已知a是实数，函数f（x）=2ax^2+2x-3-a，如果函数y=f（x）在区间【-1,1】上有零点，求a得取值范围
本题为07年广东高考文科最后一道压轴题
即求方程2ax^2+2x-3-a=0在区间[-1,1]上有解时，a的取值范围。
首先对参数a进行讨论，a不同函数的类型也不同，其次是对解得个数的讨论，解得个数不同，a也不同。
（1）a=0时，y是一次函数，此时y=2x-3，使y为0的x=3/2，不在[-1,1]上，所以在[-1,1]上没有零点，故a≠0.
（2）a≠0，f（x）=2ax^2+2x-3-a是个二次函数，函数f（x）的零点就是方程f（x）的实数根，也是函数f（x）的图像与x轴的交点，这些我们要明确的。
一：图像在[-1,1]有一个交点，这个交点不是抛物线的顶点。此时有f（-1）*f（1）=（a-1）*(a-5)≤0，即1≤a≤5
二：图像在[-1,1]有一个交点，这个交点恰是抛物线的顶点.这时就要让函数△=0，再把令△=0的两根求出看看是否在区间[-1,1]中，如果在就保留，不在就舍去，解得a1=（-3-√7）/2&
a2=（-3+√7）/2，当a=（-3-√7）/2时，由f（x）=0得x=（3-√7）/2∈[-1,1]，所以此时也有零点
三：图像在[-1,1]有两个交点，此时分a＞0和a＜0两种情况讨论。函数在[-1,1]上有两个零点的充要条件是什么或者说是函数在[-1,1]上有两个零点等价于什么，我们把文字语言转化为数学语言就是
a＞0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&#+24a+4＞0
-1＜(-1)/2a＜1
f（-1）≥0
&#+24a+4＞0
-1＜(-1)/2a＜1
f（-1）≥0
解得a≥5或a＜（-3-√7）/2
再综合前面所有对a的讨论得出a的取值范围是a≥1或者a≤（-3-√7）/2
很多同学在解答此类题时感到无从下手。我的建议是根据a的不同分为一次函数和二次函数，再根据二次函数零点的多少分为一个零点和两个零点在定义域内，最后根据是顶点在定义域还是一般的点在定义域中分为两种情况，解答时要依据函数图像的特征进行求解。
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已知函数f（x）=x，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．（1）求λ的最大值；（2）若g（x）＜t2+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）∵f（x）=x，∴g（x）=λx+sinx，∵g（x）在[-1，1]上单调递减，∴g'（x）=λ+cosx≤0∴λ≤-cosx在[-1，1]上恒成立，λ≤-1，故λ的最大值为-1．（2）由题意[g（x）]max=g（-1）=-λ-sinl∴只需-λ-sinl＜t2+λt+1∴（t+1）λ+t2+sin+1＞0（其中λ≤-1），恒成立，令h（λ）=（t+1）λ+t2+sin1+1＞0（λ≤-1），则 t+1＜0-t-1+t2+sin1+1＞0，∴t＜-1t2-t+sin1＞0，而t2-t+sin1＞0恒成立，∴t＜-1又t=-1时-λ-sinl＜t2+λt+1故t的取值范围：t≤-1
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=x，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．（..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性，函数的单调性与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的奇偶性、周期性函数的单调性与导数的关系
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&
发现相似题
与“已知函数f（x）=x，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．（..”考查相似的试题有：
818082867926341234526593865738856442菁优解析考点：；；．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）f（x）=x2+2x|x-a|=2+a2，x≤a3(x-a3)2-a23，x＞a，分a≥0与a＜0讨论，利用二次函数的单调性质即可求得函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）由题意知，只需fmin（x）≥4，fmax（x）≤16，利用f（x）在x∈[1，2]上恒递增，可求得a的范围或；再对a分与两类讨论，即可求得a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=x2+2x|x-a|=2+a2，x≤a3(x-a3)2-a23，x＞a，当a≥0时，f（x）在（-∞，a）和（a，+∞）上均递增；当a＜0时（如图），f（x）在（-∞，a）和上递增，在在上递减&…（6分）（Ⅱ）由题意知，只需fmin（x）≥4，fmax（x）≤16，首先，由（Ⅰ）可知，f（x）在x∈[1，2]上恒递增，则fmin（x）=f（1）=1+2|1-a|≥4，解得或；其次，当时，f（x）在R上递增，故fmax（x）=f（2）=4a-4≤16，解得；当时，f（x）在[1，2]上递增，故fmax（x）=f（2）=12-4a≤16，解得．综上：或…（15分）点评：本题考查函数单调性的判断与证明，着重考查分类讨论思想与数形结合思想、等价转化思想的综合应用，是难题．答题：wfy814老师　
&&&&，V2.27761若函数f(x)=ax平方-(a-1)x+5在区间(1/2,1)上是增函数,求实数a的取值范围.
提问：级别：二年级来自：浙江省温州市
回答数：2浏览数：
若函数f(x)=ax平方-(a-1)x+5在区间(1/2,1)上是增函数,求实数a的取值范围.
若函数f(x)=ax平方-(a-1)x+5在区间(1/2,1)上是增函数,求实数a的取值范围.
&提问时间： 12:49:45
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回答：级别：高级教员 17:19:09来自：山东省临沂市
(1).a=0时，y=x+5,在（1/2,1)上是增函数；
(2).a&0时，要求抛物线对称轴在1/2左边：
(a-1)/2a≤1/2, a-1≤a, 对所有a&0成立；
(3).a&0时，要求抛物线对称轴在1右左边：
(a-1)/2a≥1，a-1≤2a.a≥-1.
实数a的取值范围是a≥-1.
提问者对答案的评价：
此为最佳答案的揪错，但并不代表问吧支持或赞同其观点
揪错：级别：幼儿园 19:51:28来自：浙江省温州市
b＝-（a-1）x
不是（a-1）x
回答：级别：专业试用 17:25:22来自：河南省郑州市
本题是一类考查对二次函数系数讨论的非常典型的试题，一定要熟悉其方法：
1。当a＝0时，函数是一次函数，明显在规定区间是增函数，符合题意。
2。当a不等于0时，函数是二次函数，这时候一定要注意数形结合分析题目（对于函数、立体几何和解析几何数形结合是非常必要的，切记）
当a&0时，函数开口向上，通过画图可以发现只有当对称轴在1/2左侧的时候，才满足题意，故可求得a的取值范围。
同理可得，当a&0时，只有当对称轴在1右侧的时候，才满足题意，故可求得a的取值范围。
综合以上2种情况可得a的取值范围
总回答数2，每页15条，当前第1页，共1页
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