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求级数e=1+1/1! +1/2! +1/3!+…… 要求：求n项(n由键盘输入)或最后一项小于10-6结束。 用C++编出以上程序
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解决方案2：
#include &iostream&using namespac肌贰冠荷攉沽圭泰氦骏double factorial(int n){ double v = 1; for(i=1; i&=n; i++) v*=i;}int main(){ int i, double e, f, cout&&&input n:&&& cin&&n; e=1; do { f = 1.0/factorial(i); e += } while(i&=n && f&=1e-6); cout&&&e=&&&e&& return 0;}
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正则表达式30分钟入门教程
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30分钟内让你明白正则表达式是什么，并对它有一些基本的了解，让你可以在自己的程序或网页里使用它。一旦入门后，你可以从网上找到更多更详细的资料来继续学习。
别被下面那些复杂的表达式吓倒，只要跟着我一步一步来，你会发现正则表达式其实并不像你想像中的那么困难。当然，如果你看完了这篇教程之后发现自己明白了
很多，却又几乎什么都记不得，那也是很正常的--其实我认为没接触过正则表达式的人在看完这篇教程后能把提到过的语法记住80%以上的可能性为零。这里只
是让你明白基本道理，以后你还需要多练习，多查资料，才能熟练掌握正则表达式。
正则表达式是用于进行文本匹配的工具，所以本文里多次提到了在字符串里搜索/查找，这种说法的意思是在给定的字符串中，查找与给定的正则表达式相匹配的部分。有可能字符串里有不止一个部分满足给定的正则表达式，这时每一个这样的部分被称为一个匹配。匹配在本文里可能会有三种意思：一种是形容词性的，比如说一个字符串匹配一个表达式；一种是动词性的，比如说在字符串里匹配正则表达式；还有一种是名词性的，就是刚刚说到的“字符串中满足给定的正则表达式的一部分”。
文本格式约定：专业术语&特殊代码/语法格式&正则表达式&正则表达式中的一部分(用于分析)&用于在其中搜索的字符串&对正则表达式或其中一部分的说明
什么是正则表达式？
很可能你使用过Windows/Dos下用于文件查找的通配符，也就是*和?。如果你想查找某个目录下的所有的Word文档的话，你会搜索*.doc。在这里，*会被解释成任意的。和通配符类似，正则表达式也是用来进行的工具，只不过比通配符更能精确地描述你的需求--当然，代价就是更复杂。比如你可以编写一个正则表达式来查找所有以0开头，后面跟着2-3个数字，然后是一个连字号“-”，最后是7或8位数字的字符串(像010-或)。
在编写处理字符串的程序或网页时，经常会有查找符合某些复杂规则的字符串的需要。正则表达式就是用于描述这些规则的工具。换句话说，正则表达式就是记录文本规则的代码。例如，\d+就是一个简洁的代码，代表着规则1位或更多位数字，2008就符合这个规则，而A3则不符合(它包含了不是数字的字符)。
学习正则表达式的最好方法是从例子开始，理解例子之后再自己对例子进行修改，实验。下面给出了不少简单的例子，并对它们作了详细的说明。
假设你在一篇英文小说里查找hi，你可以使用正则正则表达式hi。
这是最简单的正则表达式了，它可以精确匹配这样的字符串：由两个字符组成，前一个字符是h,后一个是i。通常，处理正则表达式的工具会提供一个忽略大小写的选项，如果选中了这个选项，它可以匹配hi,HI,Hi,hI。
不幸的是，很多单词里包含hi这两个连续的字符，比如him,history,high等等。用hi来查找的话，这里边的hi也会被找出来。如果要精确地查找hi这个单词的话，我们应该使用\bhi\b。
\b是正则表达式规定的一个特殊代码，代表着单词的开头或结尾。虽然通常英文的单词是由空格或标点符号或换行为分隔的，但是\b并不代表这些单词分隔符中的任何一个，只代表一个位置。
假如你要找的是hi后面不远处跟着一个Lucy，你应该用\bhi\b.*\bLucy\b。
这里，.是另一个特殊代码，代表除了换行符以外的任意字符。*同样是特殊的代码，不过它代表的不是字符，也不是位置，而是数量--它指定*前边的内容可以重复任意次以使整个表达式得到匹配。因此，.*连在一起就意味着任意数量的不包含换行的字符。现在\bhi\b.*\bLucy\b的意思就很明显了：先是一个单词hi,然后是任意个任意字符(但不能是换行)，最后是Lucy这个单词。
如果同时使用其它的一些特殊代码，我们就能构造出功能更强大的正则表达式。比如下面这个例子：
0\d\d-\d\d\d\d\d\d\d\d代表着这样的字符串：以0开头，然后是两个数字，然后是一个连字号“-”，最后是8个数字(也就是中国的电话号码，当然，这个例子只能匹配区号为3位的情形，想同时匹配区号为4位的话，请在教程的下面寻找答案)。
这里的\d是一个新的特殊代码，代表任意的数字(0，或1，或2，或。。。)。-不是特殊代码，只代表它本身--连字号。
为了避免那么多烦人的重复，我们也可以这样写这个表达式：0\d{2}-\d{8}
这里\d后面的{2}({8})指定的是前面\d必须连续重复出现2次(8次)。
测试正则表达式
如果你不觉得正则表达式很难读写的话，要么你是一个天才，要么，你不是地球人。正则表达式的语法很令人头疼，即使对经常使用它的人来说也是如此。由于难于读写，容易出错，所以很有必要创建一种工具来测试正则表达式。
由于在不同的环境下正则表达式的一些细节是不相同的，本教程介绍的是Microsoft .net下正则表达式的行为，所以，我向你介绍一个.net下的工具The Regulator。首先你确保已经安装了，然后，下载完后打开压缩包，运行setup.exe安装。
下面是the Regulator运行时的截图：
现在你已经知道几个具有特殊意义的代码了，如\b,.,*，还有\d.事实上还有更多的特殊代码，比如\s代表任意的空白符，包括空格，制表符(Tab),换行符。\w代表着字母或数字。
下面来试试更多的例子：
\ba\w*\b匹配以字母a开头的单词-先是某个单词开始处(\b)，然后是字母a,然后是任意数量的字母或数字(\w*)，最后是单词结束处(\b)。
\d+匹配1个或更多连续的数字。这里的+是和*类似的特殊代码，不同的是*代表重复任意次(可能是0次)，而+则代表重复1次或更多次。
\b\w{6}\b 匹配刚好6个字母/数字的单词。
表1.常用的特殊代码
匹配除换行符以外的任意字符
匹配字母或数字
匹配任意的空白符
匹配单词的开始或结束
匹配字符串的开始
匹配字符串的结束
特殊代码^以及$和\b有点类似，都匹配一个位置。^匹配你要用来查找的字符串的开头，$匹配结尾。这两个代码在验证输入的内容时非常有用，比如一个网站如果要求你填写的QQ号必须为5位到12位数字时，可以使用：^\d{5,12}$。
这里的{5,12}和前面介绍过的{2}是类似的，只不过{2}代表只能不多不少重复2次，{5,12}则是必须重复最少5次，最多12次，否则都不匹配。
因为使用了^和$，所以输入的整个字符串都要用来和\d{5,12}来匹配，也就是说整个输入必须是5到12个数字，因此如果输入的QQ号能匹配这个正则表达式的话，那就符合要求了。
和忽略大小写的选项类似，有些正则表达式处理工具还有一个处理多行的选项。如果选中了这个选项，^和$的意义就变成了匹配行的开始处和结束处。
如果你想查找特殊代码本身的话，比如你查找.,或者*,就出现了问题：你没法指定它们，因为它们会被解释成其它的意思。这时你就必须使用\来取消这些字符的特殊意义。因此，你应该使用\.和\*。当然，要查找\本身，你也得用\\.
例如：deerchao\.net匹配deerchao.net，c:\\windows匹配c:\windows,2\^8匹配2^8(通常这是2的8次方的书写方式)。
你已经看过了前面的*,+,{2},{5,12}这几个代表重复的方式了。下面是正则表达式中所有指定重复的方式：
表2.常用的量词
重复零次或更多次
重复一次或更多次
重复零次或一次
重复n次或更多次
重复n到m次
下面是一些使用重复的例子：
Windows\d+匹配Windows后面跟1个或更多数字
13\d{9}匹配以13后面跟9个数字(中国的手机号)
^\w+匹配一行的第一个单词(或整个字符串的第一个单词，具体代表哪个意思得看选项设置)
要想查找数字，字母或数字，空白是很简单的，因为已经有了对应这些字符集的特殊代码，但是如果你想匹配没有预定义特殊代码的字符集比如元音字母(a,e,i,o,u),怎么办？
很简单，你只需要在中括号里列出它们就行了，像[aeiou]就匹配任何一个元音字母，[.?!]匹配标点符号(.或?或!)(英文语句通常只以这三个标点结束)。要注意的是，在中括号中，特殊代码不会被解释成其它意义，所以我们不需要写成[\.\?!](事实上这样写会出错，因为出现了两次\)。
我们也可以轻松地指定一个字符范围，像[0-9]代表的含意与\d就是完全一致的：一位数字，同理[a-z0-9A-Z]也完全等同于\w。
下面是一个更复杂的表达式：\(?0\d{2}[) -]?\d{8}。
这个表达式可以匹配几种格式的电话号码，像(010)，或022-，或等。我们对它进行一些分析吧：首先是一个转义字符\(,它能出现0次或1次(?),然后是一个0，后面跟着2个数字({2})，然后是)或-或空格中的一个，它出现1次或不出现(?)，最后是8个数字(\d{8})。不幸的是，它也能匹配010)或(022-这样的“不正确”的格式。要解决这个问题，请在本教程的下面查找答案。
有时需要查找不属于某个简单定义的字符类的字符。比如想查找除了数字以外，其它任意字符都行的情况，这时需要用到反义：
表3.常用的反义代码
匹配任意不是字母和数字的字符
匹配任意不是空白符的字符
匹配任意非数字的字符
匹配不是单词开头或结束的位置
匹配除了x以外的任意字符
匹配除了aeiou这几个字母以外的任意字符
例子：\S+代表不包含空白符的字符串。
&a[^&]+&代表用尖括号括起来的以a开头的字符串。
好了，现在终于到了解决3位或4位区号问题的时间了。正则表达式里的替换指的是有几种规则，如果满足其中任意一种规则都应该当成匹配，具体方法是用|把不同的规则分隔开。听不明白？没关系，看例子：
0\d{2}-\d{8}|0\d{3}-\d{7}这个表达式能匹配两种以连字号分隔的电话号码：一种是三位区号，8位本地号(如010-)，一种是4位区号，7位本地号()。
\(0\d{2}\)[- ]?\d{8}|0\d{2}[- ]?\d{8}这个表达式匹配3位区号的电话号码，其中区号可以用小括号括起来，也可以不用，区号与本地号间可以用连字号或空格间隔，也可以没有间隔。你可以试试用替换|把这个表达式扩展成也支持4位区号的。
\d{5}-\d{4}|\d{5}这个表达式用于匹配美国的邮政编码。美国邮编的规则是5位数字，或者用连字号间隔的9位数字。之所以要给出这个例子是因为它能说明一个问题：使用替换时，顺序是很重要的。如果你把它改成\d{5}|\d{5}-\d{4}的话，那么就只会匹配5位的邮编(以及9位邮编的前5位)。原因是匹配替换时，将会从左到右地测试每个条件，如果满足了某个条件的话，就不会去管其它的替换条件了。
Windows98|Windows2000|WindosXP这个例子是为了告诉你替换不仅仅能用于两种规则，也能用于更多种规则。
我们已经提到了怎么重复单个字符；但如果想要重复一个字符串又该怎么办？你可以用小括号来指定子表达式(也叫做分组)，然后你就可以指定这个子表达式的重复次数了，你也可以对子表达式进行其它一些操作(教程后面会有介绍)。
(\d{1,3}\.){3}\d{1,3}是一个简单的IP地址匹配表达式。要理解这个表达式，请按下列顺序分析它：\d{1,3}代表1到3位的数字，(\d{1,3}\.}{3}代表三位数字加上一个英文句号(这个整体也就是这个分组)重复3次，最后再加上一个一到三位的数字(\d{1,3})。
不幸的是，它也将匹配256.300.888.999这种不可能存在的IP地址(IP地址中每个数字都不能大于255)。如果能使用算术比较的话，或许能简单地解决这个问题，但是正则表达式中并不提供关于数学的任何功能，所以只能使用冗长的分组，选择，字符类来描述一个正确的IP地址：((2[0-4]\d|25[0-5]|[01]?\d\d?)\.){3}(2[0-4]\d|25[0-5]|[01]?\d\d?)。
理解这个表达式的关键是理解2[0-4]\d|25[0-5]|[01]?\d\d?，这里我就不细说了，你自己应该能分析得出来它的意义。
使用小括号指定一个子表达式后，匹配这个子表达式的文本可以在表达式或其它程序中作进一步的处理。默认情况下，每个分组会自动拥有一个组号，规则是：以分组的左括号为标志，从左向右，第一个分组的组号为1，第二个为2，以此类推。
后向引用用于重复搜索前面某个分组匹配的文本。例如，\1代表分组1匹配的文本。难以理解？请看示例：
\b(\w+)\b\s+\1\b可以用来匹配重复的单词，像go go, kitty kitty。首先是一个单词，也就是单词开始处和结束处之间的多于一个的字母或数字(\b(\w+)\b)，然后是1个或几个空白符(\s+，最后是前面匹配的那个单词(\1)。
你也可以自己指定子表达式的组号或组名。要指定一个子表达式的组名，请使用这样的语法：(?&Word&\w+),这样就把\w+的组名指定为Word了。要反向引用这个分组捕获的内容，你可以使用\k&Word&,所以上一个例子也可以写成这样：\b(?&Word&\w+)\b\s*\k&Word&\b。
使用小括号的时候，还有很多特定用途的语法。下面列出了最常用的一些：
表4.分组语法
匹配exp,并捕获文本到自动命名的组里
(?&name&exp)
匹配exp,并捕获文本到名称为name的组里
匹配exp,不捕获匹配的文本
匹配exp前面的位置
匹配exp后面的位置
匹配后面跟的不是exp的位置
匹配前面不是exp的位置
(?#comment)
这种类型的组不对正则表达式的处理产生任何影响，只是为了提供让人阅读注释
我们已经讨论了前两种语法。第三个(?:exp)不会改变正则表达式的处理方式，只是这样的组匹配的内容不会像前两种那样被捕获到某个组里面。
接下来的四个用于查找在某些内容(但并不包括这些内容)之前或之后的东西，也就是说它们用于指定一个位置，就像\b,^,$那样，因此它们也被称为零宽断言。最好还是拿例子来说明吧：
(?=exp)也叫零宽先行断言，它匹配文本中的某些位置，这些位置的后面能匹配给定的后缀exp。比如\b\w+(?=ing\b)，匹配以ing结尾的单词的前面部分(除了ing以外的部分)，如果在查找I'm singing while you're dancing.时，它会匹配sing和danc。
(?&=exp)也叫零宽后行断言，它匹配文本中的某些位置，这些位置的前面能给定的前缀匹配exp。比如(?&=\bre)\w+\b会匹配以re开头的单词的后半部分(除了re以外的部分)，例如在查找reading a book时，它匹配ading。
假如你想要给一个很长的数字中每三位间加一个逗号(当然是从右边加起了)，你可以这样查找需要在前面和里面添加逗号的部分：((?&=\d)\d{3})*\b。请仔细分析这个表达式，它可能不像你第一眼看出来的那么简单。
下面这个例子同时使用了前缀和后缀：(?&=\s)\d+(?=\s)匹配以空白符间隔的数字(再次强调，不包括这些空白符)。
负向位置指定
前面我们提到过怎么查找不是某个字符或不在某个字符类里的字符的方法(反义)。但是如果我们只是想要确保某个字符没有出现，但并不想去匹配它时怎么办？例如，如果我们想查找这样的单词--它里面出现了字母q,但是q后面跟的不是字母u,我们可以尝试这样：
\b\w*q[^u]\w*\b匹配包含后面不是字母u的字母q的单词。但是如果多做测试(或者你思维足够敏锐，直接就观察出来了)，你会发现，如果q出现在单词的结尾的话，像Iraq,Benq，这个表达式就会出错。这是因为[^u]总是匹配一个字符，所以如果q是单词的最后一个字符的话，后面的[^u]将会匹配q后面的单词分隔符(可能是空格，或者是句号或其它的什么)，后面的\w+\b将会匹配下一个单词，于是\b\w*q[^u]\w*\b就能匹配整个Iraq fighting。负向位置指定能解决这样的问题，因为它只匹配一个位置，并不消费任何字符。现在，我们可以这样来解决这个问题：\b\w*q(?!u)\w*\b。
零宽负向先行断言(?!exp)，只会匹配后缀exp不存在的位置。\d{3}(?!\d)匹配三位数字，而且这三位数字的后面不能是数字。
同理，我们可以用(?&!exp),零宽负向后行断言来查找前缀exp不存在的位置：(?&![a-z])\d{7}匹配前面不是小写字母的七位数字(实验时发现错误？注意你的“区分大小写”先项是否选中)。
一个更复杂的例子：(?&=&(\w+)&).*(?=&\/\1&)匹配不包含属性的简单HTML标签内里的内容。(&?(\w+)&)指定了这样的前缀：被尖括号括起来的单词(比如可能是&b&)，然后是.*(任意的字符串),最后是一个后缀(?=&\/\1&)。注意后缀里的\/，它用到了前面提过的字符转义；\1则是一个反向引用，引用的正是捕获的第一组，前面的(\w+)匹配的内容，这样如果前缀实际上是&b&的话，后缀就是&/b&了。整个表达式匹配的是&b&和&/b&之间的内容(再次提醒，不包括前缀和后缀本身)。
小括号的另一种用途是能过语法(?#comment)来包含注释。要包含注释的话，最好是启用“忽略模式里的空白符”选项，这样在编写表达式时能任意的添加空格，Tab，换行，而实际使用时这些都将被忽略。启用这个选项后，在#后面到这一行结束的所有文本都将被当成注释忽略掉。例如，我们可以把上一个表达式写成这样：
# 查找前缀，但不包含它
&(\w+)& # 查找尖括号括起来的字母或数字(标签)
# 前缀结束
# 匹配任意文本
# 查找后缀，但不包含它
# 查找尖括号括起来的内容：前面是一个"/"，后面是先前捕获的标签
# 后缀结束
贪婪与懒惰
当正则表达式中包含能接受重复的量词(指定数量的代码，例如*,{5,12}等)时，通常的行为是匹配尽可能多的字符。考虑这个表达式：a.*b，它将会匹配最长的以a开始，以b结束的字符串。如果用它来搜索aabab的话，它会匹配整个字符串aabab。这被称为贪婪匹配。
有时，我们更需要懒惰匹配，也就是匹配尽可能少的字符。前面给出的量词都可以被转化为懒惰匹配模式，只要在它后面加上一个问号?。这样.*?就意味着匹配任意数量的重复，但是在能使整个匹配成功的前提下使用最少的重复。现在看看懒惰版的例子吧：
a.*?b匹配最短的，以a开始，以b结束的字符串。如果把它应用于aabab的话，它会匹配aab和ab。
表5.懒惰量词
重复任意次，但尽可能少重复
重复1次或更多次，但尽可能少重复
重复0次或1次，但尽可能少重复
重复n到m次，但尽可能少重复
重复n次以上，但尽可能少重复
还有些什么东西没提到
我已经描述了构造正则表达式的大量元素，还有一些我没有提到的东西。下面是未提到的元素的列表，包含语法和简单的说明。你可以在网上找到更详细的参考资料
来学习它们--当你需要用到它们的时候。如果你安装了MSDN Library,你也可以在里面找到关于.net下正则表达式详细的文档。
表6.尚未讨论的语法
报警字符(打印它的效果是电脑嘀一声)
通常是单词分界位置，但如果在字符类里使用代表退格
制表符，Tab
竖向制表符
ASCII代码中八进制代码为nn的字符
ASCII代码中十六进制代码为nn的字符
Unicode代码中十六进制代码为nnnn的字符
ASCII控制字符。比如\cC代表Ctrl+C
字符串开头(类似^，但不受处理多行选项的影响)
字符串结尾或行尾(不受处理多行选项的影响)
字符串结尾(类似$，但不受处理多行选项的影响)
当前搜索的开头
Unicode中命名为name的字符类，例如\p{IsGreek}
贪婪子表达式
(?&x&-&y&exp)
(?-&y&exp)
(?im-nsx:exp)
在子表达式exp中改变处理选项
为表达式后面的部分改变处理选项
(?(exp)yes|no)
把exp当作零宽正向先行断言，如果在这个位置能匹配，使用yes作为此组的表达式；否则使用no
(?(exp)yes)
同上，只是使用空表达式作为no
(?(name)yes|no)
如果命名为name的组捕获到了内容，使用yes作为表达式；否则使用no
(?(name)yes)
同上，只是使用空表达式作为no
一些我认为你可能已经知道的术语的参考
字符程序处理文字时最基本的单位，可能是字母，数字，标点符号，空格，换行符，汉字等等。
字符串0个或更多个字符的序列。
文本文字，字符串。
匹配符合规则，检验是否符合规则，符合规则的部分。
网上的资源第八部分 静电场第一讲 基本知识介绍在奥赛考纲中，静电学知识点数目不算多，总数和高考考纲基本相同，但在个别知识点上，奥赛的要求显然更加深化了：如非匀强电场中电势的计算、电容器的连接和静电能计算、电介质的极化等。在处理物理问题的方法上，对无限分割和叠加原理提出了更高的要求。如果把静电场的问题分为两部分，那就是电场本身的问题、和对场中带电体的研究，高考考纲比较注重第二部分中带电粒子的运动问题，而奥赛考纲更注重第一部分和第二部分中的静态问题。也就是说，奥赛关注的是电场中更本质的内容，关注的是纵向的深化和而非横向的综合。一、电场强度1、实验定律a、库仑定律内容；条件：⑴点电荷，⑵真空，⑶点电荷静止或相对静止。事实上，条件⑴和⑵均不能视为对库仑定律的限制，因为叠加原理可以将点电荷之间的静电力应用到一般带电体，非真空介质可以通过介电常数将k进行修正（如果介质分布是均匀和“充分宽广”的，一般认为k′= k /εr）。只有条件⑶，它才是静电学的基本前提和出发点（但这一点又是常常被忽视和被不恰当地“综合应用”的）。b、电荷守恒定律c、叠加原理2、电场强度a、电场强度的定义电场的概念；试探电荷（检验电荷）；定义意味着一种适用于任何电场的对电场的检测手段；电场线是抽象而直观地描述电场有效工具（电场线的基本属性）。b、不同电场中场强的计算决定电场强弱的因素有两个：场源（带电量和带电体的形状）和空间位置。这可以从不同电场的场强决定式看出——⑴点电荷：E = k结合点电荷的场强和叠加原理，我们可以求出任何电场的场强，如——⑵均匀带电环，垂直环面轴线上的某点P：E =&，其中r和R的意义见图7-1。⑶均匀带电球壳内部：E内&= 0外部：E外&= k&，其中r指考察点到球心的距离如果球壳是有厚度的的（内径R1&、外径R2），在壳体中（R1＜r＜R2）：E =&&，其中ρ为电荷体密度。这个式子的物理意义可以参照万有引力定律当中（条件部分）的“剥皮法则”理解〔即为图7-2中虚线以内部分的总电量…〕。⑷无限长均匀带电直线（电荷线密度为λ）：E =&⑸无限大均匀带电平面（电荷面密度为σ）：E = 2πkσ二、电势1、电势：把一电荷从P点移到参考点P0时电场力所做的功W与该电荷电量q的比值，即U =&参考点即电势为零的点，通常取无穷远或大地为参考点。和场强一样，电势是属于场本身的物理量。W则为电荷的电势能。2、典型电场的电势a、点电荷以无穷远为参考点，U = kb、均匀带电球壳以无穷远为参考点，U外&= k&，U内&= k3、电势的叠加由于电势的是标量，所以电势的叠加服从代数加法。很显然，有了点电荷电势的表达式和叠加原理，我们可以求出任何电场的电势分布。4、电场力对电荷做功WAB&= q（UA&－&UB）= qUAB&三、静电场中的导体静电感应→静电平衡（狭义和广义）→静电屏蔽1、静电平衡的特征可以总结为以下三层含义——a、导体内部的合场强为零；表面的合场强不为零且一般各处不等，表面的合场强方向总是垂直导体表面。b、导体是等势体，表面是等势面。c、导体内部没有净电荷；孤立导体的净电荷在表面的分布情况取决于导体表面的曲率。2、静电屏蔽导体壳（网罩）不接地时，可以实现外部对内部的屏蔽，但不能实现内部对外部的屏蔽；导体壳（网罩）接地后，既可实现外部对内部的屏蔽，也可实现内部对外部的屏蔽。四、电容1、电容器孤立导体电容器→一般电容器2、电容a、定义式&C =&b、决定式。决定电容器电容的因素是：导体的形状和位置关系、绝缘介质的种类，所以不同电容器有不同的电容⑴平行板电容器&C =&&=&&，其中ε为绝对介电常数（真空中ε0&=&&，其它介质中ε=&），εr则为相对介电常数，εr&=&&。⑵柱形电容器：C =&⑶球形电容器：C =&3、电容器的连接a、串联&&=&+++&…&+b、并联&C = C1&+ C2&+ C3&+&…&+ Cn&4、电容器的能量用图7-3表征电容器的充电过程，“搬运”电荷做功W就是图中阴影的面积，这也就是电容器的储能E&，所以E =&q0U0&=&C&=&电场的能量。电容器储存的能量究竟是属于电荷还是属于电场？正确答案是后者，因此，我们可以将电容器的能量用场强E表示。对平行板电容器&E总&=&E2&认为电场能均匀分布在电场中，则单位体积的电场储能&w =&E2&。而且，这以结论适用于非匀强电场。五、电介质的极化1、电介质的极化a、电介质分为两类：无极分子和有极分子，前者是指在没有外电场时每个分子的正、负电荷“重心”彼此重合（如气态的H2&、O2&、N2和CO2），后者则反之（如气态的H2O&、SO2和液态的水硝基笨）b、电介质的极化：当介质中存在外电场时，无极分子会变为有极分子，有极分子会由原来的杂乱排列变成规则排列，如图7-4所示。2、束缚电荷、自由电荷、极化电荷与宏观过剩电荷a、束缚电荷与自由电荷：在图7-4中，电介质左右两端分别显现负电和正电，但这些电荷并不能自由移动，因此称为束缚电荷，除了电介质，导体中的原子核和内层电子也是束缚电荷；反之，能够自由移动的电荷称为自由电荷。事实上，导体中存在束缚电荷与自由电荷，绝缘体中也存在束缚电荷和自由电荷，只是它们的比例差异较大而已。b、极化电荷是更严格意义上的束缚电荷，就是指图7-4中电介质两端显现的电荷。而宏观过剩电荷是相对极化电荷来说的，它是指可以自由移动的净电荷。宏观过剩电荷与极化电荷的重要区别是：前者能够用来冲放电，也能用仪表测量，但后者却不能。第二讲 重要模型与专题一、场强和电场力【物理情形1】试证明：均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零。【模型分析】这是一个叠加原理应用的基本事例。如图7-5所示，在球壳内取一点P&，以P为顶点做两个对顶的、顶角很小的锥体，锥体与球面相交得到球面上的两个面元ΔS1和ΔS2&，设球面的电荷面密度为σ，则这两个面元在P点激发的场强分别为ΔE1&= kΔE2&= k为了弄清ΔE1和ΔE2的大小关系，引进锥体顶部的立体角ΔΩ&，显然&=&ΔΩ&=&所以&ΔE1&= k&，ΔE2&= k&，即：ΔE1&=&ΔE2&，而它们的方向是相反的，故在P点激发的合场强为零。同理，其它各个相对的面元ΔS3和ΔS4&、ΔS5和ΔS6&…&激发的合场强均为零。原命题得证。【模型变换】半径为R的均匀带电球面，电荷的面密度为σ，试求球心处的电场强度。【解析】如图7-6所示，在球面上的P处取一极小的面元ΔS&，它在球心O点激发的场强大小为ΔE = k&，方向由P指向O点。无穷多个这样的面元激发的场强大小和ΔS激发的完全相同，但方向各不相同，它们矢量合成的效果怎样呢？这里我们要大胆地预见——由于由于在x方向、y方向上的对称性，Σ&=&Σ&= 0&，最后的ΣE =&ΣEz&，所以先求ΔEz&=&ΔEcosθ= k&，而且ΔScosθ为面元在xoy平面的投影，设为ΔS′所以&ΣEz&=&ΣΔS′而&ΣΔS′=&πR2&【答案】E = kπσ&，方向垂直边界线所在的平面。〖学员思考〗如果这个半球面在yoz平面的两边均匀带有异种电荷，面密度仍为σ，那么，球心处的场强又是多少？〖推荐解法〗将半球面看成4个球面，每个球面在x、y、z三个方向上分量均为&kπσ，能够对称抵消的将是y、z两个方向上的分量，因此ΣE = ΣEx&…〖答案〗大小为kπσ，方向沿x轴方向（由带正电的一方指向带负电的一方）。【物理情形2】有一个均匀的带电球体，球心在O点，半径为R ，电荷体密度为ρ ，球体内有一个球形空腔，空腔球心在O′点，半径为R′，= a ，如图7-7所示，试求空腔中各点的场强。【模型分析】这里涉及两个知识的应用：一是均匀带电球体的场强定式（它也是来自叠加原理，这里具体用到的是球体内部的结论，即“剥皮法则”），二是填补法。将球体和空腔看成完整的带正电的大球和带负电（电荷体密度相等）的小球的集合，对于空腔中任意一点P ，设&= r1&，&= r2&，则大球激发的场强为E1&= k&=&kρπr1&，方向由O指向P“小球”激发的场强为E2&= k&=&kρπr2&，方向由P指向O′E1和E2的矢量合成遵从平行四边形法则，ΣE的方向如图。又由于矢量三角形PE1ΣE和空间位置三角形OP O′是相似的，ΣE的大小和方向就不难确定了。【答案】恒为kρπa ，方向均沿O → O′，空腔里的电场是匀强电场。〖学员思考〗如果在模型2中的OO′连线上O′一侧距离O为b（b＞R）的地方放一个电量为q的点电荷，它受到的电场力将为多大？〖解说〗上面解法的按部就班应用…〖答〗πkρq〔?〕。二、电势、电量与电场力的功【物理情形1】如图7-8所示，半径为R的圆环均匀带电，电荷线密度为λ，圆心在O点，过圆心跟环面垂直的轴线上有P点，&= r&，以无穷远为参考点，试求P点的电势UP&。【模型分析】这是一个电势标量叠加的简单模型。先在圆环上取一个元段ΔL&，它在P点形成的电势ΔU = k环共有段，各段在P点形成的电势相同，而且它们是标量叠加。【答案】UP&=&〖思考〗如果上题中知道的是环的总电量Q ，则UP的结论为多少？如果这个总电量的分布不是均匀的，结论会改变吗？〖答〗UP&=&&；结论不会改变。〖再思考〗将环换成半径为R的薄球壳，总电量仍为Q ，试问：（1）当电量均匀分布时，球心电势为多少？球内（包括表面）各点电势为多少？（2）当电量不均匀分布时，球心电势为多少？球内（包括表面）各点电势为多少？〖解说〗（1）球心电势的求解从略；球内任一点的求解参看图7-5ΔU1&= k= k·= kσΔΩΔU2&= kσΔΩ它们代数叠加成 ΔU = ΔU1&+ ΔU2&= kσΔΩ而 r1&+ r2&= 2Rcosα所以 ΔU = 2RkσΔΩ所有面元形成电势的叠加&ΣU =&2RkσΣΔΩ注意：一个完整球面的ΣΔΩ = 4π（单位：球面度sr），但作为对顶的锥角，ΣΔΩ只能是2π ，所以——ΣU =&4πRkσ= k（2）球心电势的求解和〖思考〗相同；球内任一点的电势求解可以从（1）问的求解过程得到结论的反证。〖答〗（1）球心、球内任一点的电势均为k&；（2）球心电势仍为k&，但其它各点的电势将随电量的分布情况的不同而不同（内部不再是等势体，球面不再是等势面）。【相关应用】如图7-9所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别为R1和R2&，带有净电量+q&，现在其内部距球心为r的地方放一个电量为+Q的点电荷，试求球心处的电势。【解析】由于静电感应，球壳的内、外壁形成两个带电球壳。球心电势是两个球壳形成电势、点电荷形成电势的合效果。根据静电感应的尝试，内壁的电荷量为－Q&，外壁的电荷量为+Q+q&，虽然内壁的带电是不均匀的，根据上面的结论，其在球心形成的电势仍可以应用定式，所以…【答案】Uo&= k&－&k&+ k&。〖反馈练习〗如图7-10所示，两个极薄的同心导体球壳A和B，半径分别为RA和RB&，现让A壳接地，而在B壳的外部距球心d的地方放一个电量为+q的点电荷。试求：（1）A球壳的感应电荷量；（2）外球壳的电势。〖解说〗这是一个更为复杂的静电感应情形，B壳将形成图示的感应电荷分布（但没有净电量），A壳的情形未画出（有净电量），它们的感应电荷分布都是不均匀的。此外，我们还要用到一个重要的常识：接地导体（A壳）的电势为零。但值得注意的是，这里的“为零”是一个合效果，它是点电荷q 、A壳、B壳（带同样电荷时）单独存在时在A中形成的的电势的代数和，所以，当我们以球心O点为对象，有UO&= k&+ k&+ k&=&0QB应指B球壳上的净电荷量，故 QB&= 0所以 QA&= －q☆学员讨论：A壳的各处电势均为零，我们的方程能不能针对A壳表面上的某点去列？（答：不能，非均匀带电球壳的球心以外的点不能应用定式！）基于刚才的讨论，求B的电势时也只能求B的球心的电势（独立的B壳是等势体，球心电势即为所求）——UB&=&k&+ k〖答〗（1）QA&= －q ；（2）UB&= k(1－) 。【物理情形2】图7-11中，三根实线表示三根首尾相连的等长绝缘细棒，每根棒上的电荷分布情况与绝缘棒都换成导体棒时完全相同。点A是Δabc的中心，点B则与A相对bc棒对称，且已测得它们的电势分别为UA和UB&。试问：若将ab棒取走，A、B两点的电势将变为多少？【模型分析】由于细棒上的电荷分布既不均匀、三根细棒也没有构成环形，故前面的定式不能直接应用。若用元段分割→叠加，也具有相当的困难。所以这里介绍另一种求电势的方法。每根细棒的电荷分布虽然复杂，但相对各自的中点必然是对称的，而且三根棒的总电量、分布情况彼此必然相同。这就意味着：①三棒对A点的电势贡献都相同（可设为U1）；②ab棒、ac棒对B点的电势贡献相同（可设为U2）；③bc棒对A、B两点的贡献相同（为U1）。所以，取走ab前& 3U1&= UA& & & & & & & & &2U2&+ U1&= UB取走ab后，因三棒是绝缘体，电荷分布不变，故电势贡献不变，所以& UA′= 2U1& & & & & & & & &UB′= U1&+ U2【答案】UA′=&UA&；UB′=&UA&+&UB&。〖模型变换〗正四面体盒子由彼此绝缘的四块导体板构成，各导体板带电且电势分别为U1&、U2&、U3和U4&，则盒子中心点O的电势U等于多少？〖解说〗此处的四块板子虽然位置相对O点具有对称性，但电量各不相同，因此对O点的电势贡献也不相同，所以应该想一点办法——我们用“填补法”将电量不对称的情形加以改观：先将每一块导体板复制三块，作成一个正四面体盒子，然后将这四个盒子位置重合地放置——构成一个有四层壁的新盒子。在这个新盒子中，每个壁的电量将是完全相同的（为原来四块板的电量之和）、电势也完全相同（为U1&+ U2&+ U3&+ U4），新盒子表面就构成了一个等势面、整个盒子也是一个等势体，故新盒子的中心电势为U′= U1&+ U2&+ U3&+ U4&最后回到原来的单层盒子，中心电势必为 U =&&U′〖答〗U =&（U1&+ U2&+ U3&+ U4）。☆学员讨论：刚才的这种解题思想是否适用于“物理情形2”？（答：不行，因为三角形各边上电势虽然相等，但中点的电势和边上的并不相等。）〖反馈练习〗电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面半径为R ，CD为通过半球顶点C和球心O的轴线，如图7-12所示。P、Q为CD轴线上相对O点对称的两点，已知P点的电势为UP&，试求Q点的电势UQ&。〖解说〗这又是一个填补法的应用。将半球面补成完整球面，并令右边内、外层均匀地带上电量为q的电荷，如图7-12所示。从电量的角度看，右半球面可以看作不存在，故这时P、Q的电势不会有任何改变。而换一个角度看，P、Q的电势可以看成是两者的叠加：①带电量为2q的完整球面；②带电量为－q的半球面。考查P点，UP&= k&+ U半球面其中 U半球面显然和为填补时Q点的电势大小相等、符号相反，即 U半球面= －UQ&以上的两个关系已经足以解题了。〖答〗UQ&= k&－ UP&。【物理情形3】如图7-13所示，A、B两点相距2L&，圆弧是以B为圆心、L为半径的半圆。A处放有电量为q的电荷，B处放有电量为－q的点电荷。试问：（1）将单位正电荷从O点沿移到D点，电场力对它做了多少功？（2）将单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远处去，电场力对它做多少功？【模型分析】电势叠加和关系WAB&= q（UA&－&UB）= qUAB的基本应用。UO&= k&+ k&= 0UD&= k&+ k&=&－U∞&= 0再用功与电势的关系即可。【答案】（1）；（2）。&【相关应用】在不计重力空间，有A、B两个带电小球，电量分别为q1和q2&，质量分别为m1和m2&，被固定在相距L的两点。试问：（1）若解除A球的固定，它能获得的最大动能是多少？（2）若同时解除两球的固定，它们各自的获得的最大动能是多少？（3）未解除固定时，这个系统的静电势能是多少？【解说】第（1）问甚间；第（2）问在能量方面类比反冲装置的能量计算，另启用动量守恒关系；第（3）问是在前两问基础上得出的必然结论…（这里就回到了一个基本的观念斧正：势能是属于场和场中物体的系统，而非单纯属于场中物体——这在过去一直是被忽视的。在两个点电荷的环境中，我们通常说“两个点电荷的势能”是多少。）【答】（1）k；（2）Ek1&=&k&，Ek2&=&k；（3）k&。〖思考〗设三个点电荷的电量分别为q1&、q2和q3&，两两相距为r12&、r23和r31&，则这个点电荷系统的静电势能是多少？〖解〗略。〖答〗k（++）。〖反馈应用〗如图7-14所示，三个带同种电荷的相同金属小球，每个球的质量均为m 、电量均为q ，用长度为L的三根绝缘轻绳连接着，系统放在光滑、绝缘的水平面上。现将其中的一根绳子剪断，三个球将开始运动起来，试求中间这个小球的最大速度。〖解〗设剪断的是1、3之间的绳子，动力学分析易知，2球获得最大动能时，1、2之间的绳子与2、3之间的绳子刚好应该在一条直线上。而且由动量守恒知，三球不可能有沿绳子方向的速度。设2球的速度为v ，1球和3球的速度为v′，则动量关系 mv + 2m v′= 0能量关系 3k&= 2 k&+ k&+&mv2&+&2m解以上两式即可的v值。〖答〗v = q&。三、电场中的导体和电介质【物理情形】两块平行放置的很大的金属薄板A和B，面积都是S&，间距为d（d远小于金属板的线度），已知A板带净电量+Q1&，B板带尽电量+Q2&，且Q2＜Q1&，试求：（1）两板内外表面的电量分别是多少；（2）空间各处的场强；（3）两板间的电势差。【模型分析】由于静电感应，A、B两板的四个平面的电量将呈现一定规律的分布（金属板虽然很薄，但内部合场强为零的结论还是存在的）；这里应注意金属板“很大”的前提条件，它事实上是指物理无穷大，因此，可以应用无限大平板的场强定式。为方便解题，做图7-15，忽略边缘效应，四个面的电荷分布应是均匀的，设四个面的电荷面密度分别为σ1&、σ2&、σ3和σ4&，显然（σ1&+ σ2）S = Q1&（σ3&+ σ4）S = Q2&A板内部空间场强为零，有 2πk（σ1&?&σ2&?&σ3&?&σ4）= 0A板内部空间场强为零，有 2πk（σ1&+&σ2&+&σ3&?&σ4）= 0解以上四式易得 σ1&=&σ4&=&& & & & & & & &σ2&= ?σ3&=&有了四个面的电荷密度，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ空间的场强就好求了〔如EⅡ&=2πk（σ1&+&σ2&?&σ3&?&σ4）= 2πk〕。最后，UAB&= EⅡd【答案】（1）A板外侧电量、A板内侧电量，B板内侧电量?、B板外侧电量；（2）A板外侧空间场强2πk，方向垂直A板向外，A、B板之间空间场强2πk，方向由A垂直指向B，B板外侧空间场强2πk，方向垂直B板向外；（3）A、B两板的电势差为2πkd，A板电势高。〖学员思考〗如果两板带等量异号的净电荷，两板的外侧空间场强等于多少？（答：为零。）〖学员讨论〗（原模型中）作为一个电容器，它的“电量”是多少（答：）？如果在板间充满相对介电常数为εr的电介质，是否会影响四个面的电荷分布（答：不会）？是否会影响三个空间的场强（答：只会影响Ⅱ空间的场强）？〖学员讨论〗（原模型中）我们是否可以求出A、B两板之间的静电力？〔答：可以；以A为对象，外侧受力·（方向相左），内侧受力·（方向向右），它们合成即可，结论为F =&Q1Q2&，排斥力。〕【模型变换】如图7-16所示，一平行板电容器，极板面积为S&，其上半部为真空，而下半部充满相对介电常数为εr的均匀电介质，当两极板分别带上+Q和?Q的电量后，试求：（1）板上自由电荷的分布；（2）两板之间的场强；（3）介质表面的极化电荷。【解说】电介质的充入虽然不能改变内表面的电量总数，但由于改变了场强，故对电荷的分布情况肯定有影响。设真空部分电量为Q1&，介质部分电量为Q2&，显然有Q1&+ Q2&= Q两板分别为等势体，将电容器看成上下两个电容器的并联，必有U1&= U2&即&&=&&，即&&=&解以上两式即可得Q1和Q2&。场强可以根据E =&关系求解，比较常规（上下部分的场强相等）。上下部分的电量是不等的，但场强居然相等，这怎么解释？从公式的角度看，E = 2πkσ（单面平板），当k&、σ同时改变，可以保持E不变，但这是一种结论所展示的表象。从内在的角度看，k的改变正是由于极化电荷的出现所致，也就是说，极化电荷的存在相当于在真空中形成了一个新的电场，正是这个电场与自由电荷（在真空中）形成的电场叠加成为E2&，所以E2&= 4πk（σ&?&σ′）= 4πk（&?&）请注意：①这里的σ′和Q′是指极化电荷的面密度和总量；②&E = 4πkσ的关系是由两个带电面叠加的合效果。【答案】（1）真空部分的电量为Q&，介质部分的电量为Q&；（2）整个空间的场强均为&；（3）Q&。〖思考应用〗一个带电量为Q的金属小球，周围充满相对介电常数为εr的均匀电介质，试求与与导体表面接触的介质表面的极化电荷量。〖解〗略。〖答〗Q′=&Q 。四、电容器的相关计算【物理情形1】由许多个电容为C的电容器组成一个如图7-17所示的多级网络，试问：（1）在最后一级的右边并联一个多大电容C′，可使整个网络的A、B两端电容也为C′？（2）不接C′，但无限地增加网络的级数，整个网络A、B两端的总电容是多少？【模型分析】这是一个练习电容电路简化基本事例。第（1）问中，未给出具体级数，一般结论应适用特殊情形：令级数为1&，于是&+&&=&&解C′即可。第（2）问中，因为“无限”，所以“无限加一级后仍为无限”，不难得出方程&+&&=&【答案】（1）C&；（2）C&。【相关模型】在图7-18所示的电路中，已知C1&= C2&= C3&= C9&= 1μF&，C4&= C5&= C6&= C7&= 2μF&，C8&= C10&= 3μF&，试求A、B之间的等效电容。【解说】对于既非串联也非并联的电路，需要用到一种“Δ→Y型变换”，参见图7-19，根据三个端点之间的电容等效，容易得出定式——Δ→Y型：Ca&=&& & & & & Cb&=&& & & & & Cc&=&Y→Δ型：C1&=&& & & & &C2&=&& & & & &C3&=&有了这样的定式后，我们便可以进行如图7-20所示的四步电路简化（为了方便，电容不宜引进新的符号表达，而是直接将变换后的量值标示在图中）——【答】约2.23μF&。【物理情形2】如图7-21所示的电路中，三个电容器完全相同，电源电动势ε1&= 3.0V&，ε2&= 4.5V，开关K1和K2接通前电容器均未带电，试求K1和K2接通后三个电容器的电压Uao&、Ubo和Uco各为多少。【解说】这是一个考查电容器电路的基本习题，解题的关键是要抓与o相连的三块极板（俗称“孤岛”）的总电量为零。电量关系：++= 0电势关系：ε1&= Uao&+ Uob&= Uao&? Ubo&& & & & &&ε2&= Ubo&+ Uoc&= Ubo&? Uco&解以上三式即可。【答】Uao&= 3.5V&，Ubo&= 0.5V&，Uco&= ?4.0V&。【伸展应用】如图7-22所示，由n个单元组成的电容器网络，每一个单元由三个电容器连接而成，其中有两个的电容为3C ，另一个的电容为3C 。以a、b为网络的输入端，a′、b′为输出端，今在a、b间加一个恒定电压U ，而在a′b′间接一个电容为C的电容器，试求：（1）从第k单元输入端算起，后面所有电容器储存的总电能；（2）若把第一单元输出端与后面断开，再除去电源，并把它的输入端短路，则这个单元的三个电容器储存的总电能是多少？【解说】这是一个结合网络计算和“孤岛现象”的典型事例。（1）类似“物理情形1”的计算，可得 C总&= Ck&= C所以，从输入端算起，第k单元后的电压的经验公式为 Uk&=&再算能量储存就不难了。（2）断开前，可以算出第一单元的三个电容器、以及后面“系统”的电量分配如图7-23中的左图所示。这时，C1的右板和C2的左板（或C2的下板和C3的右板）形成“孤岛”。此后，电容器的相互充电过程（C3类比为“电源”）满足——电量关系：Q1′= Q3′& & & & & Q2′+ Q3′=&电势关系：+&&=&从以上三式解得 Q1′= Q3′=&&，Q2′=&&，这样系统的储能就可以用得出了。【答】（1）Ek&=&；（2）&。〖学员思考〗图7-23展示的过程中，始末状态的电容器储能是否一样？（答：不一样；在相互充电的过程中，导线消耗的焦耳热已不可忽略。）☆第七部分完☆
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