已知已知二次函数fx ax(x)=ax-2/x+1在区...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-07 07:41 标签： 已知二次函数fx ax
知识点梳理
对于函数y=f\left({x}\right)，我们把使f\left({x}\right)=0的x叫做函数y=f\left({x}\right)的零点．函数y=f\left({x}\right)的零点就是f\left({x}\right)=0的实数根，也就是函数y=f\left({x}\right)的图象与x轴交点的横坐标．
的性质：1.二次函数是，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是图形。对称轴为直线 。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P 。当 时，P在y轴上；当 时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a&0时，抛物线向上开口；当a&0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab&0），对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0, c)6.抛物线与x轴交点个数： 时，抛物线与x轴有2个交点。 时，抛物线与x轴有1个交点。当 时，抛物线与x轴没有交点。当 时，函数在 处取得最小值 ；在 上是减函数，在 上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是 。当 时，函数在 处取得最大值 ；在 上是增函数，在 上是减函数；抛物线的开口向下；函数的值域是 。当 时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax?+c(a≠0)。7.定义域：R值域：当a&0时，值域是 ；当a&0时，值域是 ①一般式： ⑴a≠0⑵若a&0，则抛物线开口朝上；若a&0，则抛物线开口朝下；⑶顶点： ；⑷若Δ&0，则图象与x轴交于两点：和；若Δ=0，则图象与x轴切于一点：若Δ&0，图象与x轴无公共点；②顶点式： 此时，对应顶点为，其中, ；③交点式： 图象与x轴交于 和 两点。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
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已知a是实数,函数f(x)=43 ax^3+x^2-(a+5)x,如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上不单调,求a的取值范围。
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专题：导数的综合应用
分析：（1）求出函数f（x）的导函数，由a＞0，定义域为（0，+∞），再由f′（x）＞0求得函数f（x）的单调增区间；（2）当a＜0时，求出导函数的零点-12a，1，分-12a＞1，12≤-12a≤1，-12a＜12讨论函数f（x）在区间[12，1]上的单调性，求出函数的最小值，最后表示为关于a的分段函数；（3）设出线段AB的中点M的坐标，得到N的坐标，由两点式求出AB的斜率，再由导数得到曲线C过N点的切线的斜率，由斜率相等得到lnx2x1=2(x2-x1)x1+x2=2(x2x1-1)1+x2x1，令x2x1=t后构造函数g(t)=lnt-2(t-1)1+t&(t＞1)由导数证明lnx2x1=2(x2-x1)x1+x2=2(x2x1-1)1+x2x1不成立．
解：（1）∵f（x）=ax2+（1-2a）x-lnx，∴f′(x)=2ax+(1-2a)-1x=2ax2+(1-2a)x-1x=(2ax+1)(x-1)x，∵a＞0，x＞0，∴2ax+1＞0，解f′（x）＞0，得x＞1，∴f（x）的单调增区间为（1，+∞）；（2）当a＜0时，由f′（x）=0，得x1=-12a，x2=1，①当-12a＞1，即-12＜a＜0时，f（x）在（0，1）上是减函数，∴f（x）在[12，1]上的最小值为f（1）=1-a．②当12≤-12a≤1，即-1≤a≤-12时，f（x）在[12，-12a]上是减函数，在[-12a，1]上是增函数，∴f（x）的最小值为f(-12a)=1-14a+ln(-2a)．③当-12a＜12，即a＜-1时，f（x）在[12，1]上是增函数，∴f（x）的最小值为f(12)=12-34a+ln2．综上，函数f（x）在区间[12，1]上的最小值为：f(x)min=12-34a+ln2&&&&&&a＜-11-14a+ln(-2a)&&-1≤a≤-121-a&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&-12＜a＜0&&&&&&&&&&&&&&（3）设M（x0，y0），则点N的横坐标为x0=x1+x22，直线AB的斜率k1=y1-y2x1-x2=1x1-x2[a(x12-x22)+(1-2a)(x1-x2)+lnx2-lnx1]=a(x1+x2)+(1-2a)+lnx2-lnx1x1-x2，曲线C在点N处的切线斜率k2=f′(x0)=2ax0+(1-2a)-1x0=a(x1+x2)+(1-2a)-2x1+x2，假设曲线C在点N处的切线平行于直线AB，则k1=k2，即lnx2-lnx1x1-x2=-2x1+x2，∴lnx2x1=2(x2-x1)x1+x2=2(x2x1-1)1+x2x1，不妨设x1＜x2，x2x1=t＞1，则lnt=2(t-1)1+t，令g(t)=lnt-2(t-1)1+t&(t＞1)，则g′(t)=1t-4(1+t)2=(t-1)2t(1+t)2＞0，∴g（t）在（1，+∞）上是增函数，又g（1）=0，∴g（t）＞0，即lnt=2(t-1)1+t不成立，∴曲线C在点N处的切线不平行于直线AB．
点评：本题考查利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，训练了利用构造函数法证明等式恒成立问题，特别是对于（3）的证明，要求学生较强的应变能力，是压轴题．
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考点：1.二次函数的性质；2.分类讨论的数学思想.
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