)下列函数中在区间(0＋∞)内单调递减的是(　　)
(2)(2014·天津)函数f(x)＝的单调递减区间是______．
(3)(2015·广东佛山联考分)讨论函数f(x)＝(a>0)在(－1)上的单调性．
【解析】　(1)对于＝在(0＋∞)内是减函数＝x在(0＋∞)内是增函数则y＝－x在(0＋∞)内是减函数；选项中的函数在(0故选
(2)f(x)的定义域为(－∞)∪(0，＋∞)＝在(0＋∞)上为增函数＝x在(－∞)上递减在(0＋∞)上递增故f(x)在(－∞)上单调递减．
(3)方法一(定义法)：设－1<x
则f(x)－f(x)＝－
∵－10(x－1)(x－1)>0.
又a>0(x1)－f(x)>0，
故函数f(x)在(－1)上为减函数．
方法二(导数法)：
∵a>0，x∈(－1)，
∴f′(x)0即x>－而y＝为(0＋∞)上的增函数当x>－时＝2x＋1也为R上的增函数故原函数的单调增区间是
【答案】　
考向2　求函数的最值或值域
函数的最值
(1)最大值：函数y＝f(x)的定义域为I如果存在实数M满足以下两个条件：①对于任意的x∈I都有f(x)≤M；②存在∈I，使得f(x)＝M.那么我们称M是函数y＝f(x)的最大值．
(2)最小值：函数y＝f(x)的定义域为I如果存在实数m满足以下两个条件：①对于任意的x∈I都有f(x)≥m；②存在x使得f(x)＝m.那么我们称m是函数y＝f(x)的最小值．
函数的最值是函数在其定义域上的整体性质即函数的值域中最大的一个值和最小的一个值．
(1)(2015·河南郑州检测)已知a>0设函数f(x)＝(x∈[－a])的最大值为M最小值为N那么M＋N＝(　　)
(2)(2013·北京)函数f(x)＝的值域为________．
(3)(2014·云南昆明模拟分)已知函数f(x)＝[1，＋∞)．
当a＝时f(x)的最小值；
若对任意x∈[1＋∞)(x)＞0恒成立试求实数a的取值范围．
【解析】　(1)由题意得f(x)＝＝2 012－
∵y＝2 012＋1在[－a]上是单调递增的
∴f(x)＝2 012－在[－a]上是单
∴M＝f(a)＝f(－a)
∴M＋N＝f(a)＋f(－a)＝4 024－－＝4 022.故选
(2)当x≥1时(x)＝x是单调递减的
此时函数的值域为(－∞]；
当x0在[1＋∞)上恒成立时的取值范围是(－3＋∞)．
【点拨】　解题(1)的关键f(x)的单调性；解题(2)时注意求出f(x)在每一段的值域最后求并集；解题(3)①的关键是判断函数的单调性的方法是将恒成立问题转化为函数的最值问题．
1.求函数最值的五个常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性再由单调性求最值．
(2)图象法：先作出函数的图象再观察其最高点、最低点求出最值．
(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数再用相应的方法求最值．
(4)基本不等式
(5)导数法：先求导然后求出在给定区间上的极值最后结合端点值求出最值．
在求函数的值域或最值时应先确定函数的定义域．
(1)m＞f(x)恒成立＞f(x)
(2)m＜f(x)恒成立＜f(x)
(1)(2015·黑龙江重点中学质检)用表示a三个数中的最小值设f(x)＝＋2－x}(x≥0)则f(x)的最大值为________；
(2)(2014·广东惠州高三月考)已知函数f(x，则函数g(x)＝f(x)＋的值域为______．
【解析】　(1)画出y＝2＝x＋2＝10－x的图象观察图象可知
(x)的最大值在x＝4时取得且最大值为6.
(2)∵(x)≤，
令t＝则f(x)＝(1－t)，
令y＝g(x)则y＝－(t－1)＋1.
当t＝时有最小值；当t＝时有最大值
∴g(x)的值域为
【答案】　(1)6　(2)
考向3　函数单调性的应用
函数的单调性的应用
(1)比较函数值的大小；
(2)解抽象函数
(3)求待定参数的值或取值范围．
(1)(2015·北京模拟)设偶函数f(x)的定义域为R当x∈[0＋∞)时(x)是增函数则f(－2)(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
(π)>f(－3)>f(－2)
．(π)>f(－2)>f(－3)
(π)<f(－3)<f(－2)
．(π)<f(－2)f(3)>f(2)，即f()>f(－3)>f(－2)．
(2)∵f(a)＝f(－)＝f()，
∴原不等式可化为f(log2a)≤f(1)．
又∵f(x)在区间[0＋∞)上单调递增
即1≤a≤2.
(x)是偶函数(log2a)≤f(－1)．
又f(x)在区间(－∞]上单调递减
∴－1≤≤a≤1.
【答案】　(1)　(2)
【点拨】　解题(1)的关键是利用偶函数的性质将－2－3转化到同一个单调区间上；解题(2)的关键是结合图象利用单调性将“f”脱掉．
利用函数单调性求参数取值范围的方法
利用函数的单调性求参数的取值范围首先要视参数为已知数依据函数的图象或单调性定义确定函数的单调区间然后与已知单调区间比较求参数．需要注意的是若函数在区间[a]上是单调的此外也可结合常见函数的单调性求解比如一次函数、反比例函数和二次函数．
在求抽象函数中参数的范围时往往是利用函数的单调性将符号“f”脱掉得到关于参数的等式或不等式关系．
(2012·安徽)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3＋∞)则a＝________．
【解析】　∵f(x)＝
(x)在上单调递减在上单调递增－＝3
【答案】　－6
1(2015·安徽阜阳二模)给定函数①y＝x＝(x＋1)＝|x－1|＝2＋1其中在区间(0)上单调递减的函数序号是(　　)
【答案】　　①y＝x在(0)上递增；②∵t＝x＋1在(0)上递增且01故y＝2＋1在(0)上递增．故在区间(0)上单调递减的函数序号是②③.
(2015·福建福州一模)函数f(x)(a>0且a≠1)是R上的减函数则a的取值范围是(　　)
【答案】　　当x<0时函数f(x)＝－x＋3a是减函数；当x≥0时若函数f(x)＝a是减函数则0<a<1.要使函数f(x)在(－∞＋∞)上是减函数需满足0＋3a≥a解得a≥故有即
易错点拨：本题易遗漏两段函数连接
3．(2014·湖南长沙模拟)已知函数f(x)＝＋若x(1，2)，x2∈(2，＋∞)则(　　)
(x1)<0，f(x2)<0
C．f(x1)>0，f(x2)0，f(x2)>0
【答案】　　∵函数f(x)＝＋在(1＋∞)上为增函数且(2)＝0当x(1，2)时(x1)＜f(2)＝0；
当x(2，＋∞)时(x2)＞f(2)＝0
即f(x)＜0(x2)＞0.
(2015·北京丰台一模)已知函数f(x)是定义在R上的偶0，＋∞)上是减函数则下列各式一定成立的是(　　)
(－1)>f(3)
．(－2)<f(－3)
【答案】　　∵f(x)是偶函数(－3)＝f(3)(－1)＝f(1)．
又∵f(x)在(0＋∞)上是减函数故f(3)f(3)，∴f(－1)>f(3)故选
5．(2014·辽宁五校第二次联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数在区间[0＋∞)上为增函数且f ＝0则不等式f(x)＞0的解集为(　　)
B．(2，＋∞)
∪(2，＋∞)
∪(2，＋∞)
【答案】　　由已知f(x)在R上为偶函数且＝0
∴f(logx)＞0等价于f(|x|)＞.
又f(x)在[0＋∞)上为增函数
∴|logx|＞即x＞或x＜－
解得0＜x＜或x＞2故选
6．(2015·湖北武汉模拟)若不等式x＋a|x|＋1≥0对x∈恒成立则实数a的取值范围是(　　)
C．(－∞－2]
【答案】　　不等式x＋a|x|＋1≥0对x∈恒成立等价于|x|＋a|x|＋1≥0对x∈恒成立即a≥－令t＝|x|，g(t)＝t＋
∵g(t)在单调递减
∴g(t)≥＋2＝故－的最大值为－
所求实数a的取值范围是
7．(2014·福建厦门质检3)函数f(x)＝－(x＋2)在区间[－1]上的最大值为________．
【解析】　由于y＝在R上单调递减＝(x＋2)在[－1]上递增所以f(x)在[－1]上单调递减故f(x)在[－1]上的最大值为f(－1)＝3.
【答案】　3
(2015·四川成都高三月考)已知函数f(x)＝
(x)＝x(x－1)则函数gx)的递减区间是________．
【解析】　由条件知g(x)＝
其函数图象如图所示其递减区间是[0)．
【答案】　[0)
9．(2014·江西南昌质检)已知函数f(x)＝(a＞0)在(2＋∞)上为单调递增函数则实数a的取值范围为________．
【解析】　方法一(定义法)：在区间(2＋∞)上任取x且x＜x则
(x1)－f(x)＝－
＝(x－x)＋
＝(x－x)＋
∵f(x)在(2＋∞)上为增函数
∴(x1－x)＜0=>＜2＜2解得0＜x＜1故选
5．(2015·湖南中)设函数f(x)＝(1＋x)－(1－x)则(x)是(　　)
奇函数且在(0)上是增函数
奇函数且在(0)上是减函数
偶函数且在(0)上是增函数
偶函数且在(0)上是减函数
【答案】　　f(x)＝(1＋x)－(1－x)＝，
f(－x)＝＝＝－＝－f(x)
所以f(x)是奇函数．
设u＝则y＝
又因为u＝在(0)上为增函数
且y＝为增函数
所以由复合函数性质得y＝f(x)在(0)上是增函数．
(2014·广东易)下列函数为奇函数的是(　　)
C．y＝2＋1
【答案】　　选项中的函数是偶函数；选项C中的函数也是偶函数；选项D中的函数是非奇非偶函数．根据奇函数的定义可知选项A中的函
易错点拨：对于奇、偶函数的判断除了要注意(－x)与f(x)外还要注意函数的定义域必须是关于原点对称的区间否则一定不具有奇偶性．
(2012·广东易)下列函数为偶函数的是(　　)
【答案】　　(定义法)选项为奇函数选项为非奇非偶函数．故选
3．(2011·课标全国易)下列函数中既是偶函数又在(0＋∞)单调递增的函数是(　　)
＝x＝|x|＋1
．＝2－|x|
【答案】　　对于＝x为奇函数不合题意；对于＝－x＋1和y＝2－|x|在(0＋∞)上单调递减不合题意；对于＝＋1的图象如图所示知y＝|x|＋1符合题意故选
4．(2013·山东中)已知函数f(x)为奇函数且当x>0时(x)＝x＋则f(－1)＝(　
【答案】　　由函数f(x)为奇函数得
(－1)＝－f(1)＝－2故选
5．(2011·辽宁中)若函数f(x)＝为奇函数则a＝(　　)
【答案】　　(定义法)因为f(x)＝为奇函数
整理得(2x＋1)(x－a)＝(x＋a)(2x－1)．
化简得(4a－2)x＝0根据恒等得4a－2＝0＝故选
6．(2013·湖北中)x为实数[x]表示不超过x的最大整数则函数f(x)＝x－[x]在R上为(　　)
D．周期函数
【答案】　　(图象法)函数f(x)＝x－[x]在R上的图象如图：
故f(x)＝x－[x]在R上为周期函数．
(2012·山东中)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝(x)，当－3≤x＜－1时(x)＝－(x＋2)当－1≤x＜3时(x)＝x则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋(2 012)＝(　　)
【答案】　　由f(x＋6)＝f(x)可知函数f(x)的周期为6所以(－3)＝f(3)＝－1(－2)＝f(4)＝0(－1)＝f(5)＝－1(0)＝(6)＝0(1)＝1(2)＝2所以在一个周期内有(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1所以(1)＋f(2)＋…＋(2 012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋＋＝338.
思路点拨：本题的解题关键是根据函数的周期性把f(1)＋(2)＋f(3)＋…＋(2 012)化到一个周期内计算．
(2014·山东难)对于函数f(x)若存在常数a≠0使得x取定义域内的每一个值都有f(x)＝f(2a－x)则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是(　　)
(x)＝(x)＝x
C．f(x)＝(x)＝(x＋1)
【答案】　　由题意可得准偶函数的图象关于直线x＝a(a≠0)对称即准偶函数的图象存在不是y轴的对称轴．选项中函数的图象不存在对称轴选项中函数的图象的对称轴为y轴只有选项中函数的图象存在不是y轴的对称轴．
方法点拨：若f(x)＝f(2a－x)对定义域内任意x恒成立则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称反之亦然．
(2012·重庆易)若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数则实数a＝________．
【解析】　方法一(特值法)：由函数f(x)为偶函数得
(1)＝f(－1)
即(1＋a)·(1－4)＝(－1＋a)·(－1－4)
方法二(定义法)：f(－x)＝(－x＋a)(－x－4)＝(x－a)－(x4)＝f(x)＝(x＋a)(x－4)＝4.
【答案】　4
(2011·安徽中)设f(x)是定义在R上的奇函数当时(x)＝2x－x则f(1)＝________.
【解析】　∵f(－1)＝2×(－1)－(－1)＝3
∴f(1)＝－f(－1)＝－3.
【答案】　－3
考向1　函数奇偶性的判断
函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(－x)＝f(x)那么函数f(x)就叫作偶函数 关于y轴对称
奇函数 一般地如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(－x)＝－f(x)那么函数(x)就叫作奇函数 关于原点对称
奇偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
(2)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义则f(0)＝0.
(3)若函数f(x)是偶函数则f(x)＝f(|x|
(4)既是奇函数又是偶函数的函数只有一个类型即f(x)＝0其中定义域是关于原点对称的非空数集．
(1)(2013·广东)定义域为R的四个函数＝x＝2＝x＋1＝2中奇函数的个数是(　　)
(2)(2014·课标Ⅰ)设函数f(x)(x)的定义域为R且(x)是奇函数(x)是偶函数则下列结论中正确的是(　　)
(x)g(x)是偶函数
．(x)|g(x)是奇函数
(x)|g(x)|是奇函数
．(x)g(x)|是奇函数
【解析】　(1)(定义法)根据奇、偶函数的定义可知＝2为非奇y＝x＋1为偶函数＝x与y＝2为奇函数故选
(2)(利用函数奇偶性的定义判断)对于A：令h(x)＝f(x)·g(x)则h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)
∴h(x)是奇函数错；
对于：令h(x)＝|f(x)|g(x)则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)(x)是偶函数错
对于：令h(x)＝f(x)|g(x)|则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)(x)|，∴h(x)是奇函数正确；
对于D：令h(x)＝|f(x)g(x)|则h(－x)＝(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝h(x)(x)为偶函数错．
【答案】　(1)　(2)
【点拨】　解题(1)(2)的关键是利用奇偶函数的定义判断．
判断函数奇偶性的方法
一般地对于较简单的函数解析式可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式可先对其进行化简再利用定义进行判断．
利用定义判断函数奇偶性的步骤：
设f(x)(x)的定义域分别是D那么在它们的公共定义域上有下面结论：
f(x) g(x) f(x)＋g(x) f(x)－g(x) f(x)g(x) f(g(x))
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
所给函数的定义域若不关于原点对称则这个函数一定不具有奇偶性．
(2014·重庆)下列函数为偶函数的是(　　)
．(x)＝x＋x
(x)＝2－2－x(x)＝2＋2－x
【答案】　　因为f(x)＝2＋2－x所以f(－x)＝2－x＋2＝f(x)．又f(x)＝2＋2－x的定义域为R故f(x)＝2＋2－x为偶函数．易证选项中的函数既不是奇函数也不是偶函数而选项中的函数
考向2　函数奇偶性的应用
(1)(2013·湖南)已知f(x)是奇函数(x)是偶函数且(－1)＋g(1)＝2(1)＋g(－1)＝4则g(1)等于(　　)
(2)(2014·湖南)若f(x)＝(e3x＋1)＋ax是偶函数a＝________
(3)(2013·江苏)已知f(x)是定义在R上的奇函数当>0时(x)＝x－4x则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．
【解析】　(1)由函数的奇偶性可得f(－1)＝－f(1)(－1)＝g(1)则联立解得g(1)＝3.
(2)函数f(x)＝(e3x＋1)＋ax为偶函数故(－x)＝(x)，即n(e－3x＋1)－ax＝(e3x＋1)＋ax化简得＝2ax＝即＝整理得＋1＝＋3x(＋1)所以2ax＋3x＝0解得a＝－
(3)∵f(x)是定义在R上的奇函数(0)＝0.
又当x＜0时－x＞0
∴f(－x)＝x＋4x.
又f(x)为奇函数
∴f(－x)＝－f(x)
∴f(x)＝－x－4x(x＜0)
当x＞0时由f(x)＞x得x－4x＞x解得x＞5；
当x＝0时(x)＞x无解；
当x＜0时由f(x)＞x得－x－4x＞x解得－5＜x＜0.
综上得不等式f(x)＞x的解集用区间表示为(－5)∪(5，＋∞)．
【答案】　(1)　(2)－　(3)(－5)∪(5，＋∞)
【点拨　解题(1)的方法是根据函数的奇偶性列出关于f(1)和g(1)的方程组求g(1)；题(2)是利用函数的奇偶性、对数函数、对数式与指数式的运算结合方程思想和转化思想求参数的值；解题(3)的关键是求出f(x)的解析式然后分段解不等式．
应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法
(1)求函数值
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式
先将待求区间上f(x)的方程(组)从而得到(x)的解析式．
(3)求函数解析式中参数的值
利用待定系数法求解根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式由系数的对等性得参数的值或方程(组)进而得出参数的值．
(4)画函数图象和判断单调性
利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．
(1)(2011·湖北)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝则g(x)＝(　　)
－－x(ex＋－x)
D.(ex－－x)
(2)(2011·广东)设函数f(x)＝x＋1f(a)＝11则f(－a)＝________．(1)【答案】　　x∈R时(x)＋g(x)＝
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－x
又f(－x)＝f(x)(－x)＝－g(x)
所以f(x)－g(x)＝－x
由①②可解得g(x)＝故选
(2)【解析】　方法一：∵a＋1＝11
∴a3cos a＝10.
(－a)＝(－a)(－a)＋1
＝－acos a＋1＝－10＋1＝－9.
方法二(换元法)：令φ(x)＝x很明显(x)是奇函数
∴f(x)＝φ(x)＋1
∴f(a)＝φ(a)＋1
∴f(－a)＝φ(－a)＋1
∴f(a)＋f(－a)＝φ(a)＋φ(－a)＋2
∴f(a)＋f(－a)＝2(－a)＋11＝2(－a)＝－9.
【答案】　－9
考向3　函数的周期性及其应用
周期函数的几个结论
周期函数y＝f(x)满足：
(1)f(x＋T)＝f(x)则|T|为f(x)的一个周期；
(2)f(x＋T)＝－f(x)则|2T|为函数f(x)的一个周期；
(3)f(x＋T)＝则|2T|为f(x)的一个周期；
(4)f(x＋T，则|2T|为f(x)的一个周期；
(5)f(x＋T)＝则|4T|为f(x)的一个周期；
(6)f(x＋T)＝则|2T|为f(x)的一个周期；
(7)函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)且f(b＋x)＝(b－x)则2|b－a|为f(x)的一个周期．
应用函数的周期性时应保证自变量在给定的区间内．
(1)(2014·课标Ⅱ)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称(3)＝3则f(－1)＝________．
(2)(2014·安徽)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数且在[0]上的解析式为f(x)＝则＋f ＝________．
【解析】　(1)因为f(x)的图象关于直线x＝2对称所以(x)＝f(4－x)(－x)＝f(4＋x)．又f(－x)＝f(x)所以(x)＝f(4＋x)则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.
(2)∵f(x)是以4为周期的奇函数＝f ＝，f ＝f ＝f
∵当0≤x≤1时(x)＝x(1－x)
当1<x≤2时(x)＝
∴f ＝＝－
又∵f(x)是奇函数＝－f ＝－
f ＝－f ＝
∴f ＋f ＝－＝
【答案】　(1)3　(2)
【点拨】　解题(1)的关键是由题设得出f(x)是周期为4的函数；解题(2)的关键是根据函数的周期性将待求函数值的自变量值转化到分段函数中的定义域范围内再结合奇函数的性质求解．
函数周期性的判断与应用
(1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数且周期为|T|函数的周期性常与函数的其他性
(2)如果函数f(x)的图象关于直线x＝a对称且f(x)是偶函数那么f(x)一定是周期函数．
(3)根据函数的周期性可以由函数局部的性质得到函数的整体性质即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时要注意结论：若T是函数的周期则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
(1)(2011·大纲全国)设f(x)是周期为2的0≤x≤1时(x)＝2x(1－x)则f ＝(　　)
(2)(2012·江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数在区间[－1]上(x)＝其中aR.若f ＝f 则a＋3b的值为________．
(1)【答案】　　∵f(x)是周期为2的奇
＝－2×＝－
(2)【解析】　因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数所以＝f 且f(－1)＝f(1)
从而＝－＋1
即3a＋2b＝－2.①
又因为f(－1)＝f(1)所以－a＋1＝即b＝－2a.②
将②代入①得＝2＝－4.
所以a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10.
【答案】　－10
考向4　函数性质的综合应用
函数对称性常见的结论
(1)函数y＝f(x)关于x＝f(a＋x)＝f(b－x)(x)＝f(b＋a－x)．
特殊：函数y＝f(x)关于x＝a对称(a＋x)＝f(a－x)(x)＝f(2a－x)；
函数y＝f(x)关于x＝0对称(x)＝f(－x)(即为偶函数)．
(2)函数y＝f(x)关于点(a)对称(a＋x)＋f(a－x)＝2b(2a＋x)＋f(－x)＝2b.
特殊：函数y＝f(x)关于点(a)对称(a＋x)＋f(a－x)＝0(2a＋x)＋f(－x)＝0；
函数y＝f(x)关于(0)对称(x)＋f(－x0(即为奇函数)．
(3)y＝f(x＋a)是偶函数函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；
＝f(x＋a)是奇函数函数y＝f(x)关于点(a)对称．
(1)(2014·大纲全国)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数且f(1)＝1则f(8)＋f(9)＝(　　)
(2)(2015·广东12)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)且在[－1]上是增函数给出下列关于f(x)的结论：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于直线x＝1对称；③f(x)在[0]上是增函数；④f(x)在[1]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．其中正确结论的序号是________．
【解析】　(1)由f(x＋2)是偶函数可得f(x＋2)＝f(x＋2)又由f(x)是奇函数得f(－x＋2)＝－f(x－2)所以(x＋2)＝－f(x－2)(x＋4)＝－f(x)(x＋8)＝f(x)故(x)是以8为周期的周期函数所以f(9)＝f(8＋1)＝(1)＝1.又f(x)是定义在R上的奇函数所以f(0)＝0所以(8)＝f(0)＝0故f(8)＋f(9)＝1故选
(2)对于①(x＋2)＝－f(x＋1)＝－[－f(x)]＝f(x)故2是函数f(x)的一f(x)是偶函数且函数f(x)是以2为周期的函数则f(2－x)＝(x－2)＝f(x)即f(2－x)＝f(x)故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称故②正确；对于③由于函数f(x)是偶函数且在[－1]上是增函数根据偶函数图象的性质可知函数(x)在[0]上是减函数故③错误；对于④由于函数(x)是以2为周期的函数且在[－1]上为增函数由周期函数的性质知函数f(x)在[1]上是增函数故④错误；对于⑤由于函数f(x)是以2f(2)＝f(0)正确．综上所述正确结论的序号是①②⑤.
【答案】　(1)　(2)①②⑤
【点拨】　解题(1)的关键是由函数的奇偶性推出周期性利用周期性求函数值；题(2)先由已知条件推断函数的周期性进而判断函数的对称性、单调性．
函数性质综合应用的注意点
(1)函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质在高考中常常将它们综合在一起命题其中奇偶性多与单调性结合而周期性多与抽象函数结合并结合奇偶性求函数值．
(2)一些题目中函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到函数的奇偶性体现的是一种对称关系而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性即实现区间的转换再利用单调性解决相关问题．
(2014·福建福州模拟)已知定义在R上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)且当x∈[0]时＝(x)单调递减给出以下四个命题：
(2)＝0；②直线x＝－4为函数y＝f(x)图象的一条对称轴；函数＝f(x)在[8]上单调递增；④若方程f(x)＝m在[－6－2]上的两根为x则x＋x＝－8.
以上命题中所有正确命题的序号为________．
【解析】　令x＝－2得f(2)＝f(－2)＋(2)，又函数f(x)是偶函数故f(2)＝0故①正确；根据f(2)＝0可得f(x＋4)＝(x)，所以函数f(x)的周期是4由于偶函数的图象关于y轴对称故直线x＝－4也是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴故②正确；根据函数的周期性可知函数f(x)在[8]上单调递减不正确；由于函数(x)的图象关于直线x＝－4对称故若方程f(x)＝m在区间[－6－2]上的两根为x＝－4即x＋x＝－8故④正确．故正确命题的序号为①②④.
【答案】　①②④
1(2015·山西太原一模)同时满足以下两个条件：①定义域内是减函数；②定义域内是奇函数的函数是(　　)
(x)＝－x|x|
C．f(x)＝(x)＝
【答案】　　中(x)＝由函数性质可知符合题中条件故正确；中对于比较熟悉的函数f(x)＝x可知不符合题意故不正确；中(x)＝在定义域内不具有单调性故不正确；中定义域关于原点不对称故不正确．故选
2．(2015·湖南郴州二模)已知函数y＝f(x)＋x是偶函数且f(2)＝3则f(－2)＝(　　)
【答案】　　∵f(2)＋2＝5＝f(x)＋x是偶函数(－2)－2＝(2)＋2＝5(－2)＝7.
(2015·湖南邵阳一模)若函数f(x)＝(ax＋1)(x－a)为偶函数且函数y＝f(x)在x∈(0＋∞)上单调递增则实数a的值为(　　)
【答案】　　∵函数f(x)＝(ax＋1)(x－a)＝ax＋(1－a)x－a为偶函数
∴f(－x)＝f(x)
即f(－x)＝ax－(1－a)x－a
＝ax＋(1－a)x－a
∴1－a＝0解得a＝±1.
当a＝1时(x)＝x－1在x∈(0＋∞)上单调递增满足条件．当a＝－1时(x)＝－x＋1在x∈(0＋∞)上单调递减不满足条件．故a＝1.
(2015·河北唐山模拟)f(x)是R上的奇函数当x≥0时(x)＝x＋(1＋x)则当x<0时(x)＝(　　)
－x3－(1－x)
．＋(1－x)
．－x＋(1－x)
【答案】　　设x0又f(x)是R上的奇函数
所以f(x)＝－[f(－x)]
＝－[(－x)＋(1－x)]
＝x－(1－x)．
(2014·山东济南一模)已知函数f(x)是(－∞＋∞)上的奇函数且f(x)的图象关于x＝1对称当x∈[0]时(x)＝2－1则f(2 013)＋f(2 014)的值为(　　)
【答案】　　∵函数f(x)为奇函数
∴f(－x)＝－f(x)又函数的图象关于x＝1对称则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)
∴f(4＋x)＝f[2＋x)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)．
(x)的周期为4.
又函数的图象关于x＝1对称
∴f(0)＝f(2)
∴f(2 013)＋f(2 014)
＝f(1)＋f(2)＝(1)＋f(0)
＝2－1＋2－1＝1.
(2014·浙江浙北名校联盟高三联考)已知函数y＝f(x＋1)为偶函数且f(x)在(1＋∞)上单调递减设＝(log210)，b＝f()，c＝f(0.1)，则a的大小关系正确的是(　　)
【答案】　　已知函数y＝f(x＋1)为偶函数故函数f(x)关于直线＝1对称．因为c＝(0.10.2)＝f(2－0.1)，1f(log310)>f(log210)，即c>b>a.
(2015·华南师大附中模拟)如表定义函数f(x)：
x 1 2 3 4 5
(x) 5 4 3 1 2
对于数列{a＝4＝f(a－1)＝2则a的值是(　　)
【答案】　　因为a＝4所以由函数定义知：
＝f(a)＝f(4)＝1；＝f(a)＝f(1)＝5；a＝f(a)＝f(5)＝2；a＝(a4)＝f(2)＝4数列{a是以4为周期的数列故a＝a＝5.
(2015·河南商13)设偶函数f(x)满足f(x)＝2－4(x≥0)则不等式f(x－2)>0的解集为________．
【解析】　由于f(x)是偶函数且x≥0时(x)＝2－4
∴f(x)＝f(－x)＝2－x－4.
当x－20解得x0解得x>4.
综上可知不等式解集为{x|x4}．
【答案】　{x|x4}
(2014·山东泰安二模)对于定义在R上的函数f(x)有以下四个命题：
若y＝f(x)是奇函数则y＝(x－1)的图象关于A(1)对称；
若对于任意x∈R有f (x－1)＝f(x＋1)则f(x)关于直线x＝1对称；
函数y＝f(x＋1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1
④如果函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝f(1－x)(x＋3)＝(3－x)那么该函数以4为周期．
其中正确命题的序号为________．
【解析】　①奇函数图象右移一个单位对称中心变为(1)，故①正确；②若对于任意x∈R有(x－1)＝f(x＋1)则(x)＝f(x＋2)故②错误；两函数图象关于直线x＝0对称故③错误；④f(x＋1)＝(1－x)＝f[(－2－x)3]＝[3－(－2－x)]＝f(5＋x)(x)＝f(x＋4)该函数以4为周期故④正确．
【答案】　①④
(时间：90分钟__分数：120分)
一、选择题(共10小题每小题5分共50分)
1(2013·广东)函数y＝的定义域是(　　)
B．[－1＋∞)
(－1)∪(1，＋∞)
D．[－1)∪(1，＋∞)
【答案】　　要使函数y＝有意义需满足x＋1>0且x－1≠0得x>－1且x1，故选
2．(2012·陕西)下列函数中既是奇函数又是增函数的为(　　)
C．y＝＝x|x|
【答案】　　方法一(定义法)：选项：y＝x＋1是非奇非偶的增函数．
选项：y＝－x是奇函数是减函
选项：y＝是奇函数是减函数．
选项：y＝x|x|＝其图象如图由图象可知＝x|x|是奇函数也是增函数．故选
方法二(排除法)：∵函数是奇函数排除；又函数是增函数排除故选
3．(2015·山东潍坊一模设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时(x)＝2＋2x＋b(b为常数)则f(－1)＝(　　)
【答案】　　∵f(x)为奇函数(－x)＝－f(x)(0)＝0则b＝－1(x)＝2＋2x－1(－1)＝－f(1)＝－(2＋2－1)＝－3故选
4．(2013·重庆)已知函数f(x)＝ax＋b＋4(aR)，f(lg(log210))＝5则f((lg 2))＝(　　)
【答案】　　∵f(x)＝ax＋b＋4
∴f(－x)＝a(－x)＋b(－x)＋4
即f(－x)＝－ax－b＋4②
①＋②得f(x)＋f(－x)＝8.③
又∵(log210)＝＝(lg 2)－1＝－(lg 2)，
∴f(lg(log210))＝f(－(lg 2))＝5
又由③式知f(－(lg 2))＋f((lg 2))＝8
∴5＋f((lg 2))＝8
∴f(lg(lg 2))＝3.故选
5．(2015·河南开封二模)已知函数f(x)＝则f(2＋)的值为(　　)
【答案】　　∵2＋＜4
∴f(2＋)＝f(3＋)
6．(2011·湖北)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数(x)满足f(x)＋g(x)＝a－a－x＋2(a＞0且a≠1)．若(2)＝a则f(2)＝(　　)
【答案】　　∵g(x)为偶函数(x)为奇函数
∴g(2)＝g(－2)＝a(－2)＝－f(2)
∴f(2)＋g(2)＝a－a－2＋2
f(－2)＋g(－2)＝－f(2)＋g(2)
＝a－2－a＋2
联立①②解得g(2)＝2＝a(2)＝a－a－2＝2－2－2＝故选
7．(2015·山西太原质检)设函数f(x)＝若(a)>f(－a)则实数a的取值范围是(　　)
(－1)∪(0，1)
B．(－∞－1)∪(1＋∞)
(－1)∪(1，＋∞)
D．(－∞－1)∪(0)
【答案】　　①当a＞0时f(a)＞f(－a)
∴log2a＞a＝.
∴a＞得a＞1.
当a＜0时(a)＞f(－a)
∴log(－a)＞(－a)＝.
∴－a＜得－1＜a＜0故项为正确选项．
(2014·河北石家庄检测)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)＝f(x－1)的图象关于点(1)对称且f(4)＝4则f(2 014)＝(　　)
【答案】　　(先用对称性求周期再求f(2 014))由y＝f(x－1)的图象关于点(1)对称可知＝f(x)的图象关于点(0)对称即为奇函数．令x＝－3可知(3)＋(－3)＝(3)，进而f(－3)＝f(3)．又f(－3)＝－f(3)(3)＝0(6＋x)＋f(x)＝0(x)是一个周期为12的周期函数(2 014)＝f(12×168－2)＝f(－2)＝－f(2)．令＝－4(－4＋6)＋f(－4)＝0(2)＝－f(－4)＝(4)＝4
∴f(2 014)＝－f(2)＝－4.
(2015·陕西西安模拟)已知偶函数f(x)对?R满足(2＋)＝f(2－x)且当－3≤x≤0时(x)＝(2－x)则f(2 015)的值为(　　)
【答案】　　∵f(2＋x)＝f(2－x)
∴f(4＋x)＝f[2－(2＋x)]＝(－x)．
又∵f(x)为偶函数即f(－x)＝f(x)
∴f(x＋4)＝f(x)则f(x)是以4为周期的周期函数(2 015)＝(3)＝f(－3)＝[2－(－3)]＝1.
(2015·山东威海模拟)设函数f(x)＝x＋1(α∈Q)的定义域为[－b－a]∪[a]，其中0<a0且a≠1)在区间(2)内恒有f(x)>0则f(x)的单调递增区间是________．
【解析】　x∈(2)时＋x－3f(x2)．则，f(2)，f(3)从小到大排列是____________．
【解析】　由①得f(x＋2)＝f(x＋1＋1)＝＝(x)，所以函数f(x)的周期为2.因为函数y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称将函数y＝f(x＋1)y＝f(x)的图象所以函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称．根据③可知函数f(x)在[0]上为减函数又结合②知函数f(x)在[1]上为增函数．因为f(3)＝f(2＋1)＝(1)，在区间[1]上<2，所以f(1)<<f(2)，即f(3)<f (2)．
【答案】　f(3)<f m求实数m的取值范围．
解：(1)当x∈(－1)时－x∈(0)．
由f(x)为R上的奇函数
得f(－x)＝－f(x)＝＝
∴f(x)＝(－1)．
又由f(x)为f(0)＝0
∵f(x＋1)＝f(x－1)
∴当x＝0时(1)＝f(－1)．
又∵f(－1)＝－f(1)
∴f(－1)＝0(1)＝0
故f(x)在区间[－1]上的解析式为
(2)∵x∈(0)，
∴f(x)＝＝＝1－
又∵2(1，2)，∴1－.
若存在x∈(0)，满足f(x)>m
故实数m的取值范围为
16．(12分)(2015·山东潍坊高三月考)函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0R}，满足对?有f(x)＝(x1)＋f(x)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)若f(4)＝1(x－1)<2且f(x)在(0＋∞)上是增函数求x的取值范围．
解：(1)∵?有f(x)＝(x1)＋f(x)，
∴令x＝x1，得f(1)＝2f(1)
∴f(1)＝0.
(2)f(x)在D上为偶函数证明如下：
令x＝x＝－1
有f(1)＝f(－1)＋f(－1)
∴f(－1)＝(1)＝0
令x＝－1＝x
有f(－x)＝f(－1)＋f(x)
∴f(－x)＝f(x)．
(x)在D上为偶函数．
(3)依题意由f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2
由(2)知(x)是偶函数
∴f(x－1)<2即为f(|x－1|)<f(16)．
又f(x)在(0
∴0<|x－1|<16
解得－15<x(0)＝0
令y＝－x则f(x)＋f(－x)＝0=>(－xf(x)，
∴f(x)在(－1)上是奇函数．
(2)f(x)在(0)上单调递减．理由如下：
设0＜x＜x＜1
则f(x)－f(x)＝f(x)＋f(－x)＝f
而x－x＜0＜x＜1=>＜0.
又－(－1)＝＞0
故－1＜＜0则f ＞0
即当0＜x＜x＜1时(x1)＞f(x)，
∴f(x)在(0)上单调递减．
(3)由于f －f
同理－f ＝f
∴f －f －f
＝2f ＝2×＝1.
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