考点：三角形的外接圆与外心,三角形的内切圆与内心
分析：（1）过圆心作一边的垂线，解直角三角形即可求出外接圆半径和内切圆；（2）根据等腰三角形的性质得出内心和外心都在底边的高AD上，根据勾股定理得出方程，即可求出外接圆的半径，根据三角形的面积公式即可求出内切圆的半径；（3）根据勾股定理求出斜边，即可得出外接圆的半径画出图形，根据切线长定理求出BF=BD，AF=AE，求出四边形DCEO是正方形，得出OD=OE=DC=CE，得出方程，求出即可．
解答：解：（1）如图1，△ABC是正三角形，设O是△ABC的中心（也是等边三角形ABC的内心），则∠OBD=30°，∵正三角形的边长为6，∴BD=12BC=12×6=3，OD=BD•tan30°=3×33=3，OB=2OD=23，即三角形的外接圆半径R=23，内切圆半径r=3；（2）如图2，∵在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，∴过A作AD⊥BC于D，则外接圆的圆心O在AD上，连接OB、OC，∴BD=CD=12BC=12，AD=132-122=5，∵在Rt△OBD中，由勾股定理得：OB2=OD2+BD2，∴R2=（5-R）2+122，∴R=16.9；如图3，故A作AD⊥BC于D，∵△ABC中，AB=AC，∴△ABC的外心I在AD上，过I作IE⊥AC于E，IF⊥AB于F，连接OA、OB、OC，则IF=IE=ID=r，∵S△ABC=S△BIC+S△AIC+S△ABI，∴由三角形的面积公式得：12BC×AD=12BC×r+12AC×r+12AB×r，∴12×5=12r+13r+13r，∴r=3019，即三角形ABC的外接圆半径R=16.9，内切圆半径r=3019；（3）如图4，接圆的圆心是斜边AB的中点，由勾股定理得：ABAC2+BC2=52+122=13，所以外接圆的半径为12AB=6.5，连接OD、OE，如图5，∵⊙O是△ACB的内切圆，∴BD=BF，AE=AF，CD=CE，∠ODC=∠C=∠OEC=90°，∵OD=OE，∴四边形DCEO是正方形，∴OD=DC=OE=CE，∵AB=13，∴BF+AF=BD+AE=12-OD+5-OE=13，∴OD=OE=2，即三角形ABC的外接圆半径R=6.5，内切圆半径r=2．
点评：本题考查了三角形的外接圆和内切圆，勾股定理，三角形的面积，解直角三角形的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，有一定的难度．
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科目：初中数学
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精英家教网新版app上线啦！用app只需扫描书本条形码就能找到作业，家长给孩子检查作业更省心，同学们作业对答案更方便，扫描上方二维码立刻安装！已知等边三角形ABC,求：外接圆的半径R与内切圆的半径r有怎样的数量关系?请说明理由
万受无疆cb
R=2r取任意一个等边三角形的顶点A来看,设圆心为O,圆心答A连接的边的垂足为D.则AO为R,DO为r,容易得到三角形AOD是一个角为30度的直角三角形,所以R=2r
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r=R／2 因为等边三角形的外接圆圆心与内切圆圆心重合即三边垂线的交点（等边三角形角平分线垂线中线三线合一），外接圆的半径就是垂线交点所分垂线较长的那一部分，内切圆的半径是交点所分垂线较短的那一部分
设点BC、CA、AB的中点分别为D、E、F，作△DEF的外接圆，则此外接圆的半径是△ABC半径的一半，作△DEF的外切△A'B'C'，使A'B'‖AB，B'C'‖BC，C'A'‖CA，则△ABC∽△A'B'C'，△ABC必然不在△A'B'C'外
扫描下载二维码阅读材料：如图1所示，△ABC的周长为l，面积为S，内切圆O的半径为r
练习题及答案
阅读材料：如图1所示，△ABC的周长为l，面积为S，内切圆O的半径为r，探究r与S、l之间的关系，连接OA，OB，OC。∵S=S△OAB+S△OBC+S△OCA又∵，，∴∴解决问题：（1）利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆半径；（2）若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图2且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式；（3）若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1，a2，a3，…，an，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）。
图1                                                  图2
题型：解答题难度：偏难来源：河北省模拟题
所属题型：解答题
试题难度系数：偏难
答案（找答案上）
解：（1）∵，∴三角形为直角三角形，面积，∴；（2）设四边形ABCD内切圆的圆心为O，连结OA，OB，OC，OD，则∴；（3）。
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初中一年级数学试题“阅读材料：如图1所示，△ABC的周长为l，面积为S，内切圆O的半径为r”旨在考查同学们对
三角形的内心、外心、中心、重心、
正多边形和圆（内角，外角，中心角，边心距，边长，周长，面积的计算）、
……等知识点的掌握情况，关于数学的核心考点解析如下：
此练习题为精华试题，现在没时间做？，以后再看。
根据试题考点，只列出了部分最相关的知识点，更多知识点请访问。
考点名称：
三角形的四心定义：
1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。
2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。
4、重心：重心是三角形三边中线的交点。
三角形的重心：
三角形的重心是三角形三条中线的交点。
三角形的三条中线必交于一点
已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连结并延长BO，交AC于点E。
求证：AE=CE
证明：延长OE到点G，使OG=OB
∵OG=OB,∴点O是BG的中点 又∵点D是BC的中点∴OD是△BGC的一条中位线 ∴AD∥CG
∵点O是BG的中点，点F是AB的中点 ∴OF是△BGA的一条中位线　∴CF∥AG
∵AD∥CG，CF∥AG,∴四边形AOCG是平行四边形　∴AC、OG互相平分,∴AE=CE
三角形的重心的性质
1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系&&横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3
5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
三角形的重心坐标：
数学中，重心坐标是由单形（如三角形或四面体等）顶点定义的坐标。重心坐标是齐次坐标的一种。 设 v1, ..., vn 是向量空间 V 中一个单形的顶点，如果 V 中某点 p 满足， (\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n})\,p=\lambda _{1}\,v_{1}+\cdots +\lambda _{n}\,v_{n}, 那么我们称系数 (&1, ..., &n) 是 p 关于 v1, ..., vn 的重心坐标。这些顶点自己的坐标分别是 (1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, 0, ..., 1)。重心坐标不是惟一的：对任何不等于零的 k，(k &1, ..., k &n) 也是 p 的重心坐标。但总可以取坐标满足 &1 + ...+ &n = 1，称为正规化坐标。注意到定义式在仿射变换下不变，故重心坐标具有仿射不变性。
考点名称：
正多边形的定义：
正多边形是所有角都相等、并且所有边都相等的简单多边形，简单多边形是指在任何位置都不与自身相交的多边形。
所有具有同样边数的正多边形都是相似多边形。
正多边形的特性：
正 n 边形每个内角为 或者表示为角度。也可以用弧度表示为 (n&2)&/n 或者 (n&2)/(2n) 。
正多边形的所有顶点都在同一个外接圆上，每个正多边形都有一个外接圆。
当且仅当正多边形的边数 n 的奇质数因子是费马数。
正多边形的面积：
正 n 边形的面积为
其中 t 是边长。正多边形的面积还等于多边形的周长与边心距离乘积的一半。边心距离是多边形中心到边的垂直距离。
如果 t=1 则正多边形的面积为,
正多边形和圆的关系：
把一个圆分成n等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形，这个圆叫这个正n边形的外接圆。
与正多边形有关的概念：
（1）正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
（2）正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
（3）正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
（4）正多边形的中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
注：正n边形有n个中心角，这n个中心角相等且每个中心角为。
圆的面积公式：
把圆平均分成若干份，可以拼成一个近似的长方形。长方形的宽就等于圆的半径（r），长方形的长就是圆周长（C）的一半。长方形的面积是s=ab，那圆的面积就是：圆的半径（r）的平方乘以&，S=&r²。
圆的周长公式：
学过&等于圆周长（c）：圆的直径（D），圆的半径（R）那圆的周长（c）除以圆的直径（R）等于&，那利用乘法的意义，就等于 &乘以圆的直径（R）等于圆的周长（C），C=&d。而同园的直径（R）是圆的半径（r）的两倍，所以就圆的周长（c）等于2乘以&乘以圆的半径（r），C=2&r。
圆的切线的性质：
圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
推论2、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
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CopyRight & 沪江网2016已知圆O是三角形ABC的外接圆,圆心为O,半径为R,圆I是三角形ABC的内切圆,圆心为I,半径为r,点G是三角形ABC的重心,连结OI,IG,求OI/IG（用含R,r的式子表示）
√((9R^2-18Rr)/(4R^2+4Rr+6r^2))
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