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题号：822263试题类型：解答题 知识点：函数的零点与方程根的联系,函数的极值与导数的关系&&更新日期：
已知函数f(x)=13x3+12(p-1)x2+qx(p,q为常数).(I)若函数f(x)在x=1和x=3处取得极值,试求p,q的值;(Ⅱ)在(I)的条件下,求证:方程f(x)=1有三个不同的实数根;(Ⅲ)若函数f&(x)在(一∞,x1)和(x2,+∞)单调递增,在(x1,x2)上单调递减,又x2-x1>l,且x1>a,试比较a2+pa+q与x1的大小.
难易度：中等
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函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。&&&&&&&&&&&&&&&
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点
极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&
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接收老师发送的作业，在线答题。已知函数f(x)=1/3x^3+1/2(p-1)x^2+qx(p,q为常数),若f(x)在(x1,x2)上单调递减,在(-∞,x1)和(x2,+∞)上单调递增,且x2-x1＞1,求证：p^2＞2(p+2q)
▇爱新觉罗▇诤
由题意知道x1,x2是f(x)的导函数f'(x)的图像与x轴交点的横坐标,即f'(x)=0的两个根f'(x)=x^2+(p-1)x+q=0由韦达定理x2+x1=1-px1*x2=q因为x2-x1>1所以（x2-x1）^2>1（x2-x1）^2=(x2+x1)^2-4x1x2=(1-p)^2-4q>1(1-p)^2-4q>1 ==> 1+p^2-2p-4q-1>0 ==>p^2>2(p+2q),得证
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已知函数f（x）=px2+qx，其中p＞0，p+q＞1，对于数列{an}，设它的前n项和为Sn，且满足Sn=f（n）（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式，并证明an+1＞an＞1（n∈N*）；（2）求证：点M1(1，S11)，M2(2，S22)，M3(3，S33)，…，Mn(n，Snn)在同一直线l1上；（3）若过点N1（1，a1），N2（2，a2）作直线l2，设l2与l1的夹角为θ，求tanθ的最大值．
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（1）∵Sn=f（n）=pn2+qn∴当n=1时，a1=s1=p+q当n≥2时，an=Sn-Sn-1=pn2+qn-[p（n-1）2+q（n-1）]=2pn-p+q由于n=1时，a1=p+q适合上式，故数列{an}的通项公式为an=2pn-p+q…（3分）又∵an+1-an=2p＞0，∴{an}是首项为p+q，公差为2p的等差数列，∴an+1＞an＞…＞a1=p+q＞1，∴an+1＞an＞1…（4分）（2）设Mi，Mj（i≠j）是M1，M2，…，Mn中任意两点，则Mi(i，Sii)，Mj(j，Sjj)∵kMiMj=Sii-Sjji-j=jSi-iSjij(i-j)=joi(a1+ai)2-ioj(a1+aj)2ij(i-j)=ij(a1+ai)-ij(a1+aj)2ij(i-j)=ai-aj2(i-j)=[a1+(i-1)2p]-[a1+(j-1)2p]2(i-j)=P…（8分）∴Mi，Mj两点连线的斜率为定值P，又Mi，Mj是M1，M2，…，Mn中任意两点，∴点M1，M2，…，Mn在同一直线l1上…（9分）（3）∵N1，N2两点连线的斜率为k2=a2-a12-1=2p，又∵直线l1的斜率为k1=p，由夹角公式得tanθ|k1-k21+k1k2|=p1+2p2=11p+2p≤122…（13分）当且仅当1p=2p即p=22时，上式等号成立．故当p=22时，tanθ有最大值24…（14分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=px2+qx，其中p＞0，p+q＞1，对于数列{an}，设它的前n..”主要考查你对&&等差数列的通项公式&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
等差数列的通项公式
等差数列的通项公式:
an=a1+（n-1）d，n∈N*。 an=dn+a1-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d； an=kn+b（k≠）｛an｝为等差数列，反之不能。 对等差数列的通项公式的理解：
&①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a1和d是基本量，只要知道a1和d即可求出等差数列的任一项；②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a1-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，等差数列公式的推导：
等差数列的通项公式可由归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：
发现相似题
与“已知函数f（x）=px2+qx，其中p＞0，p+q＞1，对于数列{an}，设它的前n..”考查相似的试题有：
409515275277556515432349337473263222当前位置： >
& 当x+1时 代数式px 当x=1时,代数式px的立方+qx+1的值为2011,则当x=-负1 时。
当x+1时 代数式px 当x=1时,代数式px的立方+qx+1的值为2011,则当x=-负1 时。
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当x=1时,代数式px的立方+qx+1的值为2011,则当x=-负1 时。∵x=1时,代数式px^3+qx+1的值为2011 ∴p+q+1=2011 x=-1时 px^3+qx+1 =-p-q+1 =-p-q-1+2 =-(p+q+1)+2 =-2011+2 =-2009
buzhidao啊
当X=1,代入易得P+Q=2010,当X=-1时,-p-q+1=-(p+q)+1=-2009。当X=1时,代数式Px⌒3+qx+1=2009,则当X=-1时,求代数式。1.因为当x=1时p+q+1=2009,则p+q=2008; 当x=-1时 px^3+qx+1=-(p+q)+1=-072.1/a -1/b =4 (b-a)/ab=4 b-a=4ab (a -2ab-b) /( 2a -2b +7ab) =[-(b-a)-2ab]/[-2(b-a)+7ab] =[-4ab-2ab]/[-2*4ab+7ab] =[-6ab]/[-ab] =6
3px+qx=2009,3p+q+1=2009,3p+q=2008 当x=-1 -3p-q-1=-2009。当x=1时,代数式px^3+qx+1的值是2010;当x=-1时,代数式。最佳答案1：当x=1时px^3+qx+1的值为2010 ===& p+q+1=2010 ==& p+q=2009 当x=-1时 px^3+qx+1 = -p-q +1 = -(p+q)+1 =-2009+1 =-2008 最佳答案2：当x=1时,代数式px^3+qx+1的值是2010; 即:p+q+1=2010, p+q=2009 当x=-1时,代数式px^3+qx+1=-p-q+1=-(p+q)+1=-08
当x=1时,px^3+qx+1=2010,将x=1带入得p+q=2009 当x=-1时,px^3+qx+1=-p-q+1=-(p+q)+1=-08
答案是c,-2008。当x=1时,代数式px3+qx+1的值是2008,则x= -1时,代数式。最佳答案1：第一次回答可获2分,答案x=1时,代数式px3+qx+1的值是2008,所以p+q+1=2008,p+q=2007当X=-1时,px3+qx+1=-p-q+1=-(p+q)+1=-06被采纳可获得悬赏分和额外20分奖励。 最佳答案2：p+q+1=2008-(p+q)=-2007-p-q+1=-2006
X=1时 px3+qx+1=p+q+1=2008 p+q=2007 -p-q=-2007x=-1时 px3+qx+1=-p-q+1=-06
提出(p+q),可以算出(p+q)=2007,再从第二个式子中提出它,把x=-1带入,求出来。当X=1时,代数式px2+qx+1的值是2001,则X=1时,代数式。 题目有问题啊解不出来。当x=1时,代数式px^3+qx+1的值为2008,求当x=-1时,代数。当x=1时px^3+qx+1的值为2008 ===& p+q+1=2008
==& p+q=2007当x=-1时 px^3+qx+1 = -p-q +1 = -(p+q)+1 =-2007+1 =-2006
x=1 p+q+1=2008 p+q=2007 -(p+q)=-2007x=-1 求-p-q+1=-2006
f(x)=px^3+qx是奇函数f(x)=-f(-x)f(1)=-f(-1)当x=1时,代数式px^3+qx+1的值为2008即f(1)+1=07f(-1)=-2007当x=-1时,代数式px。
x=1时,p+q+1=2008,则p+q=2007x=-1时,-p-q= -2007,则,-p-q+1= -2006。当x=a+1时,代数式px^2+qx+1的值为2002,则当x=-a-1时,。px^2+qx+1=2002 p(-x)^2+q(-x)+1=px^2-qx+1那么q不知道值,所以不能确定。D吧!
这题2个代数式x的系数应该是一样的才对,不然没意义。如果都是px^2+qx+1,选D如果都是px^3+qx+1,选B
。。。。。。。。。..
D。当X=1时,代数式PX3+QX+1的值为2005,求当X=-1时,代。当X=1时,代数式PX3+QX+1的值为2005,所以P+Q=2004当X=-1时,代数式PX3+QX+1的值就是-(P+Q)+1=-2003
当X=1时,代数式PX3+QX+1=P+Q+1=2005 则P+Q=2004当X=-1时,代数式PX3+QX+1=-(P+Q)+1=-03。当x=1时,代数式px3+qx+1的值为2001,则当x=-1时,代数。分析:当x=1时,代数式px^3+qx+1的值是2001,代入即可求得p+q的值;再将x=-1代入代数式即可求得代数式的值.解:∵x=1时,代数式px^3+qx+1的值是2001,∴p+q=2000.当x=-1时,px^3+qx+1=-p-q+1=-(p+q)+1=-99.【数不胜数】团队为您解答,望采纳O(∩_∩)O~
当x=1时,代数式px3+qx+1=2001p+q=-q代入到代数式px3+qx+1中(2000-q)x3+qx+1 当x=-1时,=-(2000-q)-q+1=-。
将X=1带入px3+qx+1,可得P+Q=2000将x=-1带入px3+qx+1,得到求的值为-p-q+1的值;将P+Q=2000两边同时乘以-1,可得-p-q=-。
当x=1时,px3+qx+1=p+q+1=2001,则p+q=2000.当x=-1时,px3+qx+1=-p-q+1= -(p+q)+1=-99.
-1999什么意思?当x=1时,代数式px^3+qx+1的值为2011,则当x=-1时,代数。∵x=1时,代数式px^3+qx+1的值为2011∴p+q+1=2011x=-1时 px^3+qx+1=-p-q+1=-p-q-1+2=-(p+q+1)+2=-09
因为x=1时,代数式px^3+qx+1的值为2011,所以p+q+1=2011即p+q=2010,当x=-1时,代数式px^3+qx+1=-p-q+1=-09
∵x=1时,代数式px^3+qx+1的值为2011∴p+q+1=2011x=-1时 px^3+qx+1=-p-q+1=-p-q-1+2=-(p+q+1)+2=-09 因为x=1时,代。
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