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高一数学必修5基本不等式总结和例题
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高中数学不等式知识点总结:不等式：①不等关系是客观世界中量与量之间的一种主要关系，而不等式则是反映这种关系的基本形式，一直是高考考查的重点内容，尤其以实际问题、函数为背景的综合题较多。不等式的定义域性质是不等式的基础，许多不等式的定理、公式都是在此基础上推理、拓展而成的，因此学校时要抓住基本概念和性质，熟练掌握性质的变形及其应用，不断提升思维的深度和广度，才能在解决与不等式有关的综合题上有备无患、得心应手。②一元二次不等式是历年考查的重点，因为其与一元二次函数、一元二次方程等联系密切，内容交融，经常考查含参数的不等式的求解、恒成立问题、一元二次不等式的实际应用、综合推理题等。因此学习时应该通过图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、二次方程的联系。③线性规划问题是众多知识的交汇点，在实际生活、实际生产中的应用十分广泛，而且在线性规划问题的解决中，需要用到多种数学思想方法。所以线性规划也是高考命题的热点内容。高考中主要考查平面区域的表示。线性目标函数的最值等问题，主要以选择题、填空题的形式出现，有时也以解答题的形式出现。
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高一数学不等式证明经典例题10
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
高一数学不等式证明经典例题10
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文章来源莲山 课件 w ww.5 YK J.COM 典型例题一
例1& 若 ，证明 （& 且 ）．分析1& 用作差法来证明．需分为 和 两种情况，去掉绝对值符号，然后比较法证明．解法1 （1）当 时，因为& ，所以& & & ．（2）当 时，因为& 所以& &&& &&& ．综合（1）（2）知 ．分析2& 直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号．解法2& 作差比较法．因为& &&& &&&，所以 ．说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快．典型例题二
例2& 设 ，求证： 分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式．证明： ∵ ，∴ ∴ .& ∴& 又∵ ，∴ .说明：本题考查不等式的证明方法――比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小.典型例题三
例3 对于任意实数 、 ，求证 （当且仅当 时取等号）分析 这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有 ，展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式： 出发，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。证明：∵& （当且仅当 时取等号）两边同加 ，即：&&&&&&&&&&&&&&&&&& （1）又：∵&& （当且仅当 时取等号）两边同加 &&& ∴& ∴&&&&&&&&&&&&&&&&& （2）由（1）和（2）可得 （当且仅当 时取等号）．说明：此题参考用综合法证明不等式．综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明，要注意均值不等式的变形应用，一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解．典型例题四
例4 已知 、 、 ， ，求证 分析 显然这个题用比较法是不易证出的。若把 通分，则会把不等式变得较复杂而不易得到证明．由于右边是一个常数，故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式，比如 ，再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径，这也常称为“凑倒数”的技巧．证明：∵ ∴&& &&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&& ∵ ，同理： ， 。∴& 说明：此题考查了变形应用综合法证明不等式．题目中用到了“凑倒数”，这种技巧在很多不等式证明中都可应用，但有时要首先对代数式进行适当变形，以期达到可以“凑倒数”的目的．典型例题五
例５ 已知 ，求证： ＞0.分析：此题直接入手不容易，考虑用分析法来证明，由于分析法的过程可以用综合法来书写，所以此题用两种方法来书写证明过程.证明一：(分析法书写过程)为了证明 ＞0只需要证明 ＞ ∵ ∴ ∴ ＞0∴ ＞ 成立∴ ＞0成立证明二：(综合法书写过程)∵& ∴ ∴ ＞&&& ＞0∴ ＞ 成立∴ ＞0成立说明：学会分析法入手，综合法书写证明过程，但有时这两种方法经常混在一起应用，混合应用时，应用语言叙述清楚.典型例题六
例6& 若 ，且 ，求证：&分析 这个不等式从形式上不易看出其规律性，与我们掌握的定理和重要的结论也没有什么直接的联系，所以可以采用分析的方法来寻找证明途径．但用“分析”法证不等式，要有严格的格式，即每一步推出的都是上一步的充分条件，直到推出的条件是明显成立的（已知条件或某些定理等）．证明：为要证 只需证 ，即证 ，也就是 ，即证 ，即证 ，∵ ，∴ ，故 即有 ，又 由 可得 成立，∴ 所求不等式 成立．&&& 说明：此题考查了用分析法证明不等式．在题目中分析法和综合法是综合运用的，要注意在书写时，分析法的书写过程应该是：“欲证……需证……”，综合法的书写过程是：“因为（∵）……所以（∴）……”，即使在一个题目中是边分析边说明也应该注意不要弄混．
典型例题七
例7 若 ，求证 ．分析：本题结论的反面比原结论更具体、更简、宜用反证法．证法一：假设 ，则 ，而 ，故 ．∴ ．从而 ，∴ ．∴ ．∴ ．这与假设矛盾，故 ．证法二：假设 ，则 ，故 ，即 ，即 ，这不可能．从而 ．证法三：假设 ，则 ．由 ，得 ，故 ．又 ，∴ ．∴ ，即 ．这不可能，故 ．说明：本题三种方法均采用反证法，有的推至与已知矛盾，有的推至与已知事实矛盾．一般说来，结论中出现“至少”“至多”“唯一”等字句，或结论以否定语句出现，或结论肯定“过头”时，都可以考虑用反证法．
典型例题八
例8 设 、 为正数，求证 ．分析：用综合法证明比较困难，可试用分析法．证明：要证 ，只需证 ，即证 ，化简得 ， ．∵ ，∴ ．∴ ．∴原不等式成立．说明：1．本题证明易出现以下错误证法： ， ，然后分(1) ；(2) ；(3) 且 ；(4) 且 来讨论，结果无效．2．用分析法证明数学问题，要求相邻两步的关系是 ，前一步是后一步的必要条件，后一步是前一步的充分条件，当然相互为充要条件也可以．典型例题九
例9 已知 ，求证 ．分析：联想三角函数知识，进行三角换元，然后利用三角函数的值域进行证明．证明：从条件看，可用三角代换，但需要引入半径参数 ．∵ ，∴可设 ， ，其中 ．∴ ．由 ，故 ．而 ， ，故 ．说明：1．三角代换是最常见的变量代换，当条件为 或 或 时，均可用三角代换．2．用换元法一定要注意新元的范围，否则所证不等式的变量和取值的变化会影响其结果的正确性．典型例题十
例10 设 是正整数，求证 ．分析：要求一个 项分式 的范围，它的和又求不出来，可以采用“化整为零”的方法，观察每一项的范围，再求整体的范围．证明：由 ，得 ．当 时， ；当 时， ……当 时， ．∴ ．说明：1、用放缩法证明不等式，放缩要适应，否则会走入困境．例如证明 ．由 ，如果从第3项开始放缩，正好可证明；如果从第2项放缩，可得小于2．当放缩方式不同，结果也在变化．2、放缩法一般包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和．典型例题十一
例11 已知 ，求证： ．分析：欲证不等式看起来较为“复杂”，宜将它化为较“简单”的形式，因而用分析法证明较好．证明：欲证 ，只须证 ．即要证 ，即要证 ．即要证 ，即要证 ．即要证 ，即 ．即要证 　　　（*）∵ ，∴（*）显然成立，故 说明：分析法证明不等式，实质上是寻求结论成立的一个充分条件．分析法通常采用“欲证――只要证――即证――已知”的格式．典型例题十二
例12 如果 ， ，& ，求证： ．分析：注意到不等式左边各字母在项中的分布处于分离状态，而右边却结合在一起，因而要寻求一个熟知的不等式具有这种转换功能（保持两边项数相同），由 ，易得 ，此式的外形特征符合要求，因此，我们用如下的结合法证明．证明：∵ & 　　　　　　&&&& ．∴ ．说明：分析时也可以认为是连续应用基本不等式 而得到的．左右两边都是三项，实质上是 公式的连续使用．如果原题限定 ， ，& ，则不等式可作如下变形： 进一步可得到： ．显然其证明过程仍然可套用原题的思路，但比原题要难，因为发现思路还要有一个转化的过程．
典型例题十三
例13 已知 ， ， ，求证：在 三数中，不可能都大于 ．分析：此命题的形式为否定式，宜采用反证法证明．假设命题不成立，则 三数都大于 ，从这个结论出发，进一步去导出矛盾．证明：假设 三数都大于 ，即 ， ， ．又∵ ， ， ，∴ ， ， ．∴ 　　　①又∵ ， ， ．以上三式相加，即得：&　　②显然①与②相矛盾，假设不成立，故命题获证．说明：一般情况下，如果命题中有“至多”、“至少”、“都”等字样，通常情况下要用反证法，反证法的关键在于“归谬”，同时，在反证法的证明过程中，也贯穿了分析法和综合法的解题思想．典型例题十四
例14 已知 、 、 都是正数，求证： ．分析：用分析法去找一找证题的突破口．要证原不等式，只需证 ，即只需证 ．把 变为 ，问题就解决了．或有分析法的途径，也很容易用综合法的形式写出证明过程．证法一：要证 ，只需证 ，即 ，移项，得 ．由 、 、 为正数，得 ．∴原不等式成立．证法二：∵ 、 、 为正数，&．即 ，故 ．&，&．说明：题中给出的 ， ， ， ，只因为 、 、 都是正数，形式同算术平均数与几何平均数定理一样，不加分析就用算术平均数与几何平均数定理来求证，问题就不好解决了．原不等式中是用“不大于”连结，应该知道取等号的条件，本题当且仅当 时取“＝”号．证明不等式不论采用何种方法，仅仅是一个手段或形式问题，我们必须掌握证题的关键．本题的关键是证明 ．典型例题十五
例15 已知 ， ，且 ．求证： ．分析：记 ，欲证 ，联想到正、余弦函数的值域，本题采用三角换元，借助三角函数的变换手段将很方便，由条件 ， 可换元，围绕公式 来进行．证明：令 ， ，且 ，则 &&∵ ，∴ ，即 成立．说明：换元的思想随处可见，这里用的是三角代换法，这种代换如能将其几何意义挖掘出来，对代换实质的认识将会深刻得多，常用的换元法有：(1)若 ，可设 ；(2)若 ，可设 ， ， ；(3)若 ，可设 ， ，且 ．典型例题十六
例16 已知 是不等于1的正数， 是正整数，求证 ．分析：从求证的不等式看，左边是两项式的积，且各项均为正，右边有2的因子，因此可考虑使用均值不等式．证明：∵ 是不等于1的正数，∴ ，∴ ．　　　　①又 ．　　　　②将式①，②两边分别相乘得&，∴ ．说明：本题看起来很复杂，但根据题中特点，选择综合法求证非常顺利．由特点选方法是解题的关键，这里因为 ，所以等号不成立，又因为①，②两个不等式两边均为正，所以可利用不等式的同向乘性证得结果．这也是今后解题中要注意的问题．典型例题十七
例17 已知， ， ，& ，且 ，求证 ．分析：从本题结构和特点看，使用比较法和综合法都难以奏效．为找出使不等式成立的充分条件不妨先用分析法一试，待思路清晰后，再决定证题方法．证明：要证 ，只需证 ，只需证 ．∵ ， ，& ，∴ ， ， ，∴ ，∴ 成立．∴ ．说明：此题若一味地用分析法去做，难以得到结果．在题中得到只需证 后，思路已较清晰，这时改用综合法，是一种好的做法．通过此例可以看出，用分析法寻求不等式的证明途径时，有时还要与比较法、综合法等结合运用，决不可把某种方法看成是孤立的．典型例题十八
例18 求证 ．分析：此题的难度在于，所求证不等式的左端有多项和且难以合并，右边只有一项．注意到这是一个严格不等式，为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律，这只需从 下手考查即可．证明：∵ ，∴& ．说明：此题证明过程并不复杂，但思路难寻．本题所采用的方法也是解不等式时常用的一种方法，即放缩法．这类题目灵活多样，需要巧妙变形，问题才能化隐为显，这里变形的这一步极为关键．典型例题十九
例19 在 中，角 、 、 的对边分别为 ， ， ，若 ，求证 ．分析：因为涉及到三角形的边角关系，故可用正弦定理或余弦定理进行边角的转化．证明：∵ ，∴ ．由余弦定理得 ∴ ， 　　　　&&&&& 说明：三角形中最常使用的两个定理就是正弦和余弦定理，另外还有面积公式 ．本题应用知识较为丰富，变形较多．这种综合、变形能力需要读者在平时解题时体会和总结，证明不等式的能力和直觉需要长期培养．文章来源莲山 课件 w ww.5 YK J.COM
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