求f（x）=xlnxdx （a-1）xy=...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-03 23:47 标签： xlnxdx
已知函数f（x）=xlnx+（a-1）x（a∈R）．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[，e]上的最小值；（3）若关于x的方程f（x）=2x3-3x2在区间[，2]上有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
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（1）当a=1时，f（x）=xlnx，则求导函数，可得f′（x）=lnx+1．x=1时，f′（1）=1，f（1）=0，∴曲线y=xlnx在点x=1处的切线方程是y=x-1，即x-y-1=0（2）f′（x）=lnx+a=0，可得x=e-a，则函数在（0，e-a）上单调递减，在（e-a，+∞）上单调递增，若e＜e-a，则函数f（x）在区间[，e]上的最小值为f（e）=ae；若≤e-a≤e，则函数f（x）在区间[，e]上的最小值为f（e-a）=-e-a；若＞e-a，则函数f（x）在区间[，e]上的最小值为f（）=；（3）f（x）=2x3-3x2等价于xlnx+（a-1）x=2x3-3x2，即lnx+（a-1）=2x2-3x，∴a=2x2-3x+1-lnx在区间[，2]上有两个不相等的实数根，令g（x）=2x2-3x+1-lnx，则g′（x）=4x-3-=∵x∈[，2]，∴函数在[，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，∵g（）=ln2，g（1）=0，g（2）=3-ln2，∴a=2x2-3x+1-lnx在区间[，2]上有两个不相等的实数根，应满足0＜a≤ln2．
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（1）求导函数，确定切线的斜率，求得切点坐标，进而可求切线方程；（2）求导函数，确定函数在（0，e-a）上单调递减，在（e-a，+∞）上单调递增，分类讨论，即可求最值；（3）问题等价于a=2x2-3x+1-lnx在区间[，2]上有两个不相等的实数根，构造函数，确定单调性，求出函数值，即可得出结论．
本题考点：
利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
考点点评：
本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，把问题正确转化和熟练应用导数得出函数的单调性是解决问题的关键．
e 应该是常数
扫描下载二维码已知函数f（x）=xLnx求f（x）的最小值若对所有x≥1都有f（x）≥ax－1,求实数a的取值范围
(1)对函数f(x)=xlnx求导得：f'(x)=lnx+1令lnx+1=0,x=1/e当x>1/e时,f'(x)>0当01时,g'(x)>0,即g(x)在x≥1时单调递增,最小值为g(1)=1所以a≤1
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f'(x)=lnx+1令f'(x)=0得lnx=-1,x=1/e∴0<x<1/e,f'(x)<0,f(x0递减
x>1/e,f'(x)>0,f(x0递增∴f(x)min=f(1/e)=-1/e(2)有x≥1都有f（x）≥ax－1即xlnx≥ax-1即a≤1/x+lnx设g(x)=1/x+lnx那...
求导可得f'(x)=lnx+1,(x>0)令f'(x)>0可得x>1/e令f'(x)<0可得0<x<1/e∴当x=1/e时f(x)取得最小值-1/e若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1则a≤[f(x)+1]/x则a≤[f(x)+1]/x的最小值以下求[f(x)+1]/x的最小值令g(x)=[f(x)+1]/x=(xln...
F'(x)=lnx+1x>1/e,F'(x)>0;0<x<1/e,F'(x)<0所以F(x)先减后增，最小值为F(1/e)=-1/e要求a<=[f(x)+1]/x,即只要a小于等于[f(x)+1]/x的最小值即可令g(x)=[f(x)+1]/x=(xlnx+1)/x=lnx+1/xg'(x)=1/x-1/x^2=(x-1)/x^2当x>1...
f(x)=xlnx则：f'(x)=lnx＋1，其中x>0则：当0<x<1/e时，f'(x)1/e时，f'(x)>0则：f(x)的最小值是f(1/e)=－1/e 当x≥1时，f(x)≥ax－1，则：a≤[f(x)＋1]/(x)设：F(x)=[f(x)＋1]/(x)则：F'(x)=[x(ln...
数理答疑团为你解答，希望对你有所帮助。
可令y=1/x,f（x）=1/y Ln(1/y) = -Ln(y) /y 可知：当1/y =Lny （y＞1）时，f（x）为最小值。时间关系——下班了，给你个思路，自己做吧。
祝你学习进步，更上一层楼！ (*^__^*)
第一问：有题意知，f(x)的定义域为x>0。对f(x)求导得f'(x)=lnx+1,令f'(x)=0,可得x=1/e，所以f(x)在0<x<1/e单独递减，在1/e≤x<正无穷大为单调增函数，所以最小值在x=1/e时取得，带入函数fmin(x)=f(1/e)=(1/e)ln(1/e)=-(1/e)lne.第二问：带入函数xlnx≥ax－1,令g(x)=xlnx-ax+1,则g'(x)=l...
扫描下载二维码已知函数f（x）=xlnx+（a-1）x（a∈R）．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[，e]上的最小值；（3）若关于x的方程f（x）=2x3-3x2在区间[，2]上有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
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（1）当a=1时，f（x）=xlnx，则求导函数，可得f′（x）=lnx+1．x=1时，f′（1）=1，f（1）=0，∴曲线y=xlnx在点x=1处的切线方程是y=x-1，即x-y-1=0（2）f′（x）=lnx+a=0，可得x=e-a，则函数在（0，e-a）上单调递减，在（e-a，+∞）上单调递增，若e＜e-a，则函数f（x）在区间[，e]上的最小值为f（e）=ae；若≤e-a≤e，则函数f（x）在区间[，e]上的最小值为f（e-a）=-e-a；若＞e-a，则函数f（x）在区间[，e]上的最小值为f（）=；（3）f（x）=2x3-3x2等价于xlnx+（a-1）x=2x3-3x2，即lnx+（a-1）=2x2-3x，∴a=2x2-3x+1-lnx在区间[，2]上有两个不相等的实数根，令g（x）=2x2-3x+1-lnx，则g′（x）=4x-3-=∵x∈[，2]，∴函数在[，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，∵g（）=ln2，g（1）=0，g（2）=3-ln2，∴a=2x2-3x+1-lnx在区间[，2]上有两个不相等的实数根，应满足0＜a≤ln2．
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