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已知数列{an}中，a1=3，an+1=2an-1（n≥1）（Ⅰ）设bn=an-1（n=1，2，3…），求证：数列{bn}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式（Ⅲ）设cn=2nanoan+1，求证：数列{cn}的前n项和Sn＜13．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）证明：∵an+1=2an-1（n≥1）∴两边同时减去1，得an+1-1=2（an-1）又a1-1=2，bn=an-1∴{bn}是以a1-1=2为首项，q=2为公比的等比数列，（Ⅱ）由（Ⅰ）知an-1=2n，∴an=2n+1（n∈N*）（Ⅲ）证明：cn=2nanoan+1=12n+1-12n-1+1∴Sn=（121+1-122+1）+（122+1-123+1）+…+（12n+1-12n-1+1）=13-12n-1+1＜13即Sn＜13
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据魔方格专家权威分析，试题“已知数列{an}中，a1=3，an+1=2an-1（n≥1）（Ⅰ）设bn=an-1（n=1，2，3…..”主要考查你对&&等比数列的定义及性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等比数列的定义及性质
等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
发现相似题
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提问者采纳
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a(n+1)=an&#178;,a1=3所以an＞0故两边取对数得lna(n+1)=lnan&#178;=2lnan所以数列{lnan}是等比数列,公比是q=2,首项是lna1=ln3所以lnan=lna1*2^(n-1)=ln3*2^(n-1)=ln3^[2^(n-1)]故an=3^[2^(n-1)]=9^(n-1)所以an=3 (n=1)=9^(n-1) (n≥2)之所以要分开写是因为a1=3不满足an=9^(n-1)【当然前面an=3^[2^(n-1)]不化简的话a1=3也满足,就可以统一写.】试题分析：21. 解：(1) a1=3， a2=a1-1-1=10，a3=a2-2-1=27，
a4=a3-3-1=68……………………2分
(2)由(1)，a1-1=2=12，a2-2=8=222，a3-3=24=323，a4-4=64=424，
猜测an-n=n2n，……………………………………4分
(3) 由(2)，an-n=n2n，=2n，因此可推测{}是等比数列………5分证明如下：
an+1=an-n-1， an+1-(n+1)= an-2(n+1)=2(n+1)(-1)，
=2, 而=20, {}是首项为2，公比为2的等比
数列；………………………………………8分
(4)由(3)=22n-1， an=n+ n 2n, ……………………………10分
{an}的前n项的和: Sn=+12+222+323+…+n2n。
记P=12+222+323+…+n2n ，则2P-P= n2n+1-(2+22+23+…+2n)= (n-1)2n+1+2
P=(n-1)2n+1+2,
Sn=+(n-1)2n+1+2. …………………………13分
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x2-2x-3=0 是特征方程,其特征根为3和-1在递推式的两边分别减去（-1）an-1和3an-1得an+an-1=3(an-1+an-2),an+an-1是首项为a2+a1=7,公比为3的等比数列的第n-1项,an+an-1=7*3^(n-2).(1) an-3an-1=-(an-1-3an-2),an-3an-1是首项为a2-3a1=-13,公比为-1的等比数列的第n-1项,an-3an-1=(-13)*(-1)^(n-2)=13*(-1)^(n-1).(2) (1)的3倍加(2)式,除以4,得 an=[7*3^(n-1)+13*(-1)^(n-1)]/4.