数学中的概率概率问题

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数学部分经典问题之概率问题
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九年级数学 第10讲 概率问题(1)
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九年级数学 第10讲 概率问题(1)
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{description}高考第一轮复习数学:概率(附答案)-高考数学试题、数学高考试卷、模拟题、复习资料-高中数学试卷-试卷下载
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高考第一轮复习数学:概率(附答案)
素质能力检测(十一)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.从含有10个元素的集合的全部子集中任取一个,所取的子集是含有3个元素的集合的概率是
A.              B.              C.              D.
解析:含有3个元素的集合个数为C,
所有子集的个数为210,
所求概率P==.
2.把红、白、黑三张卡片随机地分给甲、乙、丙三人,每人一张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是
A.互斥非对立事件                         B.对立事件
C.互相独立事件                       D.以上都不对
解析:由定义可得,选A.
3.甲、乙两人射击的命中率分别为0.8和0.7,二人同时射击互不影响,结果都命中的概率是
A.0.56             B.0.06             C.0.14             D.0.24
解析:P=0.8×0.7=0.56,选A.
4.一批零件10个,其中有8个合格品,2个次品,每次任取一个零件装配机器,若第一次取得合格品的概率是P1,第二次取得合格品的概率是P2,则
A.P1&P2                       B.P1=P2                       C.P1&P2      
解析:P1==,P2==,所以P1=P2.
5.袋中有红、黄、白色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取3次,则下列事件中概率是的是
A.颜色全同      
               B.颜色全不同
C.颜色无红色      
              D.颜色不全同
解析:先计算颜色全相同的概率为P==,所以是颜色不全同的概率.
6.(2004年江苏模拟题)一个正方体,它的表面涂满了红色.在它的每个面上切两刀,可得27个小立方块,从中任取2个,其中恰有1个一面涂有红色,1个两面涂有红色的概率为
A.             B.             C.              D.
解析:由=.故选C.
7.从1,2,…,6这六个数中,随机抽取3个不同的数,则这3个数的和为偶数的概率是
A.       
 B.       
 C.       
解析:3个数的和为偶数可能都是偶数或2个奇数1个偶数,其取法为C+CC.
∴P==.故选C.
8.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台,其中两种品牌齐全的概率是
A.       
 B.       
 C.              D.
解析:品牌齐全的取法有CC,
故所求概率P==.
9.(2004年武汉模拟题)设两个独立事件A和B均不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是
A.      
 B.               C.       
解析:设A、B发生的概率分别为p1、p2,
解得p1=p2=.故选D.
10.(2004年潍坊市模拟题)一次课改经验交流会打算交流试点类学校的论文5篇和非试点类学校的论文3篇.排列次序可任意排列,则最先和最后交流的论文不来自同类学校的概率是
A.              B.              C.              D.
解析:最先和最后交流论文来自不同学校的取法为CCAA.
∴所求概率P==.
11.甲袋内装有白球3个、黑球5个,乙袋内装有白球4个、黑球6个.现从甲袋内随机抽取一个球放入乙袋,充分掺混后再从乙袋内随机抽取一个球放入甲袋,则甲袋内白球没有减少的概率为
A.              B.              C.              D.
解析:分两类.(1)若从甲袋取黑球,其白球没有减少的概率P1=.
(2)若从甲袋中取白球,同样P2=.
故白球没有减少的概率P=+=+=.
12.如果一个人的生日在星期几是等可能的,那么6个人的生日都集中在一个星期中的两天,但不是都在同一天的概率是
A.                         B.
C.                         D.
解析:(1)每个人生日都有7种可能,故共有76种;
(2)集中在两天中,故为C(26-2)(每人生日有两种可能,集中在同一天也为2种).所以P=,故选A.
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2004年广东,13)某班委会由4名男生与3名女生组成.现从中选出2人担任正副班长,其中至少有1名女生当选的概率是________.(用分数作答)
解析:2名女生当选的取法为C,1名女生当选的取法为CC.
∴概率为=.
14.(2005年春季上海,6)某班共有40名学生,其中只有一对双胞胎,若从中一次随机抽查三位学生的作业,则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是________.(结果用最简分数表示)
解析:∵抽查三位学生双胞胎在内的方法为C种,
15.某厂有三个顾问,假定每个顾问发表的意见是正确的概率为0.8.现就某事可行与否征求各顾问的意见,并按顾问中多数人的意见作出决策,作出正确决策的概率是________.
解析:至少有两个顾问作出正确决定即可.
P=C?0.82?0.2+0.83=0.896.
答案:0.896
16.六位身高全不相同的同学拍照留念,摄影师要求前后两排各三人,则后排每人均比前排同学高的概率是________.
解析:6位同学共有A种排法,其中后排每人均比前排同学高,共有AA种排法,故其概率为=.
三、解答题(本大题共6小题,共74分)
17.(12分)已知集合A={-8,-6,-4,-2,0,1,3,5,7},在平面直角坐标系中,点(x,y)的坐标x∈A,y∈A,且x≠y,计算:
(1)点(x,y)正好在第二象限的概率;
(2)点(x,y)不在x轴上的概率.
解:(1)P1==.
(2)P2==(或P2=1-=.
∴点(x,y)正好在第二象限的概率是,
点(x,y)不在x轴上的概率是.
18.(12分)某商店采用“购物摸球中奖”促销活动,摸奖处袋中装有10个号码为n(1≤n≤10,n∈N*),重量为f(n)=n2-9n+21(g)的球.摸奖方案见下表:
凡一次购物在[50,100]元者,摸球1个,若球的重量小于该球的号码数,则中奖
凡一次购物在100元以上者,同时摸出两球,若两球的重量相等,则中奖
说明:凭购物发票到摸奖处,按规定方案摸奖;这些球以等可能性从袋中摸出;假定符合条件的顾客均参加摸奖.
试比较方案①与②的中奖概率的大小.
解:当球的重量小于号码数时,有
n2-9n+21&n,解得3&n&7.
∵n∈N*,∴n的取值为4,5,6.
∴所求的概率为P1=.
设第n号与第m号的两个球的重量相等,不妨设n&m,则有n2-9n+21=m2-9m+21,
即(n-m)(m+n-9)=0.
∵n≠m,∴m+n=9.
∴(n,m)的取值满足(1,8),(2,7),(3,6),(4,5).
∴所求的概率为P2==.
∴P1&P2,即方案①的中奖概率大.
19.(12分)如图,电路中4个方框处均为保险匣,方框内数字为通电后在一天内保险丝不被烧断的概率,假定通电后保险丝是否烧断是互相独立的.
求:(1)通电后电路在一天内A、B恰有一个被烧断的概率;
(2)通电后电路在一天内不断路的概率.
解:以A、B、C、D分别记为各处保险丝不被烧断的事件,则它们的对立事件为、、、,依题意各事件是相互独立的.
(1)通电后电路在一天内A、B恰有一个被烧断包括两种情况:
A被烧断但B不被烧断,即?B事件发生;
A不被烧断但B被烧断,即A?事件发生.
由题意事件?B与A?互斥,
故所求概率为
P(?B+A?)=P(?B)+P(A?)=P()P(B)+P(A)P()=(1-)×+×(1-)=.
(2)左电路系统不断路的概率为1-P(??)=1-P()P()P()=1-(1-)(1-)(1-)=.
一天内电路不断路的概率为×=.
20.(12分)某学生骑自行车上学,从家到学校的途中有2个交通岗.假设他在这两个交通岗处遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是0.6,计算:
(1)2次都遇到红灯的概率;
(2)至少遇到1次红灯的概率.
(1)解:记“他第一次遇到红灯”为事件A,记“他第二次遇到红灯”为事件B.由题知,A与B是相互独立的,因此,“他两次都遇到红灯”就是事件A?B发生.根据相互独立事件的概率乘法公式,得P(A?B)=P(A)?P(B)=0.6×0.6=0.36.
答:他两次都遇到红灯的概率是0.36.
(2)解法一:=“他第一次没有遇到红灯”,=“他第二次没有遇到红灯”.
∴?B=“他第一次没有遇到红灯,第二次遇到红灯”,A?=“他第一次遇到红灯,第二次没有遇到红灯”,并有?B与A?是互斥的,因此,他恰有一次遇到红灯的概率是P(?B+A?)=P(?B)+P(A?)=(1-0.6)×0.6+0.6×(1-0.6)=0.48.
∴他至少遇到1次红灯的概率是P(A?B)+P(?B+A?)=0.36+0.48=0.84.
答:至少遇到1次红灯的概率是0.84.
解法二:=“他第一次没有遇到红灯”,=“他第二次没有遇到红灯”.
∴?=“他两次都没有遇到红灯”,
P(?)=P()?P()=(1-0.6)×(1-0.6)=0.16.
∴他至少遇到1次红灯的概率是P=1-P(?)=1-0.16=0.84.
答:至少遇到1次红灯的概率是0.84.
21.(12分)(理)现有5个工人独立地工作,假定每个工人在1小时内平均有12分钟需要电力.
(1)求在同一时刻有3个工人需要电力的概率;
(2)如果最多只能供应3个人需要的电力,求超过负荷的概率.
解:(1)依题意,每名工人在1小时内需要电力的概率是P==.
因此,在同一时刻有3个工人需要电力的概率为P1=C()3()2=0.0512.
(2)超负荷的概率为P2=C()4()+C()5=+=0.00672.
(文)甲、乙两个篮球运动员,投篮命中率分别是0.7和0.8,每人投篮两次.
(1)求甲进2球,乙进1球的概率;
(2)若投进1球得2分,未投进得0分,求甲、乙二人得分相等的概率.
解:(1)依题意,所求概率为P1=C0.72?C0.8×0.2=0.1568.
(2)甲、乙二人得分相等的概率为
P2=C0.72?C0.82+C0.7×0.3×C0.8×0.2+0.32×0.22
=0.4+0.0036
22.有点难度哟!
(14分)某数学家随身带着甲、乙两盒火柴,每盒有n根,每次用时,随机地任取一盒,然后从中抽取一根(巴拿赫火柴问题).求:
(1)第一次发现一盒空时,另一盒恰剩r根火柴的概率(r=0,1,…,n);
(2)第一次用完一盒火柴(不是发现空)时另一盒恰剩r根火柴的概率(r=1,2,…,n).
分析:第n+1次取到甲盒时,才发现甲盒空,但第n次取甲盒后即已用完甲盒火柴.因此(1)(2)中的两个事件不同.
解:(1)记A=“首次发现一盒空时另一盒恰剩r根火柴”,
B=“首次发现的空盒是甲盒且此时乙盒恰剩r根火柴”,
C=“首次发现的空盒是乙盒且此时甲盒恰剩r根火柴”.
则事件B与C互斥,A=B+C.
由于甲、乙盒所处地位相同,故P(B)=P(C).
为求P(B),令D=“在甲、乙两盒中任取一盒,得到甲盒”,则P(D)=.
事件B发生相当于独立重复地做了2n-r+1次试验,前2n-r次D恰好发生n次、第2n-r+1次D也发生.
因此P(B)=C()n(1-)n-r?
P(A)=P(B)+P(C)=2P(B)=C.
(2)记E=“首次用完一盒时另一盒恰有r根”,
F(G)=“首次用完的是甲(乙)盒且此时乙(甲)盒恰有r根火柴”.
则事件F与G互斥,E=F+G.
事件F发生相当于独立重复地做了2n-r次试验,前2n-r-1次D恰好发生n-1次,第2n-r次D也发生.
故P(F)=C()n-1(1-)n-r?=C.
类似(1),P(E)=P(F)+P(G)=2P(F)=C.
评述:改记A为Ar,则A0,A1,…,An彼此互斥,和是必然事件,故C=1;
改记E为Er,则E1,E2,…,En也彼此互斥,和是必然事件,
因此使用概率方法我们可以得到一些恒等式.
(1)中分别取r=0和n,得
P(首次发现一盒空时另一盒也空)=C,
P(首次发现一盒空时另一盒原封未动)=;
(2)中取r=n,得
P(用完一盒时另一盒原封未动)=.概率常识科普,类似生孩子问题,三门问题,不必纠结了。_数学吧_百度贴吧
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什么是概率呢?很早的时候我们就知道抛一枚硬币,可能正可能反,而对于一枚正常的硬币,并且无刻意倾向的话,得到正面和反面的可能性都是1/2.实际上,我们并非观察了“可能性”是1/2,这是经验告诉我们,得到正面的频率总是很会越来越接近1/2.那么有什么方法可以证明抛硬币得到正面的概率是1/2吗?回答是:没有。
在没有量子力学的年代,机械决定论说明万物都是可以推算的。爱因斯坦也说过:“上帝是不会掷筛子的”。虽然,抛一枚硬币我们不知道是正是反,但是如果掌握了足够准确的细节,并且进行正确的推算,在宏观范围内,我们是可以计算出是正是反的。但是我们通常是做不到的,因此我们选择了用概率来描述这种我们还推算不出来的结果,概率完全是为了客观需要,而抽象出来的一种数学量。
概率学最早兴起和赌博有关,最早也是离散模型的概率问题。即有一个样本空间W,W中每个点对应一种可能的情况,并且每个点对应的可能性相等,即等概率事件。对于W的任何子集A,都表示了一类事件,这类事件发生的概率就是cardA/cardW.
由以上定义可以看出,如果没有给出一个样本空间,那么事件的概率问题是无意义的。比如:(1)明天下雨的概率(2)有外星人的概率(3)李煌会成为数学家的概率...
再没有其他信息的情况下,这些概率都是无法计算的。但是如果假设某个概率模型下,那么在这个模型下是可以计算的。
比如(1)有条件:明天分成24个小时,每个小时小雨的概率是p,并且相互独立。那么这一天下雨的概率就是1-(1-p)^24.
另外在常识条件下,我们也可以得出事件(3)的概率是零。不过李煌不用放弃,实际上概率为零的事件不代表不可能发生,
有的时候,我们会默认一些模型,例如抛硬币,我们总是认为正反的可能性都是1/2.并且我们认为每次抛硬币都是独立事件,结果互不影响。生孩子问题和抛硬币是完全一样的。因此必须在承认同一个模型下,讨论概率问题才有意义。
下面进入正题:条件概率。
什么是条件概率?正如我们一开始所说,概率是我们无法预知某个事件的结果而抽象出的一种概念。但是如果我们得到了足够多的细节信息,那么我们可以计算出抛硬币是正还是反。就好像一个孕妇怀着孩子,一般情况我们可以认为男女概率都是1/2,但是如果做了B超,发现是男孩,那么孕妇怀着男孩的概率就会很大(到底多大取决于技术水平了)。
可见,信息量会影响概率。如果问:“一个人类是男性的概率多大?”那么我们会回答“1/2”,如果问:“数学系学生是男性的概率有多大?”,就常识信息而言,这个概率会比1/2大得多。
为了描述这一现象,数学上用条件概率来实现。比如:“已知一个数可能是1,2,...,10,并且都是等概率的”(相当于给了一个数学模型),那么这个数是素数的概率是2/5.如果已知这个数奇数,那么这个数只可能是“1,3,5,7,9”,这个时候是素数的概率就是3/5.
即对于样本空间W,A是一个事件,B是一个事件。如果我们已经知道事情一定发生在B的范围内(相当于给了额外信息),即如果用x来表示可能发生的情况,即在x∈B的条件下,求A发生的概率。 这就是条件概率,通常记为P{x∈A∣x∈B}=P(A∣B)
从上一个例子,我们容易想到P(A∣B)=car(A∩B)/cardB再根据P(A∩B)=card(A∩B)/cardW,P(B)=cardB/cardW,可知P(A∣B)=P(A∩B)/P(B).
这就是条件概率公式。下面就最近流行的生孩子问题和以前很火的三门问题解释一遍:问题1:已知夫妇有两个孩子,并且老大是男孩,问另一个孩子是男孩的概率是多少?首先,我们必须承认一个常识模型:男,女是等概率事件,并且两个孩子是男是女是独立事件,互不影响。用1表示男,0表示女。(i,j)可以表示所有可能的情况(i,j为0或1)。在这里,“老大是男孩”,告诉我们的信息是i=1.因此另一个孩子是男孩的情况是(1,1)。用条件概率计算得(1/4)/(1/2)=1/2.1/4表示(1,1)发生的概率,1/2表示i=1发生的概率。问题2:已知夫妇有两个孩子,并且有至少一个是男孩,问另一个孩子是男孩的概率是多少?有人看不出两个问题的区别,就会导致仍然认为是1/2.实际上:“老大是男孩”可以得出“至少有一个是男孩”,但是“至少有一个是男孩”得不出“老大是男孩”,也就是说问题2中的条件更弱,事件更广泛。这里的P(1,1)永远都不会变,依然是1/4.关键是条件概率中的分母变大了(即条件弱了),容易算出至少有一个是男孩的该老师3/4,因此这个条件概率是1/3.问题3:已知夫妇有两个孩子,其中一个是男孩,问另一个孩子是男孩的概率是多少?个人认为这是语文问题,看不出这是问题1还是问题2的意思,所以不必探讨。三门问题:已知三个门有且仅有一个门后面有奖品,并且已知每次你选中一扇门之后,主持人都会将剩下两扇门(至少有一个是空门)中的一扇空门打开,那么给你一次放弃当前选择而选择另一扇没被打开的门的机会,你会放弃当前选择吗?解答:这里可以用i来表示所有的情况(i=1,2,3)表示第i号门有奖品。我们假定的模型是i=1,2,3都是等概率事件,即概率都是1/3.首先我们要知道无论你选了那扇门,主持人都能在剩下的两扇门中打开一个空门。无论如何,你选门的时候,三扇门中奖的概率都是1/3.假设你选了1号门,那么我们认为P{i=1}=1/3.接下来,不妨假设主持人将2号空门打开了。这个时候,我们得到了一个信息,那就是i≠2.因为i=2或3的概率本来是2/3,现在i=2不可能了,因此说明i=3的概率就是i=2或3的概率,即2/3.所以应该改变选择。可能有人会问:用条件概率公式得出P{i=3∣i≠2}=(1/3)/(2/3)=1/2,为什么不能这么算。实际上简单的解释是,概率模型变化了。选手选择的时候的概率模型是i=1,2,3的概率都是1/3.选手选择之后,概率模型是i=1,或者i∈{2,3},前者概率是1/3,后者概率是2/3(可以理解为选手只关系1号门后面是否有奖),有人可能觉得这没区别。实际上由于主持人的行为是在选择之后,主持人的行为相当于将i∈{2,3}这个事件,确定为i=3,即主持人的行为导致了i∈{2,3}等价于i=3。而i∈{2,3}的概率是2/3,所以3号门有奖的概率是2/3.以上只是概率常识,并非概率论知识。适合没学过概率论基础的人看...
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很老的题目'''但是还是相当经典
排版好看一些看的人就更多了
花了半个小时,累死了,哪有工夫去排版,。不过貌似,段首我空了2格,但是莫名其妙被吞了,****。
李煌躺着中枪了= =
三门问题的后续:如果主持人打开空门后,你妈妈喊你回家吃饭了这时候过来个路人甲,他不知道前面发生了什么事情那么路人甲应该如何进行选择
也就是说路人不知道选手选了1还是3,那么对于他肯定两者概率一样。正如我所说,信息量影响了概率。虽然这在基础概率论中没这方面说法,这个说法也略显俗,但是在这些生活概率题中,还是要经常这么想的。
那么,在主持人打开门以后,你装作不知道前面发生了什么事情,你又会如何选择
多学多想少说教...这种贴能如其标题的基本没有
张起灵身世结局,与吴邪共赴十年之约!
“多学多想少说教...”你这是在“说教”我吗?我这个标题,难道是标题党?真囧。
我也是这么想的。信息量改变了概率。
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