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已知二次函数y=-x2+mx+n，当x=3时，有最大值4．（1）求m、n的值．（2）设这个二次函数的图象与x轴的交点是A、B，求A、B点的坐标；（3）当y＜0时，求x轴的取值范围；（4）有一圆经过点A、B，且与y轴的正半轴相切于点C，求C点的坐标．
题型：解答题难度：中档来源：昆明
（1）可得二次函数解析式为：y=-（x-3）2+4=-x2+6x-5，所以可得：m=6，n=-5；（2）当y=0时有：-x2+6x-5=0，（x-5）（x-1）=0，解得：x=1或x=5，所以可得A、B两点的坐标为：（1，0），（5，0）；（3）∵y=-x2+6x-5，∴开口向下，∵与x轴的交于点：（1，0），（5，0），∴当y＜0时，x＜1或x＞5；（4）设点C的坐标为（0，b） 且b＞0 则有：圆心O坐标为（r，b），因圆与y轴相切，所以r为圆半径．又圆经过A，B两点，则过圆心作直线垂直于A，B，垂线必交于AB的中点，即（3，0），所以可得：r=3，因此可得圆的方程为：（x-3）2+（y-b）2=32，将（1，0）代入方程得：4+b2=9，解得：b=5或 b=-5（舍去）．所以点C的坐标为：（0，5）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知二次函数y=-x2+mx+n，当x=3时，有最大值4．（1）求m、n的值．（2）..”主要考查你对&&求二次函数的解析式及二次函数的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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求二次函数的解析式及二次函数的应用
求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况： （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。 二次函数的应用：（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。 二次函数的三种表达形式：①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h&0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况：当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤：二次函数∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]=a(x-x1)(x-x2).重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a&0时，开口方向向上；a&0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；能熟练地运用二次函数解决实际问题。二次函数的其他表达形式：①牛顿插值公式:f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。双根式y=a(x-x1)*(x-x2)若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。③三点式已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)与X轴交点的情况当△=b2-4ac&0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。Δ=b2-4ac&0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）二次函数解释式的求法：就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。
1.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。点拨：解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，∵过点（2，8），∴8＝a(2+2)(2-1)。解得a=2，∴抛物线的解析式为：y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4。②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。点拨：在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。
2.巧用顶点式：顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。点拨：解∵顶点坐标为（-1，-2），故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）。把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。∴a=3。∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。②典型例题二：如果a&0，那么当 时，y有最小值且y最小=；如果a&0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。点拨：析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如：（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式. （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式. （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式. （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。点拨：解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。
发现相似题
与“已知二次函数y=-x2+mx+n，当x=3时，有最大值4．（1）求m、n的值．（2）..”考查相似的试题有：
89764210195995029897636909547112003已知二次函数y=mx^2+(m-3)x-1,问题(2)若抛物线与x轴交于A、B两点,且AB=1,求这条抛物线对应的函数解析, 已知二次函数y=mx^2+(m-3)x-1,
已知二次函数y=mx^2+(m-3)x-1,问题(2)若抛物线与x轴交于A、B两点,且AB=1,求这条抛物线对应的函数解析
夜以微堇 已知二次函数y=mx^2+(m-3)x-1,问题(2)若抛物线与x轴交于A、B两点,且AB=1,求这条抛物线对应的函数解析
解：当m≠0时，抛物线与x轴相交时有mx²+（m-3）x-1=0。设交点的横坐标为，x1，x2，则x1+x2=(3-m)/m, x1x2=-1/m。所以|x2-x1|=（x1+x2）²-4x1x2=(3-m)²/m²+4&#4姬鼎灌刮弑钙鬼水邯惊7;m=（m²-2m+9）/m²。由题意，|x2-x1|=1，所以9-2m=0，所以m=9/2.。所以y=9/2x²+3/2x-1.。
已知二次函数y=mx^2+(m-3)x-1,问题(2姬鼎灌刮弑钙鬼水邯惊)若抛物线与x轴交于A、B两点,且AB=1设x1,x2是mx^2+(m-3)x-1=0的两根，则x1+x2=-(m-3)/m
x1x2=-1/m因为AB=1即|x1-x2|=1则(x1-x2)^2=1=x1^2-2x1x2+x2^2=x1^2+2x1x2+x2^2-4x1x2=(x1+x2)^2-4x1x2=(m-3)^2/m^2+4/m=1(m-3)^2+4m=m^2m^2-6m+9+4m=m^22m=9m=4.5所以y=4.5x^2+1.5x-1当前位置：
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已知关于x的二次函数y=x2-mx+m2+12与y=x2-mx-m2+22，这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A，B两个不同的点．（1）试判断哪个二次函数的图象经过A，B两点；（2）若A点坐标为（-1，0），试求B点坐标；（3）在（2）的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小．
题型：解答题难度：中档来源：淄博
（1）对于关于x的二次函数y=x2-mx+m2+12，由于△=（-m）2-4×1×m2+12=-m2-2＜0，所以此函数的图象与x轴没有交点；对于关于x的二次函数y=x2-mx-m2+22，由于△=（-m）2-4×1×（-m2+22）=3m2+4＞0所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点．故图象经过A、B两点的二次函数为y=x2-mx-m2+22；（2）将A（-1，0）代入y=x2-mx-m2+22，得1+m-m2+22=0．整理，得-m2+2m=0．解之，得m=0，或m=2．当m=0时，y=x2-1．令y=0，得x2-1=0．解这个方程，得x1=-1，x2=1，此时，B点的坐标是B（1，0）；当m=2时，y=x2-2x-3．令y=0，得x2-2x-3=0．解这个方程，得x1=-1，x2=3，此时，B点的坐标是B（3，0）．（3）当m=0时，二次函数为y=x2-1，此函数的图象开口向上，对称轴为直线x=0，所以当x＜0时，函数值y随x的增大而减小．当m=2时，二次函数为y=x2-2x-3=（x-1）2-4，此函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1，所以当x＜1时，函数值y随x的增大而减小．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知关于x的二次函数y=x2-mx+m2+12与y=x2-mx-m2+22，这两个二次函..”主要考查你对&&二次函数的定义，二次函数与一元二次方程&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二次函数的定义二次函数与一元二次方程
定义：一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。 ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）； （2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0） （3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。 二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零。二次函数的判定：二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；当b=0，c=0时，y=ax2是特殊的二次函数；判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。二次函数与一元二次方程的关系：函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。1、从形式上看：二次函数：y=ax2＋bx＋c& (a≠0)一元二次方程：ax2＋bx＋c=0& (a≠0)2、从内容上看：二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值3、相互关系：二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。 如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3二次函数交点与二次方程根的关系：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：1、若△＞0，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点---相交；2、若△=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点---相切（顶点）；3、若△＜0，则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点--相离。若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x1，0），B（x2，0），则x1+x2=-，x1x2=。点拨：①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。②若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1,x2(x1&x2),则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为（x1,0）,(x2,0),对称轴为x=x1+x2/2。③若a&0,当x&x1,或x&x2时，y&0;当x1&x&x2时，y&0。若a& 0,当x1&x&x2时，y&0;当x&x1或x&x2时，y&0。④如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于M（x1，0），N(x2，0)，则MN=√b2-4ac/|a|。
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与“已知关于x的二次函数y=x2-mx+m2+12与y=x2-mx-m2+22，这两个二次函..”考查相似的试题有：
735805346149692096745331550627682519已知：二次函数y=（n-1）x2+2mx+1图象的顶点在x轴上．（1）试判断这个二次函数图象的开口方向，并说明你的理由；（2）求证：函数y=m2x2+2（n-1）x-1的图象与x轴必有两个不同的交点；（3）-数学试题及答案
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1、试题题目：已知：二次函数y=（n-1）x2+2mx+1图象的顶点在x轴上．（1）试判断这个二..
发布人：繁体字网（） 发布时间： 07:30:00
已知：二次函数y=（n-1）x2+2mx+1图象的顶点在x轴上．（1）试判断这个二次函数图象的开口方向，并说明你的理由；（2）求证：函数y=m2x2+2（n-1）x-1的图象与x轴必有两个不同的交点；（3）如果函数y=m2x2+2（n-1）x-1的图象与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），与y轴相交于点C，且△ABC的面积等于2．求这个函数的解析式？
&&试题来源：浦东新区二模
&&试题题型：解答题
&&试题难度：中档
&&适用学段：初中
&&考察重点：二次函数的定义
2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）∵二次函数y=（n-1）x2+2mx+1图象的顶点在x轴上，∴n-1≠0，△=4m2-4（n-1）=0．∴m2=n-1≠0．又∵m2≥0，∴n-1＞0．∴这个函数图象的开口方向向上．（2）∵m2≠0，∴这个函数是二次函数．△=4（n-1）2+4m2．∵m2=n-1≠0，∴（n-1）2＞0，m2＞0．∴△＞0．∴函数y=m2x2+2（n-1）x-1的图象与x轴必有两个不同的交点．（3）由题意，得x1+x2=-2(n-1)m2，x1x2=-1m2．∵m2=n-1，∴x1+x2=-2(n-1)m2=-2．而AB=|x1-x2|，点C的坐标为（0，-1）．∴12|x1-x2|×1=2．∴|x1-x2|=4．∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-2)2+4m2=16．∴m2=13．∴n-1=13．∴所求的函数解析式为y=13x2+23x-1．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：
&&&&经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知：二次函数y=（n-1）x2+2mx+1图象的顶点在x轴上．（1）试判断这个二..”的主要目的是检查您对于考点“初中二次函数的定义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中二次函数的定义”。
4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40、41、42、43、44、45、46、47、48、49、50、51、52、解：（1）当x=0时，y=1，则点A的坐标为（0，1），
因为对称轴为x==，则点B（5，1）；
（2）设直线OB的表达式为y=kx，把B（5，1）代入，∴1=5k，解得：k=，即y=x，
当x=时，y=，则当M点坐标为（，）时△MAO的周长最小；
（3）设△PAB底边上AB上的高为PH，
S△PAB=ABPH，即10=5×PH×，解得PH=4，
情况一：当AB=AP=5时，由勾股定理得AH=3，
所以P点坐标为（3，5）或（3，3）代入得：m=或，
情况二：当AB=BP=5时，由勾股定理得AH=3，
所以P点坐标（8，5）或（2，3）代入得：m=或，
情况三：AB为底，则点P坐标为（，3）代入得m=，
综上所述，m的值为或或．
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9. 如图,正方形OABC的一个顶点O是平面直角坐标系的原点，顶点A，C分别在y轴和x轴上， P为边OC上的一个动点，且BP⊥PQ, BP=PQ，当点P从点C运动到点O时，可知点Q始终在某函数图象上运动，则其函数图象是( )
A.线段 B.圆弧
C.抛物线的一部分 D. 不同于以上的不规则曲线.
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