高一高中数学不等式 不等式

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高一数学必修5基本不等式总结和例题
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高中数学不等式知识点总结:不等式:①不等关系是客观世界中量与量之间的一种主要关系,而不等式则是反映这种关系的基本形式,一直是高考考查的重点内容,尤其以实际问题、函数为背景的综合题较多。不等式的定义域性质是不等式的基础,许多不等式的定理、公式都是在此基础上推理、拓展而成的,因此学校时要抓住基本概念和性质,熟练掌握性质的变形及其应用,不断提升思维的深度和广度,才能在解决与不等式有关的综合题上有备无患、得心应手。②一元二次不等式是历年考查的重点,因为其与一元二次函数、一元二次方程等联系密切,内容交融,经常考查含参数的不等式的求解、恒成立问题、一元二次不等式的实际应用、综合推理题等。因此学习时应该通过图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、二次方程的联系。③线性规划问题是众多知识的交汇点,在实际生活、实际生产中的应用十分广泛,而且在线性规划问题的解决中,需要用到多种数学思想方法。所以线性规划也是高考命题的热点内容。高考中主要考查平面区域的表示。线性目标函数的最值等问题,主要以选择题、填空题的形式出现,有时也以解答题的形式出现。
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高一数学不等式证明经典例题10
作者:佚名 资料来源:网络 点击数: &&&
高一数学不等式证明经典例题10
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文章来源莲山 课件 w ww.5 YK J.COM 典型例题一
例1& 若 ,证明 (& 且 ).分析1& 用作差法来证明.需分为 和 两种情况,去掉绝对值符号,然后比较法证明.解法1 (1)当 时,因为& ,所以& & & .(2)当 时,因为& 所以& &&& &&& .综合(1)(2)知 .分析2& 直接作差,然后用对数的性质来去绝对值符号.解法2& 作差比较法.因为& &&& &&&,所以 .说明:解法一用分类相当于增设了已知条件,便于在变形中脱去绝对值符号;解法二用对数性质(换底公式)也能达到同样的目的,且不必分而治之,其解法自然简捷、明快.典型例题二
例2& 设 ,求证: 分析:发现作差后变形、判断符号较为困难.考虑到两边都是正数,可以作商,判断比值与1的大小关系,从而证明不等式.证明: ∵ ,∴ ∴ .& ∴& 又∵ ,∴ .说明:本题考查不等式的证明方法――比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是:判断符号、作商、变形、判断与1的大小.典型例题三
例3 对于任意实数 、 ,求证 (当且仅当 时取等号)分析 这个题若使用比较法来证明,将会很麻烦,因为,所要证明的不等式中有 ,展开后很复杂。若使用综合法,从重要不等式: 出发,再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。证明:∵& (当且仅当 时取等号)两边同加 ,即:&&&&&&&&&&&&&&&&&& (1)又:∵&& (当且仅当 时取等号)两边同加 &&& ∴& ∴&&&&&&&&&&&&&&&&& (2)由(1)和(2)可得 (当且仅当 时取等号).说明:此题参考用综合法证明不等式.综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明,要注意均值不等式的变形应用,一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解.典型例题四
例4 已知 、 、 , ,求证 分析 显然这个题用比较法是不易证出的。若把 通分,则会把不等式变得较复杂而不易得到证明.由于右边是一个常数,故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式,比如 ,再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径,这也常称为“凑倒数”的技巧.证明:∵ ∴&& &&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&& ∵ ,同理: , 。∴& 说明:此题考查了变形应用综合法证明不等式.题目中用到了“凑倒数”,这种技巧在很多不等式证明中都可应用,但有时要首先对代数式进行适当变形,以期达到可以“凑倒数”的目的.典型例题五
例5 已知 ,求证: >0.分析:此题直接入手不容易,考虑用分析法来证明,由于分析法的过程可以用综合法来书写,所以此题用两种方法来书写证明过程.证明一:(分析法书写过程)为了证明 >0只需要证明 > ∵ ∴ ∴ >0∴ > 成立∴ >0成立证明二:(综合法书写过程)∵& ∴ ∴ >&&& >0∴ > 成立∴ >0成立说明:学会分析法入手,综合法书写证明过程,但有时这两种方法经常混在一起应用,混合应用时,应用语言叙述清楚.典型例题六
例6& 若 ,且 ,求证:&分析 这个不等式从形式上不易看出其规律性,与我们掌握的定理和重要的结论也没有什么直接的联系,所以可以采用分析的方法来寻找证明途径.但用“分析”法证不等式,要有严格的格式,即每一步推出的都是上一步的充分条件,直到推出的条件是明显成立的(已知条件或某些定理等).证明:为要证 只需证 ,即证 ,也就是 ,即证 ,即证 ,∵ ,∴ ,故 即有 ,又 由 可得 成立,∴ 所求不等式 成立.&&& 说明:此题考查了用分析法证明不等式.在题目中分析法和综合法是综合运用的,要注意在书写时,分析法的书写过程应该是:“欲证……需证……”,综合法的书写过程是:“因为(∵)……所以(∴)……”,即使在一个题目中是边分析边说明也应该注意不要弄混.
典型例题七
例7 若 ,求证 .分析:本题结论的反面比原结论更具体、更简、宜用反证法.证法一:假设 ,则 ,而 ,故 .∴ .从而 ,∴ .∴ .∴ .这与假设矛盾,故 .证法二:假设 ,则 ,故 ,即 ,即 ,这不可能.从而 .证法三:假设 ,则 .由 ,得 ,故 .又 ,∴ .∴ ,即 .这不可能,故 .说明:本题三种方法均采用反证法,有的推至与已知矛盾,有的推至与已知事实矛盾.一般说来,结论中出现“至少”“至多”“唯一”等字句,或结论以否定语句出现,或结论肯定“过头”时,都可以考虑用反证法.
典型例题八
例8 设 、 为正数,求证 .分析:用综合法证明比较困难,可试用分析法.证明:要证 ,只需证 ,即证 ,化简得 , .∵ ,∴ .∴ .∴原不等式成立.说明:1.本题证明易出现以下错误证法: , ,然后分(1) ;(2) ;(3) 且 ;(4) 且 来讨论,结果无效.2.用分析法证明数学问题,要求相邻两步的关系是 ,前一步是后一步的必要条件,后一步是前一步的充分条件,当然相互为充要条件也可以.典型例题九
例9 已知 ,求证 .分析:联想三角函数知识,进行三角换元,然后利用三角函数的值域进行证明.证明:从条件看,可用三角代换,但需要引入半径参数 .∵ ,∴可设 , ,其中 .∴ .由 ,故 .而 , ,故 .说明:1.三角代换是最常见的变量代换,当条件为 或 或 时,均可用三角代换.2.用换元法一定要注意新元的范围,否则所证不等式的变量和取值的变化会影响其结果的正确性.典型例题十
例10 设 是正整数,求证 .分析:要求一个 项分式 的范围,它的和又求不出来,可以采用“化整为零”的方法,观察每一项的范围,再求整体的范围.证明:由 ,得 .当 时, ;当 时, ……当 时, .∴ .说明:1、用放缩法证明不等式,放缩要适应,否则会走入困境.例如证明 .由 ,如果从第3项开始放缩,正好可证明;如果从第2项放缩,可得小于2.当放缩方式不同,结果也在变化.2、放缩法一般包括:用缩小分母,扩大分子,分式值增大;缩小分子,扩大分母,分式值缩小;全量不少于部分;每一次缩小其和变小,但需大于所求,第一次扩大其和变大,但需小于所求,即不能放缩不够或放缩过头,同时放缩后便于求和.典型例题十一
例11 已知 ,求证: .分析:欲证不等式看起来较为“复杂”,宜将它化为较“简单”的形式,因而用分析法证明较好.证明:欲证 ,只须证 .即要证 ,即要证 .即要证 ,即要证 .即要证 ,即 .即要证    (*)∵ ,∴(*)显然成立,故 说明:分析法证明不等式,实质上是寻求结论成立的一个充分条件.分析法通常采用“欲证――只要证――即证――已知”的格式.典型例题十二
例12 如果 , ,& ,求证: .分析:注意到不等式左边各字母在项中的分布处于分离状态,而右边却结合在一起,因而要寻求一个熟知的不等式具有这种转换功能(保持两边项数相同),由 ,易得 ,此式的外形特征符合要求,因此,我们用如下的结合法证明.证明:∵ &       &&&& .∴ .说明:分析时也可以认为是连续应用基本不等式 而得到的.左右两边都是三项,实质上是 公式的连续使用.如果原题限定 , ,& ,则不等式可作如下变形: 进一步可得到: .显然其证明过程仍然可套用原题的思路,但比原题要难,因为发现思路还要有一个转化的过程.
典型例题十三
例13 已知 , , ,求证:在 三数中,不可能都大于 .分析:此命题的形式为否定式,宜采用反证法证明.假设命题不成立,则 三数都大于 ,从这个结论出发,进一步去导出矛盾.证明:假设 三数都大于 ,即 , , .又∵ , , ,∴ , , .∴    ①又∵ , , .以上三式相加,即得:&  ②显然①与②相矛盾,假设不成立,故命题获证.说明:一般情况下,如果命题中有“至多”、“至少”、“都”等字样,通常情况下要用反证法,反证法的关键在于“归谬”,同时,在反证法的证明过程中,也贯穿了分析法和综合法的解题思想.典型例题十四
例14 已知 、 、 都是正数,求证: .分析:用分析法去找一找证题的突破口.要证原不等式,只需证 ,即只需证 .把 变为 ,问题就解决了.或有分析法的途径,也很容易用综合法的形式写出证明过程.证法一:要证 ,只需证 ,即 ,移项,得 .由 、 、 为正数,得 .∴原不等式成立.证法二:∵ 、 、 为正数,&.即 ,故 .&,&.说明:题中给出的 , , , ,只因为 、 、 都是正数,形式同算术平均数与几何平均数定理一样,不加分析就用算术平均数与几何平均数定理来求证,问题就不好解决了.原不等式中是用“不大于”连结,应该知道取等号的条件,本题当且仅当 时取“=”号.证明不等式不论采用何种方法,仅仅是一个手段或形式问题,我们必须掌握证题的关键.本题的关键是证明 .典型例题十五
例15 已知 , ,且 .求证: .分析:记 ,欲证 ,联想到正、余弦函数的值域,本题采用三角换元,借助三角函数的变换手段将很方便,由条件 , 可换元,围绕公式 来进行.证明:令 , ,且 ,则 &&∵ ,∴ ,即 成立.说明:换元的思想随处可见,这里用的是三角代换法,这种代换如能将其几何意义挖掘出来,对代换实质的认识将会深刻得多,常用的换元法有:(1)若 ,可设 ;(2)若 ,可设 , , ;(3)若 ,可设 , ,且 .典型例题十六
例16 已知 是不等于1的正数, 是正整数,求证 .分析:从求证的不等式看,左边是两项式的积,且各项均为正,右边有2的因子,因此可考虑使用均值不等式.证明:∵ 是不等于1的正数,∴ ,∴ .    ①又 .    ②将式①,②两边分别相乘得&,∴ .说明:本题看起来很复杂,但根据题中特点,选择综合法求证非常顺利.由特点选方法是解题的关键,这里因为 ,所以等号不成立,又因为①,②两个不等式两边均为正,所以可利用不等式的同向乘性证得结果.这也是今后解题中要注意的问题.典型例题十七
例17 已知, , ,& ,且 ,求证 .分析:从本题结构和特点看,使用比较法和综合法都难以奏效.为找出使不等式成立的充分条件不妨先用分析法一试,待思路清晰后,再决定证题方法.证明:要证 ,只需证 ,只需证 .∵ , ,& ,∴ , , ,∴ ,∴ 成立.∴ .说明:此题若一味地用分析法去做,难以得到结果.在题中得到只需证 后,思路已较清晰,这时改用综合法,是一种好的做法.通过此例可以看出,用分析法寻求不等式的证明途径时,有时还要与比较法、综合法等结合运用,决不可把某种方法看成是孤立的.典型例题十八
例18 求证 .分析:此题的难度在于,所求证不等式的左端有多项和且难以合并,右边只有一项.注意到这是一个严格不等式,为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律,这只需从 下手考查即可.证明:∵ ,∴& .说明:此题证明过程并不复杂,但思路难寻.本题所采用的方法也是解不等式时常用的一种方法,即放缩法.这类题目灵活多样,需要巧妙变形,问题才能化隐为显,这里变形的这一步极为关键.典型例题十九
例19 在 中,角 、 、 的对边分别为 , , ,若 ,求证 .分析:因为涉及到三角形的边角关系,故可用正弦定理或余弦定理进行边角的转化.证明:∵ ,∴ .由余弦定理得 ∴ ,     &&&&& 说明:三角形中最常使用的两个定理就是正弦和余弦定理,另外还有面积公式 .本题应用知识较为丰富,变形较多.这种综合、变形能力需要读者在平时解题时体会和总结,证明不等式的能力和直觉需要长期培养.文章来源莲山 课件 w ww.5 YK J.COM
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