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已知二次函数f（x）=ax2+bx+1为偶函数，且f（-1）=-1．（I）求函数f（x）的解析式；（II）若函数g（x）=f（x）+（2-k）x在区间[-2，2]上单调递减，求实数k的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：宁德模拟
（I）∵二次函数f（x）=ax2+bx+1为偶函数，故函数f（x）的图象关于y轴对称即x=-b2a=0，即b=0又∵f（-1）=a+1=-1，即a=-2．故f（x）=-2x2+1（II）由（I）得g（x）=f（x）+（2-k）x=-2x2+（2-k）x+1故函数g（x）的图象是开口朝下，且以x=2-k4为对称轴的抛物线故函数g（x）在[2-k4，+∞）上单调递减，又∵函数g（x）在区间[-2，2]上单调递减，∴2-k4≤-2解得k≥10故实数k的取值范围为[10，+∞）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx+1为偶函数，且f（-1）=-1．（I）求函数f（x）的..”主要考查你对&&二次函数的性质及应用，函数解析式的求解及其常用方法&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二次函数的性质及应用函数解析式的求解及其常用方法
二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。函数解析式的常用求解方法：
（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。
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410556284607558441486680400833293284已知定义在实数集R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d是实数．（1）若函数f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，并且f（0）=-7，f′（0）=-1-数学试题及答案
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1、试题题目：已知定义在实数集R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d是..
发布人：繁体字网（） 发布时间： 07:30:00
已知定义在实数集R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d是实数．（1）若函数f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，并且f（0）=-7，f′（0）=-18，求函数f（x）的表达式；（2）若a，b，c满足b2-3ac＜0，求证：函数f（x）是单调函数．
&&试题来源：不详
&&试题题型：解答题
&&试题难度：中档
&&适用学段：高中
&&考察重点：函数解析式的求解及其常用方法
2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
解（1）f′（x）=3ax2+2bx+c．由f'（0）=-18得c=-18，即f′（x）=3ax2+2bx-18．（3分）又由于f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，所以-1和3必是f′（x）=0的两个根．从而3a-2b-18=027a+6b-18=0.解得a=2b=-6.（5分）又根据f（0）=-7，所以f（x）=2x3-6x2-18x-7（7分）（2）f′（x）=3ax2+2bx+c由条件b2-3ac＜0可知a≠0，c≠0．（9分）因为f'（x）为二次三项式，并且△=（2b）2-4（3ac）=4（b2-3ac）＜0，所以，当a＞0时，f'（x）＞0恒成立，此时函数f（x）是单调递增函数；当a＜0时，f'（x）＜0恒成立，此时函数f（x）是单调递减函数．因此，对任意给定的实数a，函数f（x）总是单调函数．（12分）
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：
&&&&经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义在实数集R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d是..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。
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已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3+bx2+cx是（　　）A．奇函数B．偶函数C．既奇且偶函数D．非奇非偶函数
题型：单选题难度：偏易来源：不详
由f（x）为偶函数，知b=0，∴有g（x）=ax3+cx（a≠0）∴g（-x）=a（-x）3+c（-x）=-g（x）g（x）为奇函数．故选A．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3+bx2+cx是（）A..”主要考查你对&&函数的奇偶性、周期性&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的奇偶性、周期性
函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。 奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。&&函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的。 （2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。 奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性& & 令a&,&b&均不为零，若：& （1）函数y&=&f(x)&存在&f(x)=f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|a|& （2）函数y&=&f(x)&存在f(a&+&x)&=&f(b&+&x)&==&&函数最小正周期&T=|b-a|&（3）函数y&=&f(x)&存在&f(x)&=&-f(x&+&a)&==&&函数最小正周期&T=|2a|&（4）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&==&&函数最小正周期&T=|2a|& （5）函数y&=&f(x)&存在&f(x&+&a)&=&&&==&&函数最小正周期&T=|4a|
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与“已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3+bx2+cx是（）A..”考查相似的试题有：
447781871251395168863060569112244491（2014o四川二模）已知偶函数f（x）=ax2+bx+c在点（1，1）处的切线与直线x+2y+9=0垂直，函数g（x）=f（x）+mln（x+1）（m≠0）（1）求函数f（x）的解析式（2）当m＜时，求函数g（x）的单调区间和极值点．
（1）因为f（x）偶函数，所以b=0，因为f′（x）=2ax+b=2ax，由题意知：，解得，所以f（x）=x2，…3分（Ⅱ）g（x）=x2+mln（x+1），由题意知，g（x）的定义域为（-1，+∞），g′（x）=2x+=2+2x+mx+1当m＜时，1＝-1-1-2m2，2＝-1+1-2m2，∵m＜0时，1＝-1-<div style="width: 6 background-image: url(/zhidao/pic/item/aaf736dcbbf8bebc41338.jpg); background-attachment: background-origin: initial
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第（1）问根据函数f（x）是偶函数，可以求出b，然后利用函数f（x）=ax2+bx+c在点（1，1）处的切线与直线x+2y+9=0垂直，可以构建a，c的方程组求出a，c；第（2）问在研究函数的单调性时要按方程g′（x）=0的根与定义域的关系分类讨论．
本题考点：
利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
考点点评：
本题是利用导数研究函数的单调性、求函数的极值的基本题型，考查了分类讨论的思想，关键是抓住分类的标准．
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