已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心．（1）求证：三棱锥S-ABC为正三棱锥．（2）若二面角H-AB-C的平面角等于30°，SA=23，求三棱锥S-ABC的体积．-数学试题及答案
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1、试题题目：已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC..
发布人：繁体字网（） 发布时间： 07:30:00
已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心．（1）求证：三棱锥S-ABC为正三棱锥．（2）若二面角H-AB-C的平面角等于30°，SA=23，求三棱锥S-ABC的体积．
&&试题来源：不详
&&试题题型：解答题
&&试题难度：中档
&&适用学段：高中
&&考察重点：柱、锥、台、球的结构特征
2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
证明：（1）如图，AH⊥面SBC，设BH交SC于E，连接AE∵H是△SBC的垂心∴BE⊥SC，∵AH⊥平面SBC，SC?平面SBC∴AH⊥SC，结合BE∩AH=H∴SC⊥平面ABE，∵AB?平面ABE，∴AB⊥SC设S在底面ABC内的射影为O，则SO⊥平面ABC，∵AB?平面ABC∴AB⊥SO，结合SC∩SO=S∴AB⊥平面SCO，∵CO?平面SCO∴CO⊥AB，同理BO⊥AC，可得O是△ABC的垂心∵△ABC是正三角形∴S在底面△ABC的射影O是△ABC的中心∴三棱锥S-ABC为正三棱锥．…（6分）（2）由（1）有SA=SB=SC=23，延长CO交AB于F，连接EF∵CF⊥AB，CF是EF在面ABC内的射影，∴EF⊥AB，∴∠EFC为二面角H-AB-C的平面角，∠EFC=30°，∵SC⊥平面ABE，EF?平面ABE，∴EF⊥SC，Rt△EFC中，∠ECF=60°，可得Rt△SOC中，OC=SCcos60°=3，SO=SCsin60°=3，∴正三角形ABC中，AB=3OC=3，S△ABC=34?32=934∴VS-ABC=13S△ABC?SO=934…（12分）
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：
&&&&经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC..”的主要目的是检查您对于考点“高中柱、锥、台、球的结构特征”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柱、锥、台、球的结构特征”。
4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：
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2=y上运动．
Γ的焦点坐标；
（2）若点A在坐标原点，且∠BAC=
，点M在BC上，且
=0，求点M的轨迹方程；
（3）试研究：是否存在一条边所在直线的斜率为
的正三角形ABC，若存在，求出这个正三角形ABC的边长，若不存在，说明理由．
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已知△ABC的三个顶点在抛物线
2=y上运动．
Γ的焦点坐标；
（2）若点A在坐标原点，且∠BAC=
，点M在BC上，且
=0，求点M的轨迹方程；
（3）试研究：是否存在一条边所在直线的斜率为
的正三角形ABC，若存在，求出这个正三角形ABC的边长，若不存在，说明理由．
已知△ABC的三个顶点在抛物线
2=y上运动．
的焦点坐标；
（2）若点A在坐标原点，且∠BAC=
，点M在BC上，且
，求点M的轨迹方程；
（3）试研究：是否存在一条边所在直线的斜率为
的正三角形ABC，若存在，求出这个正三角形ABC的边长，若不存在，说明理由．
科目:最佳答案
由x2=y可得焦点在y轴的正半轴上，且2p=1，所以，焦点坐标为（0，）&　　　　　　　　…（3分）
设点M的坐标为（x，y），AB方程为y=kx，由∠BAC=得AC方程为y=-，则2
得B（k，k2），同理可得C（-，2
）∴BC方程为y-k2=2-
(x-k)恒过定点P（0，1），…（10分）∴∵∴，所以，-x&x+y（1-y）=0，即y2+x2-y=0（x≠0）
设A（p，p2），B（q，q2），C（r，r2），△ABC的三边所在直线AB，BC，CA的斜率分别是p+q，q+r，r+p------①…（12分）若AB边所在直线的斜率为，AB边所在直线和x轴的正方向所成角为α（0&＜α＜90&），则tanα=，所以&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&…（14分）∴q-p=tan（α-60&）-tan（α+60&）=-----②又p+q=tanα=--------------③…（16分）所以，|AB|=2+(q2-p2)2
=&&…（18分）
解析解：（1）由x
2=y可得焦点在y轴的正半轴上，且2p=1，所以，焦点坐标为（0，
）&　　　　　　　　…（3分）
（2）设点M的坐标为（x，y），AB方程为y=kx，由∠BAC=
得AC方程为y=-
2），同理可得C（-
∴BC方程为y-k
(x-k)恒过定点P（0，1），…（10分）
所以，-x&x+y（1-y）=0，即y
2-y=0（x≠0）
（3）设A（p，p
2），B（q，q
2），C（r，r
2），△ABC的三边所在直线AB，BC，CA的斜率分别是p+q，q+r，r+p------①…（12分）
若AB边所在直线的斜率为
，AB边所在直线和x轴的正方向所成角为α（0&＜α＜90&），则tanα=
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&…（14分）
∴q-p=tan（α-60&）-tan（α+60&）=
又p+q=tanα=
--------------③…（16分）
所以，|AB|=
2+(q2-p2)2
&&…（18分）知识点:&&基础试题拔高试题热门知识点最新试题
关注我们官方微信关于跟谁学服务支持帮助中心正三角形ABC的边长为a,在平面上求一点P,使|PA|^2;+|PB|^2;+|PC|^2;最小高二数学选修4-4第一讲 运用坐标系 的相关知识解答
鶘鎖1833惪
令A(-a/2,0),B(a/2,0),C(0,√3a/2)令P(x,y)则|PA|^2+|PB|^2+|PC|^2=[(x+a/2)^2+y^2]+[(x-a/2)^2+y^2]+[x^2+(y-√3a/2)^2]=3[x^2+(y-√3a/6)^2+a^2/3]因x^2≥0,(y-√3a/6)^2≥0则|PA|^2+|PB|^2+|PC|^2≥a^2此时x=0,y=√3a/6即P(0,√3a/6)
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已知正三角形ABC的边长为a，求△ABC的直观图△A′B′C′的面积．
题型：解答题难度：中档来源：不详
如图①、②所示的实际图形和直观图．由②可知，A′B′=AB=a，O′C′=12OC=34a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′=22O′C′=68a．∴S△A′B′C′=12A′B′?C′D′=12×a×68a=616a2．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知正三角形ABC的边长为a，求△ABC的直观图△A′B′C′的面积．-数学-..”主要考查你对&&空间几何体的直观图及画法（斜二测画法）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
空间几何体的直观图及画法（斜二测画法）
空间图形的直观图：
用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图
斜二测画法：
斜二测画法是一种特殊的平行投影画法。 斜二测画法：（1）在已知图形中，取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面； （2）在已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段； （3）在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。 已知三视图画直观图的方法：
在工程技术中，为了全面展示图纸上的几何体的特征和尺寸，常给出三视图，而要清晰地观察到其效果，则需将其转化为直观图（具有空间立体感）．在由三视图转化为直观图时，先由三视图确定几何体的长、宽、高．比较常见几何体的三视图，从而得到正确的直观图．
已知直观图画三视图的方法：
在由直观图画三视图时先由与投影面平行或垂直的线段确定三视图的顶点，与投影面平行的线段投影的长度不变，与投影面垂直的线段投影后是一个点．
依据斜二测画法求直观图面积：
求直观图面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高，也就是在原来实际图形中的高线，在直观图中变为与水平直线成450角且长度变为原来的一半的线段，以此为依据来求出相应的高线即可．将水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形，其作法就是逆用斜二测画法，也就是使平行于x轴的线段的长度不变，而平行于y轴的线段长度变为原来的2倍．斜二测画法：
（1）在已知图形中，取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面； （2）在已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段； （3）在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。
立体图形的直观图的画法：
画立体图形的直观图时，主要有下面几个步骤：(l)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．(2)画z′轴，z′轴过点o′，且与x'轴夹角为900，并画高线（与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图．(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示。特别提醒(l)画立体图形的直观图的要求不高，只要会画圆柱、圆锥、正棱柱、正棱锥和正棱台的直观图即可．(2)画立体图形与画水平放置的平面图形相比多&
发现相似题
与“已知正三角形ABC的边长为a，求△ABC的直观图△A′B′C′的面积．-数学-..”考查相似的试题有：
329142624012243414335658626563256598（2011o成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH．则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；（3）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）由已知设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，由S△ABC=AB×OC=15，可求m的值，确定A、B、C三点坐标，由A、B两点坐标设抛物线交点式，将C点坐标代入即可；（2）设E点坐标为（m，m2-4m-5），抛物线对称轴为x=2，根据2|m-2|=EF，列方程求解；（3）存在．因为OB=OC=5，△OBC为等腰直角三角形，直线BC解析式为y=x-5，则直线y=x+9或直线y=x-19与BC的距离为7，将直线解析式与抛物线解析式联立，求M点的坐标即可．
解：（1）∵|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，设OA=m，则OB=OC=5m，AB=6m，由S△ABC=AB×OC=15，得×6m×5m=15，解得m=1（舍去负值），∴A（-1，0），B（5，0），C（0，-5），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），将C点坐标代入，得a=1，∴抛物线解析式为y=（x+1）（x-5），即y=x2-4x-5；（2）设E点坐标为（n，n2-4n-5），抛物线对称轴为x=2，由2（n-2）=EF，得2（n-2）=-（n2-4n-5）或2（n-2）=n2-4n-5，解得n=1±或n=3±，∵n＞0，∴n=1+或n=3+，边长EF=2（n-2）=2-2或2+2；（3）存在．由（1）可知OB=OC=5，∴△OBC为等腰直角三角形，即B（5，0），C（0，-5），设直线BC解析式为y=kx+b，将B与C代入得：，解得：，则直线BC解析式为y=x-5，依题意△MBC中BC边上的高为，∴直线y=x+9或直线y=x-19与BC的距离为7，联立2-4x-5，2-4x-5，解得或，∴M点的坐标为（-2，7），（7，16）．