2/3^3/4与3/4^2/3的大小

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-05 05:19 标签： 3号旗大小
几何证明1^3+2^3+3^3+…+n^3=n^2(n+1)^2/4
为证明12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，我决定借助于几何图形。如图：
图中有n个小正方形（我只画了5个）连接，边长分别为1、2、3、…、n。这些小正方形都置于一个大正方形中，则
大正方形边长=1+2+3+…+n=n(n+1)/2
大正方形面积=[n(n+1)/2]2=(n4+2n3+n2)/4
将空余部分分条。
先看左下部分，共有n-1条。设某条按从左到右顺序为第i条，则：
该条宽度即为i。
该条长度=(i+1)+(i+2)+(i+3)+…+n=(n-i)(n+i+1)/2=(n2+n-i2-i)/2
则该条面积=i(n2+n-i2-i)/2=(in2+in-i3-i2)/2
则左下半侧n-1条总面积为：
(1*n2+1*n-13-12)/2+(2*n2+2*n-23-22)/2+(3*n2+3*n-33-32)/2+…+[(n-1)*n2+(n-1)*n-(n-1)3-(n-1)2]/2
={[1*n2+2*n2+3*n2+…+(n-1)n2]+[1n+2n+3n+…+(n-1)n]-[13+23+33+…+(n-1)3]-[12+22+32+…+(n-1)2]}/2
={[1+2+3+…+(n-1)]n2+[1+2+3+…+(n-1)]n-[13+23+33+…+(n-1)3]-[12+22+32+…+(n-1)2]}/2
=[n(n-1)/2*n2+n(n-1)/2*n-(13+23+33+…+n3)+n3-(12+22+32+…+n2)+n2]/2
=[n3(n-1)/2+n2(n-1)/2-(13+23+33+…+n3)-(12+22+32+…+n2)+n3+n2]/2
为方便书写，记12+22+32+…+n2=t2，13+23+33+…+n3=t3
两侧全部空余部分面积为：
n3(n-1)/2+n2(n-1)/2-t3-t2+n3+n2
=(n4-n3)/2+(n3-n2)/2+2n3/2+2n2/2-t3-t2
=(n4-n3+n3-n2+2n3+2n2)/2-t3-t2
=(n4+2n3+n2)/2-t3-t2
根据：空余部分面积+小正方形面积=大正方形面积，得：
(n4+2n3+n2)/2-t3-t2+t2=(n4+2n3+n2)/4
t3=(n4+2n3+n2)/2-(n4+2n3+n2)/4
t3=(2n4+4n3+2n2)/4-(n4+2n3+n2)/4
t3=(n4+2n3+n2)/4=n2(n+1)2/4
13+23+33+…+n3=n2(n+1)2/4
本来要证12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，却证出了13+23+33+…+n3=n2(n+1)2/4，可谓“有心栽花花不成，无心插柳柳成荫。”
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以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。几道简单的数学题1、已知3*3^m*4^n=432,求m^n+3的值.2、已知2^2m+1+4^m=48,求m的值.3、已知m=99^2/9^99,n=11^9/9^90,试比较m、n的大小.答得详细,一题30分；答得简洁,一题10分.
异鸣凡渣416
13*3^m*4^n=432可得：3^m*4^n = 144而144=12*12=3^2 * 4^2如果要让左右两边相等,只有m=2,n=2因此m^n+3=2^2+3=4+3=722^(2m+1)=2^2m × 2=2 × (2^2)^m=2×4^m于是2×4^m+4^m=483×4^m = 484^m = 16m=23先把m化简一下：m=99^2/9^99=(11×9)^2/9^99=11^2×9^2/9^99=11^2/9^97m,n显然都是正数比较m,n的大小可以用m/n来判断m/n=(11^2/9^97) / (11^9/9^90)=(11^2×9^90)/（9^97×11^9)约分=1/(9^7×11^7)这个数显然小于1也就是说m/n<1因为m,n都是正数所以有m<n
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