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二面角及其度量
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2013优化方案数学人教B版选修2-1课件：3.2.4
解:取VB的中点E, 连接AE,CE. ∵VA＝AB＝BC＝VC, ∴AE⊥VB,CE⊥VB. ∴∠AEC是二面角A－VB－C的平面角.
方法技巧 求二面角大小的方法 (1)定义法. (2)三垂线法,如图A∈β,过A作AB⊥α于点B,在α内作BO⊥l于点O,连接AO, 则由三垂线定理知AO⊥l,故∠AOB是二面角α－l－β的平面角.
方法感悟 失误防范 二面角的取值范围是[0,π],因此利用向量法求解二面角大小时,要结合图形判断所求二面角是锐角还是钝角(或直角). 知能演练?轻松闯关 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放 栏目导引 新知初探?思维启动 典题例证?技法归纳 知能演练?轻松闯关 第三章　空间向量与立体几何 3.2.4　二面角及其度量 第三章　空间向量与立体几何 学习导航 学习目标
重点难点 重点:用向量法求二面角. 难点:用定义法求二面角. 新知初探?思维启动 1.二面角的相关概念
α－l－β A－l－B [0，π] ∠AOB 想一想 1.为什么二面角的平面角与点O在l上的位置无关？ 提示:根据等角定理可知,顶点在棱上的不同位置所作出的平面角都相等,所以这个平面角与点O在l上的位置无关. 2.用向量的夹角度量二面角 设二面角的大小为θ,n1,n2为两个非零向量. (1)当n1∥α,n2∥β,n1⊥l,n2⊥l,且n1,n2的方向分别与半平面α,β的延伸方向相同, 则θ＝___________ (2)当m1⊥α,m2⊥β,则θ＝_________或 θ＝______________. 〈n1,n2〉 〈m1,m2〉 π－〈m1,m2〉 做一做
解析:选A.4×3＋2×(－6)＋0×5＝0,∴二面角的两个半平面的法向量垂直,故这个二面角的余弦值是0.
典题例证?技法归纳 题型探究 例1 (3)由(1)知PD⊥BC, 又BC⊥DC,PD∩DC＝D,∴BC⊥平面PDC, ∴BC⊥PC. ∴∠PCD为二面角P－BC－D的平面角. 在Rt△PDC中,PD＝DC＝a, ∴∠PCD＝45°. ∴二面角P－BC－D是45°的二面角.
【名师点评】　由定义法求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角,这就需要紧扣它的三个条件,即这个角的顶点是否在棱上；角的两边是否分别在两个半平面内；这两边是否都与棱垂直.在具体作图时,还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧.如:线面的垂直,图形的对称性,与棱垂直的面等.
例2 【名师点评】　用三垂线定理或逆定理作二面角的平面角是常用的一种方法.其作法是在其中一个面内找一特殊点A,过A作另一个平面的垂线,垂足为B,再过A作棱的垂线,垂足为C(或过B作棱的垂线,垂足为C),连接BC(或连接AC),由三垂线的逆定理(及三垂线定理)得平面角∠ACB.因此,作垂线时,确定垂足的位置非常重要,以利于求解为目的. 变式训练 2.如图,在四面体PABC中,PC⊥平面ABC,AB＝BC＝AC＝PC,求二面角B－AP－C的正切值. 题型三　利用向量法求二面角
(本题满分12分)(2011?高考课标全国卷) 如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB＝60°,AB＝2AD,PD⊥底面ABCD. (1)证明:PA⊥BD； (2)若PD＝AD,求二面角A-PB-C的余弦值.
例3 【思路点拨】　当二面角的平面不易作出,空间直角坐标系又易建立时,可考虑的法向量求二面角大小. (2)设n1,n2分别是平面α、β的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小.如图②. 此方法的解题步骤如下: 变式训练 3.如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD.底面ABCD为边长是1的正方形,PA＝1,求平面PCD与平面PAB夹角的大小.
如图ABCD是正方形,V是平面ABCD外一点,且VA＝VB＝VC＝AB,求二面角A－VB－C的余弦值.
备选例题 栏目导引 新知初探?思维启动 典题例证?技法归纳 知能演练?轻松闯关 第三章　空间向量与立体几何 2.若二面角的两个半平面的法向量分别为(4)和(3),则这个二面角的余弦值是(　　)　
D.题型一　定义法求二面角如图所示在四棱锥P－ABCD中底面是边长为a的正方形侧棱PD＝aa,求证:(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面PAC⊥平面PBD；(3)二面角P－BC－D 是45的二面角【证明】　(1)∵PD＝aa,∴PC2＝PD2＋DC2,∴PD⊥DC.同理可证PD⊥AD又AD∩DC＝D平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD而四边形ABCD是正方形又BD∩PD＝D平面PDB.同时AC平面PAC平面PAC⊥平面PBD.1.如图在四面体ABCD中平面BCDa.(1)求证:平面ABC⊥平面ADC；(2)求二面角C-AB-D的大小.解:(1)证明:因为AD⊥平面BCD所以AD⊥DB又AD＝aa,所以DB＝又DC＝BC＝a因此BD即∠DCB＝90所以DC⊥BC因此BC⊥平面ADC.又BC?平面ABC所以平面ABC⊥平面ADC.(2)作DF⊥AB于F于E连EF因为平面ABC垂直于平面ADC因此DE⊥平面ABC平面DEF所以EF⊥AB则∠DFE为二面角C-AB-D的平面角在直角三角形DEF中＝a,DE＝a,sin∠DFE＝,所以∠DFE＝60故二面角C-AB-D的大小为60题型二　利用三垂线定理及逆定理求二面角如图在直三棱柱ABC－A中,∠ABC＝60°.(1)证明:AB⊥A(2)求二面角A－A的正切值.【解】　(1)证明:因为三棱柱ABC－A为直三棱柱所以AB⊥AA在△ABC中,∠ABC＝60°,所以∠BAC＝90即AB⊥AC.又AC∩AAAB⊥平面ACC又A平面ACC所以AB⊥A(2)如?作AD⊥A于D点连接BD.由三垂线定理知BD⊥A所以∠ADB为二面角A－A的平面角.在中＝＝.在中＝,所以二面角A－A的正切值为解:如图过B作BM⊥AC于M过M作MN⊥AP于N连接BN由三垂线定理知:BN⊥PA.MNB为所求二面角的平面角设AB＝BC＝AC＝PC＝1,MN＝,∴tan∠MNB＝＝.即所求二面角B－AP－C的正切值为【解】　(1)证明:因为∠DAB＝60＝2AD由余弦定理得BD＝从而BD故BD⊥AD.(2分)又PD⊥底面ABCD可得BD⊥PD.所以BD⊥平面PAD故PA⊥BD.(4分)名师微博关键是证明BD⊥AD.(2)如图以D为坐标原点射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.则A(1),B(0,,0),C(－1,0),P(0,0,1).＝(－1,0),＝(0,,－1),＝(－1).(6分)名师微博坐标系不要建错易将射线DC作为y轴的正半轴.设平面PAB的法向量为n＝(x),则即因此可取n＝().(8分)设平面PBC的法向量为m则可取m＝(10分)＝－.(11分)故二面角A-PB-C的余弦值为－(12分)【名师点评】　向量法求(1)若AB分别是两个平面α内与棱l垂直的异面直线则两个平面的夹角的大小就是向量与的夹角如图①.解:如图建立空间直角坐标系Axyz则A(0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1).故平面PAB的法向量(0,1,0),＝(1,0,0),＝(0,1,－1).设PCD的法向量n＝(x),由得令z＝1＝(0),∴cos〈n,〉＝＝,∴〈n,〉＝45°.即平面PAB与平面PCD的夹角为45设AB＝a连接AC在△AEC中a,AC＝a,由余弦定理可知:＝－,∴所求二面角A－VB－C的余弦值为－2.如图在四棱锥P-ABCD中底面ABCD是矩形平面ABCD,E、F分别是AD的中点.(1)证明:PC⊥平面BEF.(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小.解:(1)如图以A为坐标原点所在的直线分别为x轴轴轴建立空间直角坐标系,四边形ABCD是矩形(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),又E分别是AD的中点(0,,0),F(1,,1),∴＝(2,2,－2),＝(－1,1),＝(1,0,1),∴?＝－2＋4－2＝0,?＝2＋0－2＝0,∴⊥,⊥,即PC⊥BF又BF∩EF＝F则PC⊥平面BEF.(2)由(1)知平面BEF的法向量n＝(2,2,－2),平面BAP的法向量n＝(0,2,0),∴n1?n2＝8,设平面BEF与平面BAP的夹角为θ则＝＝.∴θ＝45°,即平面BEF与平面BAP的夹角为45(3)用公式cosθ＝,其中S′为射影面积,S为原图形面积.(4)用法向量,若二面角α－l－β的大小为θ,其两半平面的法向量分别为n1、n2,其夹角为φ,则θ＝φ或θ＝π－φ.2013优化方案数学人教B版选修2-1课件：3.2.4--博才网
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• 版权所有 Copyright 2011 All rights reserved.已知二面角A-l-B为60度,动点P、Q分别在面A、B内,P到B的距离为根号3,Q到A得距离为2倍的根号3，PQ最短距离_百度知道
已知二面角A-l-B为60度,动点P、Q分别在面A、B内,P到B的距离为根号3,Q到A得距离为2倍的根号3，PQ最短距离
提问者采纳
sin60)^2+(2√3&#47PQ^2=(√3/sin60*2√3/sin60*cos60=12;sin60)^2-2*√3&#47
有没有详细过程啊，谢谢了
过P作PM垂直面B于M,PN垂直l于N，则PM=根号3，角PNM=60，PN=√3/sin60过Q作QR垂直面A于R,QS垂直l于S，则QR=2根号3，角QSR=60，QS=2√3/sin60向量PQ^2=(PN+NS+SQ)^2=PN^2+NS^2+SQ^2+2PN*SQ≥PN^2++SQ^2+2PN*SQ==(√3/sin60)^2+(2√3/sin60)^2-2*√3/sin60*2√3/sin60*cos60=12,PQ=2√3
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出门在外也不愁苏州丝绸中等专业学校_数学_平面与平面垂直的判定和性质
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平面与平面垂直的判定和性质&
添加时间: 15:11:46　数学　阅读：254　来自于教研室 部门
课题：新授课平面与平面垂直的判定和性质
教材章节：平面与平面垂直的判定和性质
授课教师:吴洋
【教学目的】
让学生理解两面角的概念,学会如何求一个二面角.
【知识重点】
两面角的概念
【学习难点】
如何求一个二面角
【教学过程】
一、复习引入
1.平面位置的基本关系
2.平面与平面平行
(1)平面平行的判定
(2)平行平面的性质
你经常要开门，把门开大些或小些，实际上是指门所在平面与门框所在平面之间&角度&的大小．这个角度如何度量呢？
二、概念分析
(一)二面角和两面角的平面角
平面内的一条直线把平面分成两部分，其中
的每一部分都称为半平面．从一条直线出发
的两个半平面所组成的图形称为二面角，这
条直线称为二面角的棱，每个半平面称为二
面角的面．棱为l、两个面分别为a,b的二
面角记为a-l-b(图9-67)．
我们约定，二面角的度数不小于0&，不大于180&
两个相交平面，以交线为棱，组成四个二面角．
这两个平面的交角，一般是指不大于90&的那个
三、例题讲解
例1在图9-69的空间四边形ABCD中，由它们的边和对角线组成的DABC, DADB, DADC和DBCD都是等边三角形．
&&&& (1)把每个三角形所在的面看作一个半平面，共组成了多少个二面角？
&&&& (2)证明这些二面角均相等；
&&&& (3)求每个二面角的大小．
解&(1)每条边或对角线与
以该边或对角线为公共
边的两个三角形，组
成一个以该边或对角
线为棱的二面角；现
在共有四条边AB,AC,CD,BD和两条对角线BC,AD，所以共组成了六个二面角
&&& &&&&&(2)记以AB为棱、两个面为DABC,DABD的二面角为q，以BC为棱、两个面为DABC, DBCD的二面角为j．
&&&& &&&&&&&取AB的中点E，连接CE,DE．因为DABC,DABD是等边三角形，所以CE^AB, DE^AB，所以q=ÐCED；取BC的中点F，连接AF,DF，同理j=ÐAFD．
&&&& &&&&&&&由条件，在DCED和DAFD中，
&&&&&&&&&&& DE=DF, CE=AF, AD=AD，
所以DCED@DAFD，所以ÐCED=ÐAFD，即q=j．
&&&&&&&&&&& 同理可证其余二面角相等
&&&&&&& (3)设四边形边长为a．在DAFD中，AD=a,AF=DF=a，应用余弦定理&&&&&&& AD 2=AF 2+DF 2-2AF&DF&cosj，
得&&&&&&& cosj=，j=arccos&70.5&．
所以全部两面角的大小均约为70.5&
例2 一辆载重卡车行至点A处遇到了一个坡度为30&的陡坡，司机自知重载车辆无此爬坡能力，就采用折线前进的办法．设直行方向与坡道起行线l垂直，现司机以与直行方向成45&爬坡，那么他实际爬的坡是多少度数(见图9-70)？
&&& 解设坡道为一矩形斜面b，水平
面为a，坡道起行线为l，则a,l,b构成
了以l为棱的二面角a-l-b．据设，二
面角a-l-b的平面角=30&．
&&& 卡车以与直行方向成45&，从A行
进到B，记a=AB，B在a上的正射影为
B1，则AB与a的夹角ÐBAB1即为实际爬坡度数．
&&& 在路面上过B作直行方向的垂线，垂足为C，则BC||l，且按题设，ÐBAC=45&，所以
&&&&&&& AC=ABcos45&=a；
C在a上的正射影为C1，因为AC^l，据三垂线定理，AC1^l，所以ÐCAC1是两面角a-l-b的平面角，ÐCAC1=30&．所以
&&&&&&& CC1=ACsin30&=a．
&&& 连接B1,C1，则B1C1||BC(想一想为什么)，又BB1||CC1(想一想为什么)，所以BB1C1C为平行四边形，所以
&&&&&&& BB1=CC1=a．
&&& 在RtDAB1B中
&&&&&&& sinÐBAB1==，ÐBAB1=arcsin&20&42&．
&&& &所以当司机以与直行方向成45&爬30&坡时，实际爬的坡度为20&42&
四、课堂练习
1.在图9-69中，设DABC, DADB, DADC为等腰直角三角形(ÐA=90&)，
&DBCD为等边三角形，
&(1)证明以AB,AC,AD为棱的三个两面角彼此相等；以BC,CD,BD为棱的
&三个两面角也彼此相等；
&(2)求这两组两面角的大小．
【小结与作业】
&& 本课小结: 本节课我们主要讲述了两平面所成的角,解决这类问题的关键还是如何作出两平面所成的角,再在三角形中解决这些角的问题.
本课作业：课本p44&& A&4
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B&5
【课后心得】
本节内容是立体几何最难理解的一节,因为比较抽象,想直接看出角是很难的,所以要强调二面角是如何做出的.
2011年10月22日
主办单位：苏州丝绸中等专业学校
单位地址：吴江市盛泽镇市场路西首
版权所有：苏州丝绸中等专业学校
联系电话：1